第4講 簡單的三角恒等變換基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1計(jì)算sin 15sin 30sin 75的值等于()AB C.D解析：選C.原式sin 15cos 152sin 15cos 15sin 30.2已知f(x)2tan x，則f的值為()A4BC4D8解析：選D.因?yàn)閒(x)222，所以f8.3若sin，則cos等于()ABCD解析：選D.因?yàn)閟in，cossin 2coscos 22sin21.4已知，均為銳角，(1tan )(1tan )2，則為()ABCD解析：選B.由(1tan )(1tan )2得tan tan 1tan tan ，所以tan()1.因?yàn)?，所以0，所以.5(2019臺州質(zhì)檢)4sin 80等于()ABCD23解析：選B.依題意，因?yàn)閟in 80cos 10，所以4sin 80，選B.6已知cossin ，則sin的值是()ABCD解析：選C.因?yàn)閏ossin ，所以cos sin ，即，即sin，所以sin，所以sinsin.故選C.7._解析：原式tan 30.答案：8(2019溫州中學(xué)高三模考)已知向量a(sin cos ，1)，b(1，2cos )，ab，則sin _，cos _解析：由題設(shè)可得sin cos 2cos ，即sin cos ，聯(lián)立sin2cos21，由此可得sin ，cos .答案：9已知，tan()，則tan _解析：因?yàn)椋裕?，所以tan 1，又因?yàn)閠an()，所以tan tan().答案：10(2019浙江省重點(diǎn)中學(xué)高三月考)請利用圖1、圖2中大矩形內(nèi)部陰影部分的面積關(guān)系，寫出該圖所驗(yàn)證的一個三角恒等變換公式：_解析：兩個圖的陰影部分面積相等，題圖1中大矩形面積為：S(cos cos )(sin sin )sin()sin cos sin cos ，減去四個小直角三角形的面積得S1Ssin cos sin cos sin()，題圖2中陰影部分面積為S2sin cos cos sin .答案：sin()sin cos cos sin 11已知tan ，cos ，求tan()的值，并求出的值解：由cos ，得sin ，tan 2.所以tan()1.因?yàn)椋裕?12已知tan 22，22，求的值解：原式，又，所以原式tan.因?yàn)閠an 22，解得tan 或tan ，又22，所以，所以tan ，所以原式32.能力提升1已知sin 且為第二象限角，則tan()ABCD解析：選D.由題意得cos ，則sin 2，cos 22cos21，所以tan 2，所以tan.2公元前6世紀(jì)，古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派研究過正五邊形和正十邊形的作圖，發(fā)現(xiàn)了黃金分割均為0.618，這一數(shù)值也可以表示為m2sin 18，若m2n4，則()A8B4C2D1解析：選C.因?yàn)閙2sin 18，若m2n4，則n4m244sin2184(1sin218)4cos218，所以2.3(2019臺州市書生中學(xué)檢測)在ABC中，角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，已知ab2，c4，sin A2sin B，則ABC的面積為_，sin(2AB)_解析：由sin A2sin B得，a2b，結(jié)合已知可知，ac4，b2，則cos A，sin A，Sbcsin A，cos B，sin B，sin(2AB)sin 2Acos Bcos 2Asin B2sin Acos Acos B(cos2Asin2A)sin B2.答案：4設(shè)，且5sin 5cos 8，sin cos 2，則cos()的值為_解析：由5sin 5cos 8，得sin，因?yàn)椋詂os.又，由已知得sin.所以cos.所以cos()sinsinsincoscossin.答案：5已知sin msin(2)，求證：tan()tan .證明：因?yàn)閟in msin(2)，所以sin()msin()，所以sin()cos cos()sin msin()cos cos()sin ，所以(1m)sin()cos (1m)cos()sin ，所以tan()tan ，所以原式成立6廣告公司為某游樂場設(shè)計(jì)某項(xiàng)設(shè)施的宣傳畫，根據(jù)該設(shè)施的外觀，設(shè)計(jì)成的平面圖由半徑為2 m的扇形AOB和三角區(qū)域BCO構(gòu)成，其中C，O，A在一條直線上，ACB，記該設(shè)施平面圖的面積為S(x)m2，AOBx rad，其中x.(1)寫出S(x)關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式(2)如何設(shè)計(jì)AOB，使得S(x)有最大值？解：(1)因?yàn)樯刃蜛OB的半徑為2 m，AOBx rad，所以S扇形x222x，過點(diǎn)B作邊AC的垂線，垂足為點(diǎn)D，如圖所示：則BODx，所以BD2sin(x)2sin x，OD2cos(x)2cos x，因?yàn)锳CB，所以CDBD2sin x，所以SBOCCOBD(2sin x2cos x)2sin x2sin2x2sin xcos x1cos 2xsin 2x，所以S(x)1cos 2xsin 2x2x.(2)根據(jù)(1)，得到S