數形結合思想在高中數學中的應用靈寶實驗高中 王少輝一、什么是“數形結合思想”？數形結合是一種數學思考方法；是數學研究和學習中的重要思想；也是解決數學問題的有效方法。“以形助數”可以使復雜問題簡單化、抽象問題具體化；能夠把抽象的數學語言變為直觀的圖形語言、把抽象的數學思維變為直觀的形象思維；“以數助形”有助于把握數學問題的本質。二、什么類型的題可以用“數形結合思想”解決？“數”和“形”是數學研究的兩個基本對象。數，通俗地說一般是指文字語言、數學符號語言、代數式等；形，通俗地說一般指圖形語言、函數圖象、代數式的幾何意義等。既能用“數”表示，又能用“形”表示的知識就可以用數形結合思想解決。數形結合的思想方法是數學教學內容的主線之一，應用數形結合思想，可以解決以下問題：集合問題函數問題方程與不等式問題三角函數問題向量問題數列問題線性規劃問題解析幾何問題立體幾何問題絕對值問題三、數形結合思想應用舉例（一）在集合中的應用【知識點】集合的基本運算集合的并集集合的交集集合的補集文字表示ABAB若全集為U，則集合A的補集為UA符號語言x|xA，或xBx|xA，且xBx|xU，且xA圖形語言在這個知識點中集合的三種運算除了抽象的符號語言描述之外，還有直觀的圖形語言。所以在解決某些集合的運算問題時，我們可以用數形結合思想。【例1】(1)已知(2)已知集合Ax|2x7，Bx|m1x0時，方程|x|ax只有一個解.答案(0，)【跟蹤訓練3】已知函數(aR)，若函數f(x)在R上有兩個零點，則a的取值范圍是()A.(，1) B.(，0) C.(1，0) D.1，0)解析當x0時，f(x)3x1有一個零點x.因此當x0時，f(x)exa0只有一個實根，aex(x0)，則1a0.若存在實數b，使得關于x的方程f(x)b有三個不同的根，則m的取值范圍是_.解析在同一坐標系中，作yf(x)與yb的圖象.當xm時，x22mx4m(xm)24mm2，要使方程f(x)b有三個不同的根，則有4mm20.又m0，解得m3.答案(3，)四、作函數圖象的常用方法數形結合的關鍵在于準確作出函數的圖象，那么如何作函數圖象就是最關鍵的步驟，同學們一定要掌握。下面介紹兩種高中數學中最常用的方法。1.利用描點法作函數的圖象步驟：(1)確定函數的定義域；(2)化簡函數解析式；(3)討論函數的性質(奇偶性、單調性、周期性、對稱性等)；(4)列表(尤其注意特殊點、零點、最大值點、最小值點、與坐標軸的交點等)，描點，連線.2.利用圖象變換法作函數的圖象(1)平移變換 yf(x+a)（a0）的圖象把yf(x)的圖象向左平移a個單位即可 ； yf(x -a)（a0）的圖象把yf(x)的圖象向右平移a個單位即可 ； yf(x)+b（b0）的圖象把yf(x)的圖象向上平移b個單位即可； yf(x) -b（b0）的圖象把yf(x)的圖象向下平移b個單位即可；即我們通常所說的左加右減，上加下減。【練習1】作出下列函數的圖象（1） （2） （3）(2)對稱變換 yf(x) 的圖象把yf(x)的圖象關于 x軸對稱即可 ； yf(x) 的圖象把yf(x)的圖象關于 y軸對稱即可 ； yf(x) 的圖象把yf(x)的圖象關于原點對稱即可 ；【練習2】作出下列函數的圖象（1） （2） （3）(3)伸縮變換 yf(ax)（a0）的圖象 把yf(x)的圖象縱坐標不變，各點的橫坐標變為原來的倍即可 ； 相當于以y軸為中心，把圖象往左右伸長或壓縮；a1時壓縮. yAf(x)（A0）的圖象 把yf(x)的圖象橫坐標不變，各點的縱坐標變為原來的 A 倍即可 ； 相當于以x軸為中心，把圖象上下伸長或壓縮；A1時伸長，A1時壓縮.(4)翻轉變換y|f(x)|的圖象，把yf(x)的圖象位于x軸下方的部分翻到x軸上方即可；函數值為負數的變為其相反數，函數值為正數的不變，圖象全部在x軸上方。yf(|x|)的圖象，把yf(x)的圖象位于y軸左邊的部分去掉，然后把右邊的對稱到左邊即可.自變量為負數時，與