五點共圓問題 與 Clifford 鏈定理 北京師范大學 張英伯，葉彩娟 2007年4月,一、引子,在世紀之交的2000年5月，當時的國家主席江澤民視察澳門濠江中學，興致勃勃地出了一道“五點共圓”的幾何題。 江澤民先生隨后給數學家和數學教育家張景中院士打電話征詢答案，并親函濠江中學參考。與此同時，濠江中學的四位數學老師也各自獨立地作出了解答，他們的數學功底令人敬佩。,這個圖形就是五點共圓問題。當時的表述是：給出一個不規則的五角星，做所得五個小三角形的外接圓，每相鄰的兩個小三角形的外接圓交于兩個點，其中之一是所得五邊形的頂點。在五邊形五頂點外的交點共有五個，證明這五點共圓。 2003年春天，我去德國訪問。有一天我的老板，代數學家 Claus Ringel 問我，你知道“江問題”嗎？正當我在腦子里緊張地搜索江姓數學家的名單時，老板得意地笑了，“哎呀呀，你們的國家主席呀！”,那天Claus 剛從倫敦開會回來，他說在倫敦的會議上，數學家們聊起了江澤民先生提出的五點共圓問題，覺得國家主席關注幾何學非常有趣。Claus 隨手在黑板上畫出了五點共圓問題的推廣。 2006 年底，澳門的一個研討班邀請我去做報告，報告剛好在濠江中學舉行。濠江中學校方與我們會面時介紹了當年江澤民主席的視察。我一下子想起三年前與 Claus 的對話，就臨時改變報告題目，憑記憶談了推廣的五點共圓問題。報告之后，研討班的組織者力主并多次敦促將這一問題的證明寫成文章。,回到學校，正趕上本科生準備畢業論文，一個保送研究生的女孩兒希望讀代數方向的碩士，來我這里要題目，我說你試著找找五點共圓問題的推廣吧。 感謝今天的互聯網，把這個世界所有的信息擺在了每一個人的面前。 經過一個禮拜的搜索，女孩子終于找到了一位日本數學家岡潔的傳記，在傳記的最后一頁的最后一個腳注中，提到 Clifford 定理將五點共圓問題推廣到了任意的正整數。,有了這個名字，事情便簡單多了。女孩馬上去搜索 Clifford 所有文章的目錄，找到了他關于這個問題的文章：On Miquels Theorem. 遺憾的是年代過于久遠，我們的北京圖書館，中科院圖書文獻中心都沒有收藏。 再一次感謝互聯網，北圖很快通知我們文章在大英圖書館找到了，付錢之后就可以掃描過來。還是由于年代過于久遠，大英圖書館將刊有這篇文章的雜志收在一個鄉間的書庫。付過的錢被退了回來，原文的掃描和復印件都不能提供，原因無可奉告。,William Kingdon Clifford（1845-79），英國的幾何代數學家，34歲辭世。 他建立了Clifford代數，這是一種交換環上的有限維結合代數，可以看作是復數域和 Hamilton四元數除環的推廣，他將這種代數應用于運動幾何。他還研究了非歐氏空間中的運動，引入了平行線的定義，并對微分幾何做出貢獻，創建了Klein-Clifford 空間。 直到今天，Clifford代數仍然是數學物理、幾何、分析領域中的熱門話題。,在十九世紀下半葉和二十世紀初，許多歐美大數學家致力于建立歐幾里得幾何的公理化體系。希爾伯特用了三十年的時間，先后出版七稿，寫成了幾何基礎一書。當幾何基礎引起廣泛討論的時候，許多古老的幾何問題，比如與三角形、直線和圓相關的點等問題被重新發現并研究。 1838年，Miquel證明了關于四圓共點的一個定理。在這個定理的基礎上，Clifford于1871年建立了Clifford鏈定理，這是數學史上非常著名的一個有趣而又奇妙的定理。,。,那個年代的許多歐美數學家都研究并論證過這個定理，一方面尋找它的多種證明方法，另一方面研究這些點圓和其它一些著名的點圓之間的關系，還有人積極探索它的擴展，例如向高維情況的引伸。在當時的數學雜志上，不斷地發表與Clifford鏈定理相關的研究成果。 我國正處于清朝末年，尚未進入近代數學的研究領域，因此對當時的一些研究都比較陌生。 由于沒有見到Clifford的原文，本文所講的證明，是基于英國幾何學家 F. Morley于1900年發表在美國數學會 Transaction上的一篇文章“On the metric geometry of the plane n-line”。,二、Clifford 鏈定理的表述,n=3,n=2,任選平面內兩兩相交， 且不共點的三條直線， 則其中每兩條為一組可以確定一個點，共有三個點， 那么這三個點確定一個圓。,任選平面內兩條相交直線， 則這兩條直線確定一個點。,n=4,n=4,任選平面內兩兩相交， 且任意三條直線都不共點的四條直線， 則其中每三條為一組可以確定一個圓，共有四個這樣的圓， 則這四個圓共點。 此點被稱為 Wallace 點。,n=5,任取平面內兩兩相交， 且任意三條直線都不共點的五條直線， 則其中每四條作為一組可確定如上所述 的一個 Wallace 點，共有五個這樣的點， 那么這五個點共圓， 此圓被稱為 Miquel 圓 （即五點共圓問題）。,n=6,任取平面上兩兩相交的六條直線，且任意三條直線都不共點， 則其中每五條為一組可以確定一個Miquel 圓，共有六個這樣的圓， 則這六個圓共點。,n=7,任取平面內兩兩相交， 且任意三條直線都不共點的七條直線， 則其中每六條作為一組可確定如上所述 的一個點，共有七個這樣的點， 那么這七個點共圓。,一般地，,任取平面內兩兩相交，且任意三條直線都不共點的2n條直線，則其中每2n-1條直線可確定一個圓，共確定 2n 個圓，那么這 2n 個圓交于一點，稱為 2n 條直線的Clifford 點； 任取平面內兩兩相交，且任意三條直線都 不共點的 2n+1條直線，則其中每 2n 條直線可確定一個 Clifford 點，共確定 2n+1個點，那么這 2n+1 個點共圓，稱為 2n+1 條直線的 Clifford 圓。,三、直線方程,用平面幾何的方法歸納地證明 Clifford 定理幾乎是不可能的，我們已經看到 n=7 的情況圖形有多么復雜，實際上五點共圓問題已經夠復雜了。那么用平面解析幾何呢？用復平面呢？這樣就可以充分借助現代數學的工具。讓我們來試一試。 現在考慮復平面 C, 建立原點，實軸和虛軸。,用 分別表示兩個確定的復數，其中 的模為1，也就是說， 在單位圓上。其次，用 分別表示兩個復變量，其中 的模為1，也就是說 在單位圓上運動。,考察公式 當 在單位圓周上運動時， 跑過原點 0 和點 連線的垂直平分線。,事實上， 而 因為 和 的模都是1，故 另一方面，當 趨近于 時， 的模趨近于無窮大；并且 是 的連續函數。所以我們得到了一條直線。,從上述分析可以看出，直線與 的幅角的取值無關。我們不妨取 事實上，利用單位圓周上的點 t 作參數，根據復變函數中的分式線性函數理論， 表示一條直線。,四、特征常數,如果我們有兩條直線： ， 則 . 兩式相減，得到兩條直 線的交點： . 再設 . 稱 為n=2時的特征常數。,如果我們有三條直線： 令 上面的式子中，求和號表示對數組 (1 2 3) 進行輪換，分別取 (1 2 3), (2 3 1) , (3 1 2). 叫做 n=3 時的特征常數。,建立一個圓方程，圓心在 ，半徑為 ： 當 時， 當 時， 當 時， 所以我們的圓經過三條直線中每兩條的交點，這就是三點共圓。,定義 4.1. 關于 n 條直線 的特征常數 定義為： 其中求和號表示對 (12- - -n) 進行輪換。 引理4.2.,證明： 引理證畢。,特征常數有如下的共軛性質。取定正整數 n，令 將 的復共軛記作 ，令 ，則 引理4.3.,引理4.4. 設 是 n 個變元的初等對稱多項式，記 的共軛元為 。 如果 n 個變元均取模為 1 的復數，則 證明：設 ， 則 引理證畢。,五、n=4 和 n=5 時的證明,設我們有四條直線 根據第四節的討論，三條直線確定的圓方程為： 或 其中 是一個變元的初等對稱多項式。根據引理4.2, 去掉四條直線中的第 條后的圓方程是：,根據引理4.3,方程 是自共軛的，即它的共軛方程 與自身相等， 我們有： 即 在單位圓上。又因為 的任意性，方程等價于： 其中 是 n= 4 時的特征常數。消去 , 即 是四條直線的 Clifford 點。,當 n=5 時，我們有五條直線： 去掉其中的任意一條，所得到的四條直線確定一個 Cliford 點。 根據引理4.2，我們可以從n=5 時的特征常數得到 n=4 時的特征常數，比如去掉第 條直線，得方程：,因為 是一個變元的初等對稱多項式， 分別導出了兩個變元的初等對稱多項式 和 上述方程變為： 根據引理4.3，第二個方程是自共軛的，保證了 t 在單位圓上。,從方程組中消去 ，并用 t 代替 ，或考察以 和 （以 t 代之）為未知數的線性方程組，Cramer 法則給出 x 和 t 應該滿足的關系： 或 這就是五條直線的 Clifford 圓。,六、Clifford 鏈定理,定理6.1. 2p 條直線的 Clifford 點由下述行列式給出： 而 2p+1 條直線的 Clifford 圓由下述方程確定：,證明： 設 p=1 在2x1 時得到兩條直線的交點： 設 P=2 ， 是一個變元的初等對稱多項式。在 2x2-1 時得到三條直線的 Clifford 圓滿足的方程： 在2x2 的情況得到四條直線的 Clifford 點滿足的方程 設p=3, 是兩個變元的初等對稱多項式。在2x3-1 時得到五條直線的 Clifford 圓方程：,現在設 2p-1條直線的 Clifford 圓滿足的方程是： 其中 是 p-1個變元的初等對稱多項式。則該假設當 p=2，p=3 時都是正確的。我們來計算 2p 條直線的情況。,根據引理4.2, 關于 2p-1 條直線的特征常數可以用關于 2p 條直線的特征常數去掉某條直線，例如第 條表示出來：,由于 的任意性，考察下述 p 個方程： 其中第 1+i 與第 p-i+1 個方程是共軛的。為方便起見，我們僅驗證第 2 與第 p 個方程的共軛性。,記 是關于模為 1 的復數 的初等對稱多項式。則 根據引理 4.3, 第二個方程的共軛方程為 將兩端同乘以 ，根據引理 4.4 得：,將第 p 個方程的兩端同乘以 ，并顛倒次序，我們有方程： 易見這兩個方程共軛， 故 ， 在單位圓上。 在關于 2p 的 p 個方程中消去 ，即得所求公式，定理的第一部分證畢。,我們來考察 2p+1 的情況。根據引理 4.2, 2p 條直線的特征常數可以通過 2p+1 條直線的特征常數表示出來。故 2p 條直線的 Clifford 點滿足的方程誘導出下述 p 個方程：,關于 p-1 個變元的初等對稱多項式 與 誘導出 p 個變元的初等對稱多項式 原方程變為：,運用引理 4.3，與 2p 的情況類似可驗，方程組中的第 i+1 個方程與第 p-i+1 個方程是共軛的， t 在單位圓上。 在關于 2p+1 的 p 個方程中消去 ，即得所求公式。定理的第二部分證畢。 Clifford 定理的正確性從數學歸納法得到。,當然，特征常數 a 需要滿足一定的條件，使得直線兩兩相交，且沒有三條直線交于一點。下面列出的第二篇參考文獻就專門討論了這個問題。 我教過多年的線性代數，從來沒有想到用矩陣、行列式和對稱多項式能夠如此巧妙地解決這樣復雜的平面幾何問題。偉大的數學家高斯曾經說過：“數學中的一些美麗定理具有這樣