9.2兩條直線的位置關系最新考綱考情考向分析1.能根據兩條直線的斜率判定這兩條直線平行或垂直.2.會求過兩點的直線斜率、兩直線的交點坐標、兩點間的距離、點到直線的距離、兩條平行直線間的距離.以考查兩條直線的位置關系、兩點間的距離、點到直線的距離、兩條直線的交點坐標為主，有時也會與圓、橢圓、拋物線交匯考查.題型以選擇、填空題為主，要求相對較低.1.兩條直線的位置關系(1)兩條直線平行與垂直兩條直線平行：()對于兩條不重合的直線l1，l2，若其斜率分別為k1，k2，則有l1l2k1k2.()當直線l1，l2不重合且斜率都不存在時，l1l2.兩條直線垂直：()如果兩條直線l1，l2的斜率存在，設為k1，k2，則有l1l2k1k21.()當其中一條直線的斜率不存在，而另一條的斜率為0時，l1l2.(2)兩條直線的交點直線l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，則l1與l2的交點坐標就是方程組的解.2.幾種距離(1)兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之間的距離|P1P2|.(2)點P0(x0，y0)到直線l：AxByC0的距離d.(3)兩條平行線AxByC10與AxByC20(其中C1C2)間的距離d.概念方法微思考1.若兩條直線l1與l2垂直，則它們的斜率有什么關系？提示當兩條直線l1與l2的斜率都存在時，1；當兩條直線中一條直線的斜率為0，另一條直線的斜率不存在時，l1與l2也垂直.2.應用點到直線的距離公式和兩平行線間的距離公式時應注意什么？提示(1)將方程化為最簡的一般形式.(2)利用兩平行線之間的距離公式時，應使兩平行線方程中x，y的系數分別對應相等.題組一思考辨析1.判斷下列結論是否正確(請在括號中打“”或“”)(1)當直線l1和l2斜率都存在時，一定有k1k2l1l2.()(2)已知直線l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20(A1，B1，C1，A2，B2，C2為常數)，若直線l1l2，則A1A2B1B20.()(3)點P(x0，y0)到直線ykxb的距離為.()(4)直線外一點與直線上一點的距離的最小值就是點到直線的距離.()(5)若點A，B關于直線l：ykxb(k0)對稱，則直線AB的斜率等于，且線段AB的中點在直線l上.()題組二教材改編2.P110B組T2已知點(a，2)(a0)到直線l：xy30的距離為1，則a等于()A.B.2C.1D.1答案C解析由題意得1.解得a1或a1.a0，a1.3.P101A組T10已知P(2，m)，Q(m，4)，且直線PQ垂直于直線xy10，則m_.答案1解析由題意知1，所以m42m，所以m1.4.P110B組T1若三條直線y2x，xy3，mx2y50相交于同一點，則m的值為_.答案9解析由得所以點(1，2)滿足方程mx2y50，即m12250，所以m9.題組三易錯自糾5.直線2x(m1)y40與直線mx3y20平行，則m等于()A.2B.3C.2或3D.2或3答案C解析直線2x(m1)y40與直線mx3y20平行，則有，故m2或3.故選C.6.直線2x2y10，xy20之間的距離是_.答案解析先將2x2y10化為xy0，則兩平行線間的距離為d.7.若直線(3a2)x(14a)y80與(5a2)x(a4)y70垂直，則a_.答案0或1解析由兩直線垂直的充要條件，得(3a2)(5a2)(14a)(a4)0，解得a0或a1.題型一兩條直線的平行與垂直例1已知直線l1：ax2y60和直線l2：x(a1)ya210.(1)試判斷l1與l2是否平行；(2)當l1l2時，求a的值.解(1)方法一當a1時，l1：x2y60，l2：x0，l1不平行于l2；當a0時，l1：y3，l2：xy10，l1不平行于l2；當a1且a0時，兩直線可化為l1：yx3，l2：yx(a1)，l1l2解得a1，綜上可知，當a1時，l1l2，a1時，l1與l2不平行.方法二由A1B2A2B10，得a(a1)120，由A1C2A2C10，得a(a21)160，l1l2可得a1，故當a1時，l1l2.(2)方法一當a1時，l1：x2y60，l2：x0，l1與l2不垂直，故a1不成立；當a0時，l1：y3，l2：xy10，l1不垂直于l2，故a0不成立；當a1且a0時，l1：yx3，l2：yx(a1)，由1，得a.方法二由A1A2B1B20，得a2(a1)0，可得a.思維升華(1)當直線方程中存在字母參數時，不僅要考慮到斜率存在的一般情況，也要考慮到斜率不存在的特殊情況.同時還要注意x，y的系數不能同時為零這一隱含條件.(2)在判斷兩直線平行、垂直時，也可直接利用直線方程的系數間的關系得出結論.跟蹤訓練1(1)(2012浙江)設aR，則“a1”是“直線l1：ax2y10與直線l2：x(a1)y40平行”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件答案A解析若直線l1與l2平行，則a(a1)210，且，即a2或a1，所以a1是直線l1與直線l2平行的充分不必要條件.(2)已知兩條直線l1：axby40和l2：(a1)xyb0，求滿足下列條件的a，b的值.l1l2，且直線l1過點(3，1)；l1l2，且坐標原點到這兩條直線的距離相等.解l1l2，a(a1)b0，又直線l1過點(3，1)，3ab40.故a2，b2.直線l2的斜率存在，l1l2，直線l1的斜率存在.k1k2，即1a.又坐標原點到這兩條直線的距離相等，l1，l2在y軸上的截距互為相反數，即b.故a2，b2或a，b2.題型二兩直線的交點與距離問題1.若直線l與兩直線y1，xy70分別交于M，N兩點，且MN的中點是P(1，1)，則直線l的斜率是()A.B.C.D.答案A解析由題意，設直線l的方程為yk(x1)1，分別與y1，xy70聯立解得M，N.又因為MN的中點是P(1，1)，所以由中點坐標公式得k.2.若P，Q分別為直線3x4y120與6x8y50上任意一點，則|PQ|的最小值為()A.B.C.D.答案C解析因為，所以兩直線平行，將直線3x4y120化為6x8y240，由題意可知|PQ|的最小值為這兩條平行直線間的距離，即，所以|PQ|的最小值為.3.已知直線ykx2k1與直線yx2的交點位于第一象限，則實數k的取值范圍是_.答案解析方法一由方程組解得交點坐標為.又交點位于第一象限，解得k.方法二如圖，已知直線yx2與x軸、y軸分別交于點A(4，0)，B(0，2).而直線方程ykx2k1可變形為y1k(x2)，表示這是一條過定點P(2，1)，斜率為k的動直線.兩直線的交點在第一象限，兩直線的交點必在線段AB上(不包括端點)，動直線的斜率k需滿足kPAkkPB.kPA，kPB.k.4.已知A(4，3)，B(2，1)和直線l：4x3y20，若在坐標平面內存在一點P，使|PA|PB|，且點P到直線l的距離為2，則P點坐標為_.答案或解析設點P的坐標為(a，b).A(4，3)，B(2，1)，線段AB的中點M的坐標為(3，2).而AB的斜率kAB1，線段AB的垂直平分線方程為y2x3，即xy50.點P(a，b)在直線xy50上，ab50.又點P(a，b)到直線l：4x3y20的距離為2，2，即4a3b210，由聯立解得或所求點P的坐標為(1，4)或.思維升華 (1)求過兩直線交點的直線方程的方法先求出兩直線的交點坐標，再結合其他條件寫出直線方程.(2)利用距離公式應注意：點P(x0，y0)到直線xa的距離d|x0a|，到直線yb的距離d|y0b|；兩平行線間的距離公式要把兩直線方程中x，y的系數化為相等.題型三對稱問題命題點1點關于點中心對稱例2過點P(0，1)作直線l，使它被直線l1：2xy80和l2：x3y100截得的線段被點P平分，則直線l的方程為_.答案x4y40解析設l1與l的交點為A(a，82a)，則由題意知，點A關于點P的對稱點B(a，2a6)在l2上，代入l2的方程得a3(2a6)100，解得a4，即點A(4，0)在直線l上，所以直線l的方程為x4y40.命題點2點關于直線對稱例3如圖，已知A(4，0)，B(0，4)，從點P(2，0)射出的光線經直線AB反射后再射到直線OB上，最后經直線OB反射后又回到P點，則光線所經過的路程是()A.3B.6C.2D.2答案C解析直線AB的方程為xy4，點P(2，0)關于直線AB的對稱點為D(4，2)，關于y軸的對稱點為C(2，0)，則光線經過的路程為|CD|2.命題點3直線關于直線的對稱問題例4直線2xy30關于直線xy20對稱的直線方程是_.答案x2y30解析設所求直線上任意一點P(x，y)，則P關于xy20的對稱點為P(x0，y0)，由得由點P(x0，y0)在直線2xy30上，2(y2)(x2)30，即x2y30.思維升華解決對稱問題的方法(1)中心對稱點P(x，y)關于Q(a，b)的對稱點P(x，y)滿足直線關于點的對稱可轉化為點關于點的對稱問題來解決.(2)軸對稱點A(a，b)關于直線AxByC0(B0)的對稱點A(m，n)，則有直線關于直線的對稱可轉化為點關于直線的對稱問題來解決.跟蹤訓練2(2018寧波模擬)已知直線l：3xy30，求：(1)點P(4，5)關于l的對稱點；(2)直線xy20關于直線l對稱的直線方程；(3)直線l關于(1，2)的對稱直線.解(1)設P(x，y)關于直線l：3xy30的對稱點為P(x，y)，kPPkl1，即31.又PP的中點在直線3xy30上，330.由得把x4，y5代入得x2，y7，點P(4，5)關于直線l的對稱點P的坐標為(2，7).(2)用分別代換xy20中的x，y，得關于l對稱的直線方程為20，化簡得7xy220.(3)在直線l：3xy30上取點M(0，3)，關于(1，2)的對稱點M(x，y)，1，x2，2，y1，M(2，1).l關于(1，2)的對稱直線平行于l，k3，對稱直線方程為y13(x2)，即3xy50.妙用直線系求直線方程在求解直線方程的題目中，可采用設直線系方程的方式簡化運算，常見的直線系有平行直線系，垂直直線系和過直線交點的直線系.一、平行直線系由于兩直線平行，它們的斜率相等或它們的斜率都不存在，因此兩直線平行時，它們的一次項系數與常數項有必然的聯系.例1求與直線3x4y10平行且過點(1，2)的直線l的方程.解由題意，設所求直線方程為3x4yc0(c1)，又因為直線過點(1，2)，所以3142c0，解得c11.因此，所求直線方程為3x4y110.二、垂直直線系由于直線A1xB1yC10與A2xB2yC20垂直的充要條件為A1A2B1B20.因此，當兩直線垂直時，它們的一次項系數有必然的聯系.可以考慮用直線系方程求解.例2求經過A(2，1)，且與直線2xy100垂直的直線l的方程.解因為所求直線與直線2xy100垂直，所以設該直線方程為x2yC0，又直線過點A(2，1)，所以有221C0，解得C0，即所求直線方程為x2y0.三、過直線交點的直線系例3求經過直線l1：3x2y10和l2：5x2y10的交點，且垂直于直線l3：3x5y60的直線l的方程.解方法一將直線l1，l2的方程聯立，得解得即直線l1，l2的交點為(1，2).由題意得直線l3的斜率為，又直線ll3，所以直線l的斜率為，則直線l的方程是y2，即5x3y10.方法二由于ll3，所以可設直線l的方程是5x3yC0，將直線l1，l2的方程聯立，得解得即直線l1，l2的交點為(1，2)，則點(1，2)在直線l上，所以5(1)32C0，解得C1，所以直線l的方程為5x3y10.方法三設直線l的方程為3x2y1(5x2y1)0，整理得(35)x(22)y(1)0.由于ll3，所以3(35)5(22)0，解得，所以直線l的方程為5x3y10.1.直線2xym0和x2yn0的位置關系是()A.平行B.垂直C.相交但不垂直D.不能確定答案C解析直線2xym0的斜率k12，直線x2yn0的斜率k2，則k1k2，且k1k21.故選C.2.(2018嘉興期末)點(1，0)到直線xy10的距離是()A.B.C.1D.答案A解析由點到直線的距離公式得點(1，0)到直線xy10的距離為，故選A.3.(2018浙江嘉興一中月考)點P在直線l：xy10上運動，A(4，1)，B(2，0)，則|PA|PB|的最小值是()A.B.C.3D.4答案C解析A(4，1)關于直線xy10的對稱點為A(2，3)，|PA|PB|PA|PB|，當P，A，B三點共線時，|PA|PB|取得最小值|AB|3.4.過點M(3，2)，且與直線x2y90平行的直線方程是()A.2xy80B.x2y70C.x2y40D.x2y10答案D解析方法一因為直線x2y90的斜率為，所以與直線x2y90平行的直線的斜率為，又所求直線過M(3，2)，所以所求直線的點斜式方程為y2(x3)，化為一般式得x2y10.故選D.方法二由題意，設所求直線方程為x2yc0(c9)，將M(3，2)代入，解得c1，所以所求直線為x2y10.故選D.5.若直線l1：xay60與l2：(a2)x3y2a0平行，則l1與l2之間的距離為()A.B.4C.D.2答案C解析l1l2，a2且a0，解得a1，l1與l2的方程分別為l1：xy60，l2：xy0，l1與l2的距離d.6.已知直線l1：y2x3，直線l2與l1關于直線yx對稱，則直線l2的斜率為()A.B.C.2D.2答案A解析直線y2x3與yx的交點為A(1，1)，而直線y2x3上的點(0，3)關于yx的對稱點為B(3，0)，而A，B兩點都在l2上，所以.7.(2018紹興調研)設直線l1：(a1)x3y2a0，直線l2：2x(a2)y10.若l1l2，則實數a的值為_，若l1l2，則實數a的值為_.答案4解析由l1l2得2(a1)3(a2)0，故a；當l1l2時，有則a4.8.已知直線l過點P(3，4)且與點A(2，2)，B(4，2)等距離，則直線l的方程為_.答案2x3y180或2xy20解析顯然當直線l的斜率不存在時，不滿足題意；設所求直線方程為y4k(x3)，即kxy43k0，由已知，得，k2或k.所求直線l的方程為2xy20或2x3y180.9.(2018浙江嘉興一中月考)已知直線l1：axy60與l2：x(a2)ya10相交于點P，若l1l2，則a_，此時點P的坐標為_.答案1(3，3)解析直線l1：axy60與l2：x(a2)ya10相交于點P，且l1l2，a11(a2)0，即a1，聯立方程易得x3，y3，P(3，3).10.(2018浙江杭州名校協作體月考)已知點A(0，1)，直線l1：xy10，直線l2：x2y20，則點A關于直線l1的對稱點B的坐標為_，直線l2關于直線l1的對稱直線的方程是_.答案(2，1)2xy50解析設B(x，y)，則解得即B(2，1).由得設C(4，3)，由(1)得l2上的點A(0，1)關于直線l1的對稱點為B，因此所求對稱直線過B，C兩點，所以y3(x4)，即2xy50.11.已知方程(2)x(1)y2(32)0與點P(2，2).(1)證明：對任意的實數，該方程都表示直線，且這些直線都經過同一定點，并求出這一定點的坐標；(2)證明：該方程表示的直線與點P的距離d小于4.(1)解顯然2與(1)不可能同時為零，故對任意的實數，該方程都表示直線.方程可變形為2xy6(xy4)0，解得故直線經過的定點為M(2，2).(2)證明過P作直線的垂線段PQ，由垂線段小于斜線段知|PQ|PM|，當且僅當Q與M重合時，|PQ|PM|，此時對應的直線方程是y2x2，即xy40.但直線系方程唯獨不能表示直線xy40，M與Q不可能重合，而|PM|4，|PQ|0)；l2：4x2y10；l3：xy10，且l1與l2間的距離是.(1)求a的值；(2)能否找到一點P，使P同時滿足下列三個條件：點P在第一象限；點P到l1的距離是點P到l2的距離的；點P到l1的距離與點P到l3的距離之比是.若能，求點P的坐標；若不能，請說明理由.解(1)直線l2：2xy0，所以兩條平行線l1與l2間的距離為d，所以，即，又a0，解得a3.(2)假設存在點P，設點P(x0，y0).若P點滿足條件，則P點在與l1，l2平行的直線l：2xyc0上，且，即c或，所以2x0y00或2x0y00；若P點滿足條件，由點到直線的距離公式，有，即|2x0y03|x0y01|，所以x02y040或3x020；由于點P在第一象限，所以3x020不可能.聯立方程2x0y00和x02y040，解得(舍去)聯立方程2x0y00和x02y040，解得所以存在點P同時滿足三個條件.13.已知直線y2x是ABC中C的平分線所在的直線，若點A，B的坐標分別是(4，2)，(3，1)，則點C的坐標為()A.(2，4) B.(2，4)C.(2，4) D.(2，4)答案C解析設A(4，2)關于直線y2x的對稱點為(x，y)，則解得BC所在直線方程為y1(x3)，即3xy100.同理可得點B(3，1)