導 數,一、導數定義式的幾種等價形式,左導數、右導數：,二、判定函數在某點是否可導的主要方法,1.根據可導的定義,2.根據可導的充要條件,3.根據可導的必要條件,直接由定義考慮,或,是否存在,考慮左右導數,是否都存在且相等,考慮是否不連續,（連續不一定可導，但不連續一定不可導！）,三、必須用定義求導數的情形,1. 分段函數在分段點處的導數,2. 含有絕對值符號的函數在絕對值為零的點處的導數,3. 僅知函數 在一點可導，,【注】,某些“乘積型”的復雜函數用定義求導較方便。,不知在該點的附近（一個鄰域）是否可導,四、常數和基本初等函數的求導公式,特別地：,4. 隱函數的求導法則,5. 由參數方程所確定的函數的求導法則,6. 對數求導法,7. 分段函數的求導法 非分段點處按法則求導，分段點處按定義求導,1. 導數的 + 、-、 運算法則,2. 復合函數的求導法則,3. 反函數的求導法則,五、求導數的主要法則,六、 導數的幾何意義,在點,的切線斜率,切線方程:,法線方程:,注：,七、求高階導數的主要方法,（1）逐次求導歸納法；,（2）n 階導數的公式及求導法則；,注：求一點處高階導數 的好方法,-函數的冪級數展開（以后學）,常用的 n 階導數公式,(1),(2),(3),(4),（k為正整數。）,（a 為常數）,都有 n 階導數 , 則,(C為常數),上式稱為萊布尼茲(Leibniz) 公式。,2.高階導數的運算法則,八、可微、可導、連續、極限的關系,可微,可導,連續,極限存在,九、奇函數、偶函數、周期函數的導數,單調函數的導數不一定是單調函數。,【注】,可導奇函數,的導數,是偶函數,可導偶函數,的導數,是奇函數,可導周期函數,的導數,是周期函數,且,與,有相同的周期,例1,在 有定義.,當,是否可導？,時，,？,在 R 上定義，,證明：在 R 上,例2.,證,對任意,例3.,解,是偶函數，在,求,處可導，,下列解法錯誤：,的導數,是奇函數,代入,例4.,正確思路：,導數定義。,是偶函數，在,求,處可導，,例4.,解,在,處連續, 且,存在，,證明:,在,處可導.,證：因為,存在，,則有,所以,即,在,處可導。,例5. 設,故,存在,解: 因為,例6. 設,求,所以,。,例7,設,，求 a，b，c,處,使,在,一階導數連續，二階導數不存在.,存在的最高階數 n=？,例8.,，,解:,例9. 設,求,解:,方法1 利用乘法公式.,方法2 利用乘法公式.,例9. 設,求,解:,方法3 利用導數定義.,例9. 設,求,解:,例10. 設,證：在,.,處：,，,二階可導，,例11,設,處二階可導，求,處處可導，在,時，,解:,例11,設,處二階可導，求,處處可導，在,時，,解:,例12. 求,的導數 .,解:,例13.,，,設曲線的極坐標方程為,處的切線方程.,求曲線上,思路：,把極坐標方程轉化為參數方程，,求出導數,解：,的參數方程為,例13.,設曲線的極坐標方程為,處的切線方程.,求曲線上,，切點坐標,切線方程,例14.,證明：兩條心形線,在交點處切線互相垂直.,交點：,在交點處的斜率：,在交點處的斜率：,解:,確定,例15. 設,由方程組,求,例16. 設,求,用多項式除法得,解:,例17.,求,處的100階導數。,例18. 設,求,。,解:,例19., 求,解:,例20.,求,解:,例21. 設,，求,求,時，,x 是自變量，,y 是 x 的函數,解:,例21. 設,，求,求,時，,y 是自變量，,x 是 y 的函數,解:,三階可導，,用,表示,例22.,，,，,解:,作變換,，求