多元函數微積分,多元函數的極限與連續 多元函數微分學 隱函數定理及其應用 含參量積分 曲線積分 重積分 曲面積分,第16章 多元函數的極限與連續,1 平面點集與多元函數 （了解平面點集的有關概念、平面上的完備性定理、多元函數的概念 ）,一、 平面點集,坐標平面 ,平面點集 E=(x,y)|(x,y)滿足的條件,鄰域 U(A,)=(x,y)|(x-x0)2+(y-y0)22 U(A,)=(x,y)|x-x0|,|y-y0|,空心鄰域 U0(A,)=(x,y)|0(x-x0)2+(y-y0)22 U(A,)=(x,y)|x-x0|,|y-y0|,(x,y)(x0,y0),（一）下面利用鄰域描述點和點集的關系,() 內點 U(A)E,() 外點 U(A)E=,() 界點 U(A)E 且 U(A)EC,點AR2和點集ER2必有以下三種關系之一：, E 的邊界點的全體稱為 E 的邊界, 記作E ;,() 聚點 U0(A)E,點A近旁是否有點集E中無窮多點構成另一種關系：,() 孤立點 AE 且 U0(A)E=,練習1:,問A是E的內點?外點?,(1)設,問,(2)設,是,E的聚點?孤立點?,呢?,（二）一些重要的平面點集,閉集 E的所有聚點E,開域 連通的開集,閉域 開域連同邊界,開集 intE=E,有界點集、無界點集,點集的直徑,三角不等式,區域 開域、閉域，或開域連同部分邊界,練習2:,則原點是K的 點,(1)設,孤立點、界點，但不是聚 ；,圓周上的點是K的 點,界點、聚 ， 但不屬于K；,K,是開域、 是閉域， 有界集。,不,也不,是,(2)求下列平面點集的聚點集合,二、 R2上的完備性定理,R2上的完備性定理是二元函數極限理論的基礎。,為此，先給出平面點列的收斂性概念。,定義1 設,為平面點列，,為一固定點.,若,使當,時，有,則稱點列,收斂于,記作,或,點列極限的兩種等價形式：,定理16.1(柯西準則),平面點列,收斂的充要條件是：,使當,時，對一切,有,定理16.2(閉域套定理),設,是,中的閉域列，滿足,則存在唯一的點,課堂練習：P92: 1(1)(3)(6) 作業： P92: 1(7),3,5,定理16.3(聚點定理),設,為有界無限點集，則,在,中至少有一個聚點。,推論,有界無限點列,必存在收斂子列,定理16.4(有限覆蓋定理),設,為一有界閉域，,為一開域族，它覆蓋了,(即,),則在,中必存在有限個開域,它們同樣覆蓋了,(即,)。,推廣：,將定理16.4中的,改為有界閉集，而,為一族開集，此時定理依然成立。,三、 二元函數,定義2 設平面點集,若按照某種對應法則,中每一點,都有唯一確定的實數,為定義在,上的二元函數，記作,為,與之對應，則稱,的定義域,函數值,值域,自變量,因變量。,為方便計，二元函數也記作,或,便是二元函數,三維歐氏空間,中的點集,的圖像。,例2,例3,例4,例5,若二元函數的值域是有界數集，則稱該函數為有界函數。 否則稱為無界函數。,練習3:描繪下列函數圖象,四、 n元函數,設點集,若按照某種對應法則,使每一點,都有唯一確定的實數,為定義在,上的 n元函數，記作,與之對應，則稱,n元函數也記作,或,課堂練習：P92: 4,6(1)(3); P93: 8(1)(4)(7) 作業： P93: 8(5)(10),小結： 1、掌握平面點集的有關概念； 2、了解平面上的完備性定理； 3、了解多元函數的概念。,2 二元函數的極限,一、 二元函數的極限,例1 依定義驗證,證明,例2 設,下面的定理及其推論相當于數列極限的子列定理與一元函數極限的海涅歸納原則，證法也類似。,類似地可以定義,和,二元函數極限的四則運算法則和相應定理仍成立。,例如，,課堂練習：P99: 1(1)(2)(3),二、 累次極限,重極限和累次極限是兩個不同的概念，它們的存在性沒有必然的聯系。例如：,重極限和累次極限在一定條件下也是有聯系的：,課堂練習：P99: 2(1)(2)(3),思考題: 重極限存在 = 累次極限存在? 重極限存在 = 次極限存在且相等?,作業： P99: 1(5)(7),2(4)(5),小結： 1、掌握二元函數極限和累次極限的概念； 2、了解有關定理和推論； 3、掌握重極限和累次極限的求法（含不存在）。,3 二元函數的連續性,一、 二元函數的連續性概念,如上節例1給出的函數在原點連續；事實上，,注：若一元函數在某點連續，將它看作二元函數，則在相應點仍連續。,類似地，例2給出的函數也在原點連續（P94）。,例3、4給出的函數在原點不連續。,若把例3給出的函數改為,則它沿直線 在原點連續。,注意：偏增量的和不一定等于全增量。,容易證明：若二元函數在某內點連續，則對單個自變量都在該點連續。但是反過來，二元函數在某內點對單個自變量都連續，并不能保證該函數的連續性。例如，,若二元函數在一點連續，則與一元函數一樣，可以證明它在這點近旁具有局部有界性、局部保號性以及有理運算的各個法則。下面僅證明二元復合函數的連續性定理.,練習:說明下列函數的連續性,二、 有界閉域上連續函數的性質,本段討論有界閉域上多元連續函數的性質。它們可以看作是閉區間上一元連續函數性質的推廣。,實際上，定理16.8與16.9中的有界閉域可改為有界閉集(證明過程無原則性變化)。定理16.10中的有界閉域(它保證連通性)不可改為有界閉集(開集、閉集不一定具有連通性)。此外，定理16.10中的連續函數的值域必定是一個區間。,2、考察下列函數的連續性：,作業: P105: 1(1)(3)(5), 3.,那么它在,小結： 1、掌握二元函數的連續性概念 ； 2、了解有界閉域上連續函數的性質。,“Ch16二元函數的連續性與極限”習題課,一、 基本內容和要求,1、了解平面點集的有關概念，了解平面上的完備 性定理，了解多元函數的概念。,2、理解二元函數的極限和累次極限的概念，并會計算，知道它們之間的聯系。,3、了解二元函數的連續性概念和有界閉域上連續函數的性質。,二、 作業