考點測試12函數與方程高考概覽考綱研讀結合二次函數的圖象，了解函數的零點與方程根的聯系，判斷一元二次方程根的存在性及根的個數一、基礎小題1若函數f(x)axb的零點是2，那么函數g(x)bx2ax的零點是()A0，2 B0，C0， D2，答案C解析由題意知2ab0，即b2a令g(x)bx2ax0，得x0或x2若函數f(x)ax1在區間(1，1)上存在一個零點，則實數a的取值范圍是()A(1，) B(，1)C(，1)(1，) D(1，1)答案C解析由題意知，f(1)f(1)0，即(1a)(1a)0，解得a13下列函數圖象與x軸均有公共點，其中能用二分法求零點的是()答案C解析能用二分法求零點的函數必須在給定區間a，b上連續不斷，并且有f(a)f(b)0A，B中不存在f(x)0，D中函數不連續故選C4用二分法研究函數f(x)x58x31的零點時，第一次經過計算得f(0)0，則其中一個零點所在的區間和第二次應計算的函數值分別為()A(0，05)，f(0125) B(05，1)，f(0875)C(05，1)，f(075) D(0，05)，f(025)答案D解析f(x)x58x31，f(0)0，f(0)f(05)0，f(2)0，f(2)0，h(22)0故選C8函數f(x)ex2x3的零點所在的一個區間為()A(1，0) B0， C，1 D1，答案C解析fe20，零點在，1上，故選C9設函數f(x)x33x，若函數g(x)f(x)f(tx)有零點，則實數t的取值范圍是()A(2，2) B(，)C2，2 D，答案C解析由題意，g(x)x33x(tx)33(tx)3tx23t2xt33t，當t0時，顯然g(x)0恒成立；當t0時，只需(3t2)243t(t33t)0，化簡得t212，即2t2，t0綜上可知，實數t的取值范圍是2，210若abc，則函數f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)的兩個零點分別位于區間()A(a，b)和(b，c)內 B(，a)和(a，b)內C(b，c)和(c，)內 D(，a)和(c，)內答案A解析易知f(a)(ab)(ac)，f(b)(bc)(ba)，f(c)(ca)(cb)又ab0，f(b)0，又該函數是二次函數，且圖象開口向上，可知兩個零點分別在(a，b)和(b，c)內11已知f(x)x2(a21)x(a2)的一個零點比1大，一個零點比1小，則實數a的取值范圍是_答案(2，1)解析函數f(x)的大致圖象如圖所示，則f(1)0，即1(a21)a20，得2a1a0，且a1)在R上單調遞減，且關于x的方程|f(x)|2x恰有兩個不相等的實數解，則a的取值范圍是()A BC D答案C解析要使函數f(x)在R上單調遞減，只需解得a，因為方程|f(x)|2x恰有兩個不相等的實數解，所以直線y2x與函數y|f(x)|的圖象有兩個交點，如圖所示易知y|f(x)|的圖象與x軸的交點的橫坐標為1，又12，故由圖可知，直線y2x與y|f(x)|的圖象在x0時有一個交點；當直線y2x與yx2(4a3)x3a(x0若存在實數b，使得關于x的方程f(x)b有三個不同的根，則m的取值范圍是_答案(3，)解析f(x)的大致圖象如圖所示，若存在bR，使得方程f(x)b有三個不同的根，只需4mm20，所以m318(2018全國卷)函數f(x)cos在0，的零點個數為_答案3解析0x，3x由題可知，當3x，3x或3x時，f(x)0解得x，或故函數f(x)cos3x在0，上有3個零點19(2018天津高考)已知a0，函數f(x)若關于x的方程f(x)ax恰有2個互異的實數解，則a的取值范圍是_答案(4，8)解析設g(x)f(x)ax方程f(x)ax恰有2個互異的實數解即函數yg(x)有兩個零點，即yg(x)的圖象與x軸有2個交點，滿足條件的yg(x)的圖象有以下兩種情況：情況一：則情況二：則不等式組無解綜上，滿足條件的a的取值范圍是(4，8)20(2018浙江高考)已知R，函數f(x)當2時，不等式f(x)0的解集是_；若函數f(x)恰有2個零點，則的取值范圍是_答案(1，4)(1，3(4，)解析當2時，不等式f(x)0等價于即2x4或1x2，故不等式f(x)4兩個零點為1，4，由圖可知，此時13綜上，的取值范圍為(1，3(4，)三、模擬小題21(2018河南濮陽一模)函數f(x)ln 2x1的零點所在區間為()A(2，3) B(3，4) C(0，1) D(1，2)答案D解析由f(x)ln 2x1，得函數是增函數，并且是連續函數，f(1)ln 210，根據函數零點存在性定理可得，函數f(x)的零點位于區間(1，2)上，故選D22(2018安徽安慶二模)定義在R上的函數f(x)滿足f(x)且f(x1)f(x1)，若g(x)3log2x，則函數F(x)f(x)g(x)在(0，)內的零點個數為()A3 B2 C1 D0答案B解析由f(x1)f(x1)，知f(x)的周期是2，畫出函數f(x)和g(x)的部分圖象，如圖所示，由圖象可知f(x)與g(x)的圖象有2個交點，故F(x)有2個零點故選B23(2018沈陽質檢一)設函數f(x)是定義在R上的偶函數，且f(x2)f(2x)，當x2，0時，f(x)x1，則在區間(2，6)上關于x的方程f(x)log8(x2)0的解的個數為()A1 B2 C3 D4答案C解析原方程等價于yf(x)與ylog8(x2)的圖象的交點個數問題，由f(x2)f(2x)，可知f(x)的圖象關于x2對稱，再根據f(x)是偶函數這一性質，可由f(x)在2，0上的解析式，作出f(x)在(0，2)上的圖象，進而作出f(x)在(2，6)上的圖象，如圖所示再在同一坐標系下，畫出ylog8(x2)的圖象，注意其圖象過點(6，1)，由圖可知，兩圖象在區間(2，6)內有三個交點，從而原方程有三個根，故選C24(2018鄭州質檢一)已知函數f(x)(aR)，若函數f(x)在R上有兩個零點，則實數a的取值范圍是()A(0，1 B1，)C(0，1) D(，1答案A解析由于x0時，f(x)exa在(，0上單調遞增，x0時，f(x)2xa在(0，)上也單調遞增，而函數f(x)在R上有兩個零點，所以當x0時，f(x)exa在(，0上有一個零點，即exa有一個根因為x0，0ex1，所以00時，f(x)2xa在(0，)上有一個零點，即2xa有一個根因為x0，2x0，所以a0所以函數f(x)在R上有兩個零點，則實數a的取值范圍是(0，1，故選A25(2018唐山期末)已知a1，函數f(x)若存在t使得g(x)f(x)t有三個零點，則a的取值范圍是()A(1，0) B(0，1) C(1，) D(0，)答案C解析如圖，作出函數yx2和ylog2(x1)的圖象，從圖中可以看出，在點O(0，0)和點A(1，1)處兩函數圖象有交點，顯然，要使g(x)f(x)t有三個零點，則函數yf(x)的圖象與直線yt有三個交點，顯然，只有當a1時，才可能有三個交點，故選C26(2018衡陽三模)已知函數f(x)x23x8cosx，則函數f(x)在(0，)上的所有零點之和為()A6 B7 C9 D12答案A解析h(x)x23xx21的圖象關于x對稱，設函數g(x)8cosx由xk，可得xk(kZ)，令k1可得x，所以函數g(x)8cosx的圖象也關于x對稱當x時，h2g8，作出函數h(x)，g(x)的圖象由圖可知函數h(x)x23xx21的圖象與函數g(x)8cosx的圖象有四個交點，所以函數f(x)x23x8cosx在(0，)上的零點個數為4，所有零點之和為46，故選A27(2018廣東惠州4月模擬)已知函數f(x)對任意的xR，都有fxfx，函數f(x1)是奇函數，當x時，f(x)2x，則方程f(x)在區間3，5內的所有根的和為_答案4解析函數f(x1)是奇函數，函數f(x1)的圖象關于點(0，0)對稱，把函數f(x1)的圖象向右平移1個單位可得函數f(x)的圖象，即函數f(x)的圖象關于點(1，0)對稱，則f(2x)f(x)又fxfx，f(1x)f(x)，從而f(2x)f(1x)，f(x1)f(x)，即f(x2)f(x1)f(x)，函數f(x)的周期為2，且圖象關于直線x對稱畫出函數f(x)的圖象如圖所示結合圖象可得方程f(x)在區間3，5內有8個根，且所有根之和為24428(2018江西上高第二中學模擬)已知f(x)則函數y2f2(x)3f(x)的零點個數為_答案5解析令y2f2(x)3f(x)0，則f(x)0或f(x)函數f(x)的圖象如圖所示：由圖可得，f(x)0有2個根，f(x)有3個根，故函數y2f2(x)3f(x)的零點個數為5一、高考大題本考點在近三年高考中未涉及此題型二、模擬大題1(2018湖南衡陽八中月考)已知函數f(x)x22x，g(x)(1)求gf(1)的值；(2)若方程gf(x)a0有4個實數根，求實數a的取值范圍解(1)利用解析式直接求解得gf(1)g(3)312(2)令f(x)t，則原方程化為g(t)a，易知方程f(x)t在t(，1)內有2個不同的解，則原方程有4個解等價于函數yg(t)(t1)與ya的圖象有2個不同的交點，作出函數yg(t)(t1)的圖象，如圖，由圖象可知，當1a時，函數yg(t)(t1)與ya有2個不同的交點，即所