第6講 對數與對數函數,知 識 梳 理,1.對數的概念 一般地，如果a(a0，a1)的b次冪等于N，即abN，那么數b叫作以a為底N的對數，記作_.其中a叫作對數的底數，N叫作真數. 2.對數的性質、換底公式與運算性質 (1)對數的性質：alogaN_；logaabb(a0，且a1) (2)對數的運算法則 如果a0且a1，M0，N0，那么,N,logaNb,loga(MN)_； loga _； logaMn_(nR)； loga mMn logaM(m，nR，且m0). (3)對數的重要公式 換底公式：_(a，b均大于零且不等于1)； logab ，推廣logablogbclogcd_.,logaMlogaN,logaMlogaN,nlogaMa,logad,3.對數函數及其性質 (1)概念：函數ylogax(a0，且a1)叫做對數函數，其中x是自變量，函數的定義域是(0，). (2)對數函數的圖像與性質,(0，),R,(1，0),y0,y0,y0,y0,增函數,減函數,4.反函數 指數函數yax(a0，且a1)與對數函數_(a0，且a1)互為反函數，它們的圖像關于直線_對稱.,ylogax,yx,診 斷 自 測,解析 (1)log2x22log2|x|，故(1)錯. (2)形如ylogax(a0，且a1)為對數函數，故(2)錯. (4)當x1時，logaxlogbx，但a與b的大小不確定，故(4)錯. 答案 (1) (2) (3) (4),2.已知函數yloga(xc)(a，c為常數，其中a0，且a1)的圖像如圖，則下列結論成立的是( ),A.a1，c1 B.a1，01 D.00，即logac0，所以0c1. 答案 D,答案 D,4.(2015浙江卷)若alog43，則2a2a_.,答案 (1)A (2)20,規律方法 (1)在對數運算中，先利用冪的運算把底數或真數進行變形，化成分數指數冪的形式，使冪的底數最簡，然后正用對數運算法則化簡合并. (2)先將對數式化為同底數對數的和、差、倍數運算，然后逆用對數的運算法則，轉化為同底對數真數的積、商、冪再運算. (3)abNblogaN(a0，且a1)是解決有關指數、對數問題的有效方法，在運算中應注意互化.,答案 (1)A (2)1,考點二 對數函數的圖像及應用 【例2】 (1)(2017鄭州一模)若函數ya|x|(a0，且a1)的值域為y|y1，則函數yloga|x|的圖像大致是( ),解析 (1)由于ya|x|的值域為y|y1，a1，則ylogax在(0，)上是增函數，又函數yloga|x|的圖像關于y軸對稱. 因此yloga|x|的圖像應大致為選項B.,(2)如圖，在同一坐標系中分別作出yf(x)與yxa的圖像，其中a表示直線在y軸上截距. 由圖可知，當a1時，直線yxa與ylog2x只有一個交點.,答案 (1)B (2)a1,規律方法 (1)在識別函數圖像時，要善于利用已知函數的性質、函數圖像上的特殊點(與坐標軸的交點、最高點、最低點等)排除不符合要求的選項. (2)一些對數型方程、不等式問題常轉化為相應的函數圖像問題，利用數形結合法求解.,【訓練2】 (1)函數y2log4(1x)的圖像大致是( ),解析 (1)函數y2log4(1x)的定義域為(，1)，排除A、B； 又函數y2log4(1x)在定義域內單調遞減，排除D.,答案 (1)C (2)B,考點三 對數函數的性質及應用(多維探究) 命題角度一 比較對數值的大小 【例31】 (2016全國卷)若ab0，0cb,答案 B,答案 C,命題角度三 對數型函數的性質 【例33】 已知函數f(x)loga(3ax). (1)當x0，2時，函數f(x)恒有意義，求實數a的取值范圍； (2)是否存在這樣的實數a，使得函數f(x)在區間1，2上為減函數，并且最大值為1？如果存在，試求出a的值；如果不存在，請說明理由.,解 (1)a0且a1，設t(x)3ax， 則t(x)3ax為減函數， x0，2時，t(x)的最小值為32a， 當x0，2時，f(x)恒有意義，,規律方法 (1)確定函數的定義域，研究或利用函數的性質，都要在其定義域上進行. (2)如果需將函數解析式變形，一定要保證其等價性，否則結論錯誤. (3)在解決與對數函數相關的比較大小或解不等式問題時，要優先考慮利用對數函數的單調性來求解.在利用單調性時，一定要明確底數a的取值對函數增減性的影響，及真數必須為正的限制條件.,【訓練3】 (1)設alog32，blog52，clog23，則( ) A.acb B.bca C.cba D.cab (2)已知函數f(x)loga(8ax)(a0，且a1)，若f(x)1在區間1，2上恒成立，則實數a的取值范圍是_.,思想方法 1.對數值取正、負值的規律 當a1且b1或00； 當a1且01時，logab0. 2.利用單調性可解決比較大小、解不等式、求最值等問題，其基本方法是“同底法”，即把不同底的對數式化為同底的對數式，然后根據單調性來解決.,3.比較冪、對數大小有兩種常用方法：(1)數形結合；(2)找中間量結合函數單調性. 4.多個對數函數圖像比較底數大小的問題，可通過比較圖像與直線y1交點的橫坐標進行判定.,易錯防范 1.在對數式中，真數必須是大于0的，所以對數函數ylogax的定義域應為(0，).對數函數的單調性取決于底數a與1的大小關系，當底數a與1的大小關系不確定時，要分01兩