第1頁共101頁1概率論與數理統計復旦大學此答案非常詳細非常全，可供大家在平時作業或考試前使用，預祝大家考試成功習題一1略見教材習題參考答案2設A，B，C為三個事件，試用A，B，C的運算關系式表示下列事件（1）A發生，B，C都不發生；（2）A與B發生，C不發生；（3）A，B，C都發生；（4）A，B，C至少有一個發生；（5）A，B，C都不發生；（6）A，B，C不都發生；（7）A，B，C至多有2個發生；（8）A，B，C至少有2個發生【解】（1）A（2）AB（3）ABC（4）ABCCBABCACABABCBABC567BCACABCAB8ABBCCAABACBCABCB3略見教材習題參考答案4設A，B為隨機事件，且P（A）07,PAB03，求P（）AB【解】P（）1P（AB）1PAPAB10703065設A，B是兩事件，且P（A）06,PB07,求（1）在什么條件下P（AB）取到最大值（2）在什么條件下P（AB）取到最小值第2頁共101頁2【解】（1）當ABA時，P（AB）取到最大值為06（2）當AB時，P（AB）取到最小值為036設A，B，C為三事件，且P（A）P（B）1/4，P（C）1/3且P（AB）P（BC）0，P（AC）1/12，求A，B，C至少有一事件發生的概率【解】P（ABC）PAPBPCPABPBCPACPABC143247從52張撲克牌中任意取出13張，問有5張黑桃，3張紅心，3張方塊，2張梅花的概率是多少【解】P5321315C/8對一個五人學習小組考慮生日問題（1）求五個人的生日都在星期日的概率；（2）求五個人的生日都不在星期日的概率；（3）求五個人的生日不都在星期日的概率【解】（1）設A1五個人的生日都在星期日，基本事件總數為75，有利事件僅1個，故P（A1）（）5（亦可用獨立性求解，下同）57（2）設A2五個人生日都不在星期日，有利事件數為65，故P（A2）563設A3五個人的生日不都在星期日P（A3）1PA11579略見教材習題參考答案10一批產品共N件，其中M件正品從中隨機地取出N件（N30如圖陰影部分所示23164P22從（0，1）中隨機地取兩個數，求（1）兩個數之和小于的概率；65（2）兩個數之積小于的概率1【解】設兩數為X,Y，則0正正（甲乙）（甲反1乙反）（甲反乙反）由對稱性知P（甲正乙正）P（甲反乙反）因此P甲正乙正1246證明“確定的原則”（SURETHING）若P（A|C）PB|C,PA|PB|，則P（A）PB【證】由P（A|C）PB|C,得,即有PACB同理由|,得故PACPABCPB47一列火車共有N節車廂，有KKN個旅客上火車并隨意地選擇車廂求每一節車廂內至少有一個旅客的概率【解】設AI第I節車廂是空的，（I1,N）,則第12頁共101頁121211NKKIKIJKIINPAPA其中I1,I2,IN1是1，2，N中的任N1個顯然N節車廂全空的概率是零，于是211211122111231CC0NNKKINIKIJIJNKNIIIINNISPASPASS1CCKKNKNN故所求概率為1211NKIINNPA1NK48設隨機試驗中，某一事件A出現的概率為0試證明不論0如何小，只要不斷地獨立地重復做此試驗，則A遲早會出現的概率為1【證】在前N次試驗中，A至少出現一次的概率為11N49袋中裝有M只正品硬幣，N只次品硬幣（次品硬幣的兩面均印有國徽）在袋中任取一只，將它投擲R次，已知每次都得到國徽試問這只硬幣是正品的概率是多少【解】設A投擲硬幣R次都得到國徽B這只硬幣為正品由題知,MNPB1|12RAPB則由貝葉斯公式知|APB第13頁共101頁13122RRRMNN50巴拿赫（BANACH）火柴盒問題某數學家有甲、乙兩盒火柴，每盒有N根火柴，每次用火柴時他在兩盒中任取一盒并從中任取一根試求他首次發現一盒空時另一盒恰有R根的概率是多少第一次用完一盒火柴時（不是發現空）而另一盒恰有R根的概率又有多少【解】以B1、B2記火柴取自不同兩盒的事件，則有（1）發現一盒已12PB空，另一盒恰剩R根，說明已取了2NR次，設N次取自B1盒（已空），NR次取自B2盒，第2NR1次拿起B1，發現已空。把取2NR次火柴視作2NR重貝努里試驗，則所求概率為1221CCNRRNRP式中2反映B1與B2盒的對稱性（即也可以是B2盒先取空）（2）前2NR1次取火柴，有N1次取自B1盒，NR次取自B2盒，第2NR次取自B1盒，故概率為11221RNRNRNRP51求N重貝努里試驗中A出現奇數次的概率【解】設在一次試驗中A出現的概率為P則由0120CC1NNNNNQQQPQCNNNNP以上兩式相減得所求概率為13NNPQ21N若要求在N重貝努里試驗中A出現偶數次的概率，則只要將兩式相加，即得2NPP52設A，B是任意兩個隨機事件，求P（B）（AB）（）（A）的值B【解】因為（AB）（）AB（B）（A）AB所求AB第14頁共101頁14ABAB故所求值為053設兩兩相互獨立的三事件，A，B和C滿足條件ABC，PAPBPC0,PA|B1,試比較PAB與PA的大小2006研考解因為第16頁共101頁16PABBP所以A習題二1一袋中有5只乒乓球，編號為1，2，3，4，5，在其中同時取3只，以X表示取出的3只球中的最大號碼，寫出隨機變量X的分布律【解】352435,10C06XPX故所求分布律為X345P0103062設在15只同類型零件中有2只為次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽樣，以X表示取出的次品個數，求（1）X的分布律；（2）X的分布函數并作圖；3133,1,12222PXPX【解】315231350,CCPX故X的分布律為X012P235235135第17頁共101頁17（2）當XA時，F（X）1即分布函數0,01,XXAA18設隨機變量X在2，5上服從均勻分布現對X進行三次獨立觀測，求至少有兩次的觀測值大于3的概率【解】XU2,5，即1,2530XFX其他53DPX故所求概率為233120C7P19設顧客在某銀行的窗口等待服務的時間X（以分鐘計）服從指數分布某顧客在窗15E口等待服務，若超過10分鐘他就離開他一個月要到銀行5次，以Y表示一個月內他未等到服務而離開窗口的次數，試寫出Y的分布律，并求PY1【解】依題意知，即其密度函數為15XE51E,0XF該顧客未等到服務而離開的概率為2510EDXPX,即其分布律為25EYB225525CE,1,3410E067KKYP20某人乘汽車去火車站乘火車，有兩條路可走第一條路程較短但交通擁擠，所需時間X服從N（40，102）；第二條路程較長，但阻塞少，所需時間X服從N（50，42）（1）若動身時離火車開車只有1小時，問應走哪條路能乘上火車的把握大些（2）又若離火車開車時間只有45分鐘，問應走哪條路趕上火車把握大些【解】（1）若走第一條路，XN（40，102），則第24頁共101頁24406620971XPX若走第二條路，XN（50，42），則505384故走第二條路乘上火車的把握大些（2）若XN（40，102），則0545056911XP若XN（50，42），則42P125016故走第一條路乘上火車的把握大些21設XN（3，22），（1）求P202FX,0,212他B試確定常數A,B，并求其分布函數F（X）【解】（1）由知DFX|02ED2EDXAA故即密度函數為E,20XF當X0時1DE2XXXFF第27頁共101頁27當X0時00DED2XXFF1EX故其分布函數1E,02,XFX2由12011DDBFBX得B1即X的密度函數為2,01,FXX其他當X0時F（X）0當00時，ELNXYPXYLNDYXF故2/LN11LNE,0YYYXFFFY221PX當Y1時0YFPY當Y1時21XY212YYP1/2DYXFX故D1142YYXYYFYFFFY1/412E,30PY當Y0時0YFPY第30頁共101頁30當Y0時|YFPXYXYDYFX故DYYXFYFFY2/E,0Y31設隨機變量XU（0,1），試求（1）YEX的分布函數及密度函數；（2）Z2LNX的分布函數及密度函數【解】（1）01P故EX當時Y0YFY當10時，2LNXZ/2LNEZP第31頁共101頁31/21/2EDZZX即分布函數/20,1EZZF故Z的密度函數為/2,0ZZF32設隨機變量X的密度函數為FX2,0,X其他試求YSINX的密度函數【解】01P當Y0時，0YFYP當00）1，故06,則P（X1時，ELNXYYPYLN01DYX即,01YYFY故2,YYFY第39頁共101頁3951設隨機變量X的密度函數為FXX,12求Y1的密度函數FYY3X【解】331FYPPY332113DARCTGARCTGYYXY故261YYF52假設一大型設備在任何長為T的時間內發生故障的次數N（T）服從參數為T的泊松分布（1）求相繼兩次故障之間時間間隔T的概率分布；（2）求在設備已經無故障工作8小時的情形下，再無故障運行8小時的概率Q（1993研考）【解】（1）當TT與NT0等價，有1101ETTPNT即E,0TTFT即間隔時間T服從參數為的指數分布。（2）168E16|816/8QPPT53設隨機變量X的絕對值不大于1，PX11/8，PX11/4在事件1P|Y2|1P0,PX1,Y1PU1,U11X21D1,4XU故得X與Y的聯合概率分布為,1,04242因,而XY及（XY）2的概率分布相應2DXYE為,01422041從而,EXY2102所以2DEXY6931設隨機變量X的概率密度為FX，（10503485有一批建筑房屋用的木柱，其中80的長度不小于3M現從這批木柱中隨機地取出100根，問其中至少有30根短于3M的概率是多少【解】設100根中有X根短于3M，則XB（100，02）從而3012301308P259866某藥廠斷言，該廠生產的某種藥品對于醫治一種疑難的血液病的治愈率為08醫院檢驗員任意抽查100個服用此藥品的病人，如果其中多于75人治愈，就接受這一斷言，否則就拒絕這一斷言（1）若實際上此藥品對這種疾病的治愈率是08，問接受這一斷言的概率是多少（2）若實際上此藥品對這種疾病的治愈率是07，問接受這一斷言的概率是多少【解】,1,200IIXI第人治愈其他令1II1XB100,08，751075108751752IIPXPX2942XB100,07，107510751753IIPPX1927用LAPLACE中心極限定理近似計算從一批廢品率為005的產品中，任取1000件，其中有20件廢品的概率【解】令1000件中廢品數X，則P005,N1000,XB1000,005，EX50，DX475故120513020689547P346898設有30個電子器件它們的使用壽命T1，T30服從參數01單位（小時）1的指數分布，其使用情況是第一個損壞第二個立即使用，以此類推令T為30個器件使用的總計時間，求T超過350小時的概率【解】10,IE20,ID33T故5055011109318433PT9上題中的電子器件若每件為A元，那么在年計劃中一年至少需多少元才能以95的概率保證夠用（假定一年有306個工作日，每個工作日為8小時）【解】設至少需N件才夠用則ETI10，DTI100，ET10N，DT100N從而即1306895,IPT3061故761024824895,16,27NNN所以需272A元10對于一個學生而言，來參加家長會的家長人數是一個隨機變量，設一個學生無家長、1名家長、2名家長來參加會議的概率分別為005,08,015若學校共有400名學生，設各學生參加會議的家長數相與獨立，且服從同一分布（1）求參加會議的家長數X超過450的概率（2）求有1名家長來參加會議的學生數不多于340的概率【解】（1）以XII1,2,400記第I個學生來參加會議的家長數則XI的分布律為XI012P00508015易知E（XI11）,DXI019,I1,2,400而,由中心極限定理得40I4014010,99IXN近似地于是5450541PXP1470132以Y記有一名家長來參加會議的學生數則YB400,08由拉普拉斯中心極限定理得83025093840P11設男孩出生率為0515，求在10000個新生嬰兒中女孩不少于男孩的概率【解】用X表10000個嬰兒中男孩的個數，則XB（10000，0515）要求女孩個數不少于男孩個數的概率，即求PX5000由中心極限定理有501053101354812設有1000個人獨立行動，每個人能夠按時進入掩蔽體的概率為09以95概率估計，在一次行動中（1）至少有多少個人能夠進入（2）至多有多少人能夠進入【解】用XI表第I個人能夠按時進入掩蔽體（I1,2,1000）令SNX1X2X10001設至少有M人能夠進入掩蔽體，要求PMSN1000095，事件7790109NNSMS由中心極限定理知110950NNPM從而95,M故016,9所以M900156588435884人2設至多有M人能進入掩蔽體，要求P0SNM095095NS查表知165,M900156591565916人9013在一定保險公司里有10000人參加保險，每人每年付12元保險費，在一年內一個人死亡的概率為0006,死亡者其家屬可向保險公司領得1000元賠償費求（1）保險公司沒有利潤的概率為多大；（2）保險公司一年的利潤不少于60000元的概率為多大【解】設X為在一年中參加保險者的死亡人數，則XB（10000，0006）1公司沒有利潤當且僅當“1000X1000012”即“X120”于是所求概率為112006120069494P2160/523018E59427E2因為“公司利潤60000”當且僅當“0X60”于是所求概率為66010601009494PX5614設隨機變量X和Y的數學期望都是2，方差分別為1和4，而相關系數為05試根據契78比雪夫不等式給出P|XY|6的估計（2001研考）【解】令ZXY，有0,23XPEDDYDY所以21|6|6362PZPX15某保險公司多年統計資料表明，在索賠戶中，被盜索賠戶占20，以X表示在隨機抽查的100個索賠戶中，因被盜向保險公司索賠的戶數（1）寫出X的概率分布；（2）利用中心極限定理，求被盜索賠戶不少于14戶且不多于30戶的概率近似值（1988研考）【解】（1）X可看作100次重復獨立試驗中，被盜戶數出現的次數，而在每次試驗中被盜戶出現的概率是02，因此，XB100,02，故X的概率分布是1010C28,210KKP2被盜索賠戶不少于14戶且不多于30戶的概率即為事件14X30的概率由中心極限定理，得3414010281028X5939716一生產線生產的產品成箱包裝，每箱的重量是隨機的假設每箱平均重50千克，標準差為5千克，若用最大載重量為5噸的汽車承運，試利用中心極限定理說明每輛車最多可以裝多少箱，才能保障不超載的概率大于0977【解】設XI（I1,2,N）是裝運I箱的重量（單位千克），N為所求的箱數，由條件知，可把X1，X2，XN視為獨立同分布的隨機變量，而N箱的總重量TNX1X2XN是獨立同分布隨機變量之和，由條件知50,IE5,IDNTNT依中心極限定理，當N較大時，,故箱數N取決于條件015N近似地50NNTPT197279因此可從解出N196,NN即N2401，所以N至少應取253設某廠生產的燈泡的使用壽命XN（1000，2）（單位小時），隨機抽取一容量為9的樣本，并測得樣本均值及樣本方差但是由于工作上的失誤，事后失去了此試驗的結果，只記得樣本方差為S21002，試求P（1062）【解】1000,N9，S21002108/3/XTT10626218605/3PTPT4從一正態總體中抽取容量為10的樣本，假定有2的樣本均值與總體均值之差的絕對值在4以上，求總體的標準差80【解】，由P|4002得0,1/XZNNXP|Z|4/N002,故,即410224109查表得3,所以410525設總體XN（，16），X1，X2，X10是來自總體X的一個容量為10的簡單隨機樣本，S2為其樣本方差，且P（S2A）01，求A之值【解】2299,0166查表得9148,6所以2105A6設總體X服從標準正態分布，X1，X2，XN是來自總體X的一個簡單隨機樣本，試問統計量Y，N5NIIII6251服從何種分布【解】2522211,5INIIIXX且與相互獨立12所以21/5,5XYFN7求總體XN（20，3）的容量分別為10，15的兩個獨立隨機樣本平均值差的絕對值大于03的概率【解】令的容量為10的樣本均值，為容量為15的樣本均值,則N20,310,YX81N20,，且與相互獨立Y315XY則0,0,5N那么,15XYZ所以03|03|21045PPZ216878設總體XN（0，2）,X1,X10,X15為總體的一個樣本則Y服從分布,參數為215210【解】I1,2,15,I那么122201520,5IIIIXX且與相互獨立,12所以22211015/0,5XXYF所以YF分布，參數為（10,5）9設總體XN（1,2）,總體YN2,2,X1,X2,和Y1，Y2，分別來自總體XN2N和Y的簡單隨機樣本，則21212NENJJNII【解】令122211,NNIIIJSXSY則1222211,NNIJIJYS82又22221121,1,NSNSN那么1221221212NNIJIJXYEEN221122N10設總體XN（,2），X1，X2，X2N（N2）是總體X的一個樣本，NIIX21令Y，求EYNIINI12【解】令ZIXIXNI,I1,2,N則ZIN2,221IN,且Z1,Z2,ZN相互獨立令211/1,IIIISN則211,NIIIXZ故那么222111,NNINIIIIYXZNS所以22ES11設總體X的概率密度為FX0，那么時，LL最大,18MAXII所以的極大似然估計值09因為EE,所以不是的無偏計18AXII18AIIX6設X1，X2，XN是取自總體X的樣本，E（X），D（X）2，K,問K為何值時為2的無偏估計21NIII【解】令I1,2,N1,1,IIY則20,IIIIEXEDY于是12221,NIKKNK那么當,即時,2E22有1KN7設X1，X2是從正態總體N（，2）中抽取的樣本11231234XXX試證都是的無偏估計量，并求出每一估計量的方差2,【證明】（1）11212,333EE,2124X3所以均是的無偏估計量12,2221145,339DXDX862222135,448DXD231,8某車間生產的螺釘，其直徑XN（，2），由過去的經驗知道2006,今隨機抽取6枚，測得其長度（單位MM）如下147150148149151152試求的置信概率為095的置信區間【解】N6,2006,1095005,025149,196AXU的置信度為095的置信區間為/240196475,16XN9總體XN,2，2已知，問需抽取容量N多大的樣本，才能使的置信概率為1，且置信區間的長度不大于L【解】由2已知可知的置信度為1的置信區間為,/2XUN于是置信區間長度為,/2UN那么由L,得N/22/4L10設某種磚頭的抗壓強度XN（，2），今隨機抽取20塊磚頭，測得數據如下（KGCM2）64694992559741848899846610098727487844881（1）求的置信概率為095的置信區間（2）求2的置信概率為095的置信區間【解】76,184,095,20,XSN/2025209753,818TNT1的置信度為095的置信區間/2416361,85092ASXTN2的置信度為095的置信區間2872222/1/1919,84,841903,723507NSSN11設總體XFX,0,X中中X1,X2,XN是X的一個樣本，求的矩估計量及極大似然估計量【解】1110DD,2EXFX又,XE故21所以的矩估計量X2似然函數1101,2NNIIIIXNLFX其他取對數1LNLLN01,D,IIIIIXINL所以的極大似然估計量為1LNIIX12設總體XFX36,0,X中X1,X2,XN為總體X的一個樣本（1）求的矩估計量；（2）求D88【解】12306DD,XEXXF令,EX所以的矩估計量22，42,DDN又3220663D,01XEX于是,2224DE所以25N13設某種電子元件的使用壽命X的概率密度函數為FX,2,0,XE其中0為未知參數，又設X1,X2,XN是總體X的一組樣本觀察值，求的極大似然估計值【解】似然函數121E01,20LNL,NIXINIIINLX其他由DLN20L,LL知那么當01MINAXLNNXL時所以的極大似然估計量1IN14設總體X的概率分布為X0123P22121289其中01,0，設X1,X2,XN為來自總體X的樣本（1）當1時，求的矩估計量；（2）當1時，求的極大似然估計量；（3）當2時，求的極大似然估計量【解】當1時，11,0XXFF90當2時,213,0XXFF111DEXX令,于是,X所以的矩估計量12似然函數1111,12,0,LNLLN,DL,NNIIIIIINIIXNLFXLX其他所以的極大似然估計量1LNIIX3似然函數2311,12,0,NINIIIXNLFX其他顯然,那么當時,1MINX0MAXLL所以的極大似然估計量1IN16從正態總體XN（34，62）中抽取容量為N的樣本，如果其樣本均值位于區間（14，54）內的概率不小于095，問N至少應取多大2/1EDZT91Z1281645196233Z090950975099【解】,則2634XNN340,1/XZNN543156/6/3210953ZPPNN于是則,09753N1963N3517設總體X的概率密度為FX，,01,12,X中其中是未知參數（01）,X1,X2,XN為來自總體X的簡單隨機樣本，記N為樣本值X1,X2,XN中小于1的個數求（1）的矩估計；（2）的最大似然估計解1由于1201DDEXXFXX132令，解得，32X3所以參數的矩估計為32X2似然函數為，11NNNIILFX取對數，得LNLL,兩邊對求導，得92DLN1LNN令得，DLN0,L所以的最大似然估計為N習題八1已知某煉鐵廠的鐵水含碳量在正常情況下服從正態分布N455,01082現在測了5爐鐵水，其含碳量（）分別為428440442435437問若標準差不改變，總體平均值有無顯著性變化（005）【解】0010/25025445,96,183635,18/HNZXZ所以拒絕H0，認為總體平均值有顯著性變化2某種礦砂的5個樣品中的含鎳量（）經測定為324326324327325設含鎳量服從正態分布，問在001下能否接收假設這批礦砂的含鎳量為325【解】設0010/25053532,461,13/4HNTNTXST所以接受H0，認為這批礦砂的含鎳量為3253在正常狀態下，某種牌子的香煙一支平均11克，若從這種香煙堆中任取36支作為樣本；測得樣本均值為1008（克），樣本方差S201G2問這堆香煙是否處于正常狀態已知香煙（支）的重量（克）近似服從正態分布（取005）【解】設930010/22502536,5,301,36,18674,/174630HNTNTNXSTT所以接受H0，認為這堆香煙（支）的重要（克）正常4某公司宣稱由他們生產的某種型號的電池其平均壽命為215小時，標準差為29小時在實驗室測試了該公司生產的6只電池，得到它們的壽命（以小時計）為19，18，20，22，16，25，問這些結果是否表明這種電池的平均壽命比該公司宣稱的平均壽命要短設電池壽命近似地服從正態分布（取005）【解】010505252,6,16,29,0,79/1HNZXXZ所以接受H0，認為電池的壽命不比該公司宣稱的短5測量某種溶液中的水分，從它的10個測定值得出0452,S0037設測定值總體X為正態，為總體均值，為總體標準差，試在水平005下檢驗（1）H005；H105（2）004；004【解】1005055,05,19831,423742,/918NTNTXST所以拒絕H0，接受H12222010952220954,0,32,3716,NXS所以接受H0，拒絕H16某種導線的電阻服從正態分布N（，00052）今從新生產的一批導線中抽取9根，測其電阻，得S0008歐對于005，能否認為這批導線電阻的標準差仍為000594【解】00102222/051/09759,8,8738,4,HHNS故應拒絕H0，不能認為這批導線的電阻標準差仍為00057有兩批棉紗，為比較其斷裂強度，從中各取一個樣本，測試得到第一批棉紗樣本N1200，0532KG,S10218KG；X第二批棉紗樣本N2200，057KG,S20176KGY設兩強度總體服從正態分布，方差未知但相等，兩批強度均值有無顯著差異005【解】01212/20502522211205,398196,807198,3719198203WWHNTTZSNSSXYTSNT所以接受H0，認為兩批強度均值無顯著差別8兩位化驗員A，B對一種礦砂的含鐵量各自獨立地用同一方法做了5次分析，得到樣本方差分別為043222與050062若A，B所得的測定值的總體都是正態分布，其方差分別為A2，B2，試在水平005下檢驗方差齊性的假設2201ABH【解】22121/050975221,43,056,94,6384NSSFFS那么09750254,4,FF所以接受H0，拒絕H1912略95習題九1燈泡廠用4種不同的材料制成燈絲，檢驗燈線材料這一因素對燈泡壽命的影響若燈泡壽命服從正態分布，不同材料的燈絲制成的燈泡壽命的方差相同，試根據表中試驗結果記錄，在顯著性水平005下檢驗燈泡壽命是否因燈絲材料不同而有顯著差異試驗批號12345678燈絲材料水平A1A2A3A416001580146015101610164015501520165016401600153016801700162015701700175016401600172016601680180017401820【解】1,26RIRN69895900697001884619571154,421TIJISX6974454926970018846443607,241AIIN1513508,ETAS,05/43607/2151583,2ERFNF故燈絲材料對燈泡壽命無顯著影響表911方差分析表方差來源平方和S自由度均方和SF值因素影響4436073147869215誤差151350822687959總和19571154252一個年級有三個小班，他們進行了一次數學考試，現從各個班級隨機地抽取了一些學生，記錄其成績如下7366887768418960783179598245487856684393916291539680365176717973778596711574808756試在顯著性水平005下檢驗各班級的平均分數有無顯著差異設各個總體服從正態分布，且方差相等【解】13,40,RIRN1994621857769136851,21ITJISX18611225185776933535,231AIIN1334965,ETAS05/67045382,ERFNF故各班平均分數無顯著差異表921方差分析表方差來源平方和S自由度均方和SF值因素影響335352167680465誤差13349653736080總和13685393下面記錄了3位操作工分別在不同機器上操作3天的日產量甲乙丙A1151517191916161821A2171717151515192222A3151716181716181818A4182022151617171717取顯著性水平005,試分析操作工之間，機器之間以及兩者交互作用有無顯著差異【解】由已知R4,S3,T3的計算如表931,IJJT操作工機器97表931甲乙丙IT1A475455156251456315934851541534A604851159JT20619822362721212211065921475,3,0947120571,3RSTTIJKIJRAISBJRSIJAABITSXRSTTTSTTTSTT,41ETABS表932得方差分析表方差來源平方和S自由度均方和SF值因素A（機器）2753092053A因素B（操作工）271721358789B交互作用AB735061225712AF誤差43324172總和1094750505053,241,2,43,241FFF接受假設，拒絕假設0HH即機器之間無顯著差異，操作之間以及兩者的交互作用有顯著差異4為了解3種不同配比的飼料對仔豬生長影響的差異，對3種不同品種的豬各選3頭進行操作工機器TIJ98試驗，分別測得其3個月間體重增加量如下表所示，取顯著性水平005，試分析不同飼料與不同品種對豬的生長有無顯著影響假定其體重增長量服從正態分布，且各種配比的方差相等因素B（品種）體重增長量B1B2B3因素A（飼料）A1A2A3515352565758454947【解】由已知RS3,經計算52,5066,53X12X5234,52,57,47,3X1231216873,150,2RSTIJIJRAIIRBJJETABSXSXS表941得方差分析表方差來源平方和S自由度均方和SF值飲料作用8682434523品種作用1502759036試驗誤差3324083總和162由于05052,469,ABFF因而接受假設,拒絕假設01H2即不同飼料對豬體重增長無顯著影響,豬的品種對豬體重增長有顯著影響5研究氯乙醇膠在各種硫化系統下的性能（油體膨脹絕對值越小越好）需要考察補強劑（A）、防老劑（B）、硫化系統（C）3個因素（各取3個水平），根據專業理論經驗，交互作用全忽略，根據選用L934表作9次試驗及試驗結果見下表表頭設計試驗列號試驗號1234結果123456111112221