1、.82信號的采樣和復現的數學描述一、 采樣過程所謂理想采樣，就是把一個連續信號e(t ) ，按一定的時間間隔逐點地取其瞬時值，從而得到一串脈沖序列信號e (t ) 。可見在采樣瞬時，e (t ) 的脈沖強度等于相應瞬時e(t) 的幅值，即e(0t ) , e(1t ) , e( 2t) , e(nt ) ，如圖 88 所示。因此，理想采樣過程可以看成是一個幅值調制過程，如圖 89 所示。采樣器好比是一個幅值調制器， 理想脈沖序列t (t ) 作為幅值調制器的載波信號，t (t)的數學表達式為t (t )(t - nt)(81)n -其中 n 0,1,2,e(t ) 調幅后得到的信號，即采樣信號

2、e (t ) 為e (t) e(t )t (t )e(t )(tnt )(82)n通常在控制系統中，假設當 t0 時，信號 e(t )0 ，因此e (t)e( 0)(t ) e(t )(t t)e(2t )(t2t )e(nt ) (tnt )(83)或e (t )e(nt )(tnt )(84)n 0式 (84)為一無窮項和式，每一項中的 (t nt ) 表示脈沖出現的時刻；而 e(nt ) 代表這一時刻的脈沖強度。式 (82)或 (84)表示了采樣前的連續信號與采樣后的離散信號之間的關系。 然而，一個值得提出的問題是：采樣后的斷續信號能否全面而真實地代表原來的連續信號呢?或者說它是否包含了

3、原連續信號的全.部信息呢 ?因為從采樣 (離散化 )過程來看，“采樣”是有可能會損失信息的。下面我們將從頻率域著手研究這個問題。二、 采樣信號的頻譜假設連續信號 e(t ) 的富氏變換式為 e( j) ，采樣后信號 e* (t ) 的富氏變換式用 e* ( j) 表示，下面我們來看 e ( j) 的具體表達式。由于理想脈沖序列t (t) 是一個周期函數，其周期為 t，因此它可以展開成指數形式的富氏級數，即t (t)1e jn st（85）t n其中s2t 為采樣角頻率。將式 (85)的結果代入 (82)式得e (t ) e(t)t (t )1e(t)ejnst（86）t n根據復位移定理；若

4、f e(t)e( j) ，則f e(t )e at e( jma)因此，式 (86)的富氏變換式為f e (t )e ( j )1(87)e( jjn s )t n假定連續信號 e(t ) 的頻譜如圖 810(a)所示，則根據式 (87)可得采樣 (離散 )信號 e (t ) 的頻譜如圖 810(b)所示。由圖 810，可得到如下結論：1(1) n0 的項為e( j) ，通常稱為基本頻譜。它正比于原連續信號e(t ) 的頻譜。t.(2) 同時派生出以1jn s ) ，其中 n 1，s 為周期的，無限多個高頻頻譜分量e( jt 2,。 h以上表明了連續信號與它所對應的離散信號在頻譜上的差別。從富

5、氏變換及其反變換的有關定理可知，在一定條件下，原函數e(t ) 與其富氏變換式 e( j) 是一一對應的，亦即由富氏變換式e( j) 可以唯一地還原成原函數 e(t) 。可以設想，如果讓采樣信號通過一個圖811 所示的理想濾波器，將所有派生出來的高頻分量全部濾掉，而同時保留其基本頻譜信號。那么經過這樣處理后的信號，只要將其幅值放大倍，就能完全重現原信號。t由圖 810 不難看出，要想完全濾掉高頻分量，篩選出基本頻譜，從而根據采樣信號e (t ) 來復現采樣前的連續信號 e(t ) ，采樣頻率s 必須大于或等于連續信號e(t) 頻譜中最高頻率max 的兩倍，即s2 max(88)這就是有名的香農

6、 (shannon)采樣定理。這一定理告訴我們，只要采樣頻率足夠高， 我們完全不必擔心采樣過程會損失任何信息。由圖 810 也可看出，若采樣頻率不夠高，即s2max 時，則將會出現如圖 812 所示的頻譜重疊現象。很明顯，這時，我們就無法再把基本頻譜和派生高頻頻譜分開；從而，也就無法重現原信號，或者說，采樣過程將損失信息。另外，需要指出的是，如圖811 所示的理想濾波器，實際上是不存在的。因此在工程上，通常采用性能與理想濾波器相近似的低通濾波器，其中最常用的低通濾波器就是零階保持器。三、 零階保持器的數學模型零階保持器的輸入、輸出關系如圖8 13 所示。因此，零階保持器的作用是在信號傳遞過程中

7、，把第nt 時刻的采樣信號值一直保持到第( n1)t 時刻的前一瞬時，把第( n1)t 時刻的采樣值一直保持到(n2)t 時刻，依次類推，從而把一個脈沖序列e (t) 變成一個連續的階梯信號eh (t) 。因為在每一個采樣區間內 eh (t) 的值均為常值，亦即其一階導數為零，故稱為零階保持器，可用“zoh”來表示。如果把階梯信號 eh (t ) 的中點連起來，則可以得到與 e(t) 形狀一致而時間上遲后半個采樣周期 (t 2) 的響應曲線 e(t t ) ，如圖 813 中的虛線所示。 由此也可初步估計到零階保持器對于系統動態性能的影2響。.為了求取零階保持器 (zoh) 的數字模型，可以從

8、圖8 13 中任取一個采樣周期來進行分析。零階保持器的輸入是脈沖函數，為了敘述方便，假設脈沖強度為1，即為單位脈沖函數，于是零階保持器的輸出就是單位脈沖過渡函數，該單位脈沖過渡函數的拉氏變換式，即為零階保持器的傳遞函數。零階保持器的單位脈沖過渡函數的圖形是高度為1，寬度為 t 的矩形波，如圖814(a)所示。為了求其拉氏變換式，可以把它分解成兩個階躍函數之和，如圖814(b)所示。于是，脈沖過渡函數可表示為y(t)1(t)1(tt )相應的拉氏變換式為11ets 1 e tsy(s)sss這就是零階保持器的傳遞函數，即1e tsg h (s)(89)s而零階保持器的頻率特性為1 e j tt sin(t 2)gh ( j )tt 2j2其頻率特性曲線如圖815 所示。與理想濾波器圖8 11 相比較，可見，兩者都能起低通濾波作用。不過.零階保持器的頻率特性不很理想。信號經過零階保持器以后， 其高頻分量不能完全濾掉。此外，零階保持器具有t 2 的相角遲后。因此，零階保持器的引入