1、3.2 3.2.3 直線與平面的夾角,理解教材新知,把握熱點考向,應用創新演練,考點一,考點二,第三章 空間向量與立體幾何,考點三,32.3直線與平面的夾角,如圖在正方體ABCDA1B1C1D1中 問題1：AC是A1C在平面ABCD內的射 影嗎？ 提示：因為AA1平面ABCD，所以AC 是A1C在平面ABCD內的射影,問題3：由問題2你能得到什么結論？ 提示：斜線與射影的夾角小于斜線與平面內其他直線的夾角,提示：當為銳角時90，當為鈍角時，90.,問題2：你能比較A1CA與A1CB的大小嗎？,1直線與平面的夾角 (1)如果一條直線與一個平面垂直，這條直線與平面的夾角為 ； (2)如果一條直線與

2、一個平面平行或在平面內，這條直線與平面的夾角為 ； (3)斜線和它在平面內的 所成的角叫做斜線和平面所成的角(或斜線和平面的夾角)； (4)直線與平面的夾角的范圍是 ,0,射影,2最小角定理 (1)線線角、線面角的關系式： 如圖，OB是OA在平面內的射影， OM，是OA與OM所成的角， 1是OA與OB所成的角， 2是OB與OM所成的角，則cos ,cos 1cos 2,它在平面內的射影,1斜線和它在平面內的射影所成的角是銳角 2cos cos 1cos 2中，1，2，分別是斜線與射影，射影與平面內的直線，斜線與平面內的直線所成的角，1，2.,例1在長方體ABCDA1B1C1D1中，AB4，BC

3、3，AA15，試求B1D1與面A1BCD1所成角的正弦值 思路點撥作出B1點在平面A1BCD1內的射影，從而得到B1D1在平面A1BCD1內的射影,精解詳析作B1EA1B，垂足為E， 又因為A1D1平面ABB1A1，A1D1B1E. 由B1EA1B及B1EA1D1得B1E面 A1BCD1， 所以，D1E就是D1B1在平面A1BCD1內 的射影， 從而B1D1E就是D1B1與面A1BCD1所成的角,一點通作直線與平面夾角的一般方法：在直線上找一點，通過這個點作平面的垂線，從而確定射影，找到要求的角其中關鍵是作平面的垂線，此方法簡稱為“一作，二證，三計算”,1.如圖，在四棱錐PABCD中，底面為

4、直角梯形，ADBC，BAD90， PA底面ABCD，且PAADAB 2BC，M、N分別為PC、PB的中點 (1)求證：PBDM； (2)求BD與平面ADMN所成的角,解：(1)證明：N是PB的中點，PAAB， ANPB. PA底面ABCD， PAAD， 又BAD90， AD面PAB，ADPB. PB平面ADMN. DM平面ADMN，PBDM.,2在正方體ABCDA1B1C1D1中，E、F分別為AA1、AB 的中點，求EF和平面ACC1A1夾角的大小,例2BOC在平面內，OA是平面的一條斜線，若AOBAOC60，OAOBOCa，BCa，求OA與平面所成的角 思路點撥根據定義或cos cos 1c

5、os 2求解,一點通求線面角關鍵是確定斜線在平面上射影的位置，只有確定了射影，才能將空間角轉化為平面角在本例中，也可以直接作AHBC于H，進而證明AH平面，從而證明H是點A在平面內的射影解法二則靈活應用公式cos cos 1cos 2求線面角，也是常用的方法,答案：C,4.如圖所示，四棱錐PABCD中，ABCD 是正方形，PD平面ABCD.若PBC 60，求直線PB與平面ABCD所成的角.,5.在正方體ABCDA1B1C1D1中(如圖)， M、N分別是棱B1C1、AD的中點，求 直線AD與平面BMD1N所成角的余弦值,6.如圖，在棱長為1的正方體ABCD A1B1C1D1中，P是側棱CC1上的一點， CPm，試確定m，使直線AP與平面 BDD1B1所成角的正切值為3 .,求直線與平面所成角的方法： (1)定義法：找(或作)出直線在平面內的射影，得到線面角，通過解三角形進行計算 (2)公式法：利用