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文檔簡介

1、第三節 平面波方法,本節主要內容：,5.3.1 微擾計算,5.3.2 三維能帶與一維能帶的區別,5.3 平面波方法,模型：平面波方法就是三維周期場中電子運動的近自由電子近似。,勢能 是具有周期性的函數，可以作傅氏展開。,由勢場的周期性,因為 是實數，所以,因為 為正格矢，所以 必為倒格矢，即,5.3.1 微擾計算,哈密頓量可寫為,為方便計算，我們取勢能平均值V0=0，這樣,考慮到 后解薛定諤方程，由布洛赫定理可知波函數應為：,其中周期性因子 展成傅里葉級數，,將 代入薛定諤方程,上式點乘 并對整個晶體積分得：,在上式求解過程中，利用了關系式：,因為 有無數多個取值，所以上式是一個無限多項的方程

2、式。在計算精度范圍內，可取有限項平面波來作 的近似。在此情況下，上式就變為一個有限項的方程。這樣的方程構成了一個齊次方程組。,由此行列式可求出電子的能量 。,如果電子的行為接近于自由電子時，其波函數與平面波相近:,其他系數 是小量；電子能量也與自由電子能量近似,電子的近自由電子行為是由勢場決定的，此種情況的勢場起伏不大，中心方程中的系數 是小量。若忽略掉二級小量，中心方程簡化為：,即,當 遠離 時，由于 是小量，所以 也是小量，但當 時， 變得很大，此時中心方程中除 和 不能忽略外其它項仍是二級小量,可以忽略。中心方程化為:,利用：,就可得到：,由此可知，當 時，波矢k將對應兩個能級，,這兩能

3、極之間的能量區間稱為禁帶，禁帶寬度為相應傅里葉分量絕對值的二倍。,發生能量不連續的波矢 滿足的條件可改寫為：,在禁帶中不存在布洛赫波描述的電子態。,禁帶寬度,上式的幾何意義是：在 空間中從原點所作的倒格矢 的垂直平分面的方程。,我們令 ，則從圖中可以看出，不僅 與 的模相等，而且，若把 看作 中 垂面的入射波矢， 恰是 中垂面的反射波矢。,若不考慮雜質和缺陷引起的散射，電子的散射只能是晶格引起的。波矢為 態的反射波就是與 垂直的晶面族引起的。由第一章知，這組晶面的面間距,由圖可知,這正是與 垂直的晶面族對應的布拉格反射公式。,一維：屬于一個布里淵區的能級構成一個能帶，不同的布里淵區對應不同的能帶，在布里淵區邊界能帶與能帶之間出現能隙。,5.3.2 三維能帶與一維能帶的區別,三維：與一維的重要區別是不同的能帶在能量上不一定隔開，而可以發生能帶之間的交疊。,EC為第一布里淵區(C點)的最高能量，,EB為第二布里淵區(B點)的最低能量，,出現禁帶(能隙)Eg；,出現能帶重疊。,對于三維的情

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