1、,第十一講阿波羅尼奧斯與圓錐曲線論,斐波那契數是大自然的模式之一。 圓錐曲線是宇宙的基本形式 人類用數學刻畫大自然和宇宙！,3,知識的邏輯順序與歷史順序有時是不同的.學與教都應該重視這一點：在注意知識的邏輯順序時，同時注意知識的歷史順序,阿波羅尼奧斯與圓錐曲線論,切竹筍圓錐曲線的模型,圓,橢圓,拋物線,雙曲線,伸開你的雙手，你有什么發現？ 會與你曾經學過的“圓錐曲線”有關嗎？,手掌指關節分布特點的數學研究,你對“圓錐曲線”還有多少回憶？ “圓錐曲線”的例子你還能舉出一些嗎？,圓錐曲線包括橢圓、拋物線、雙曲線和圓，通過直角坐標系，它們又與二次方程對應，所以，圓錐曲線又叫做二次曲線。圓錐曲線一直是

2、幾何學研究的重要課題之一，在我們的實際生活中也存在著許許多多的圓錐曲線。,一、圓錐曲線的由來與阿波羅尼奧斯,對于圓錐曲線的最早發現，眾說紛法。 有人說，古希臘柏拉圖學派的梅內赫莫斯為了解決當時的一個著名難題立方倍積問題，即用圓規直尺作圖的方法，把任意正立方體的體積擴大一倍。 在求解“立方倍積”問題時，發現了圓錐曲線：設x、y為a和2a的比例中項，即。a：xx：yy：2a，則 這就是立方倍積。,他用直角三角形旋轉得到直角圓錐曲面，再用 想用“直角圓錐曲線”在理論上解決“立方倍積問題”，但未獲成功。 此后，他便撇開“立方倍積問題”，專門研究圓錐曲線。 【思考】值得我們學習，必要時在現有研究的基礎上

3、調整研究方向。,設直角圓錐的軸三角形VBC是等腰直角三角形，頂角V是直角，過母線VB上一點A用垂直于VB平面圓錐面，其交線QAR為直角圓錐截線。 過交線QAR 上任一點P作平面垂直于軸VO，它與軸截面VBC交于DE，與圓錐交于以DE為直徑的圓DPE，由于平面DEP和AQR均垂直于平面BVC,故交線PNDE于是NP2 = DNNE。 作AF/DE,FG DE,如圖。 因為AFG NAD。于是 FAND = AGAN, 又NE = AF, 于是NP2 = DNNE = DNFA = AGAN. 記AN = x,NP = y，AG是與點A 位置有關的定線段記為b。于是上式可寫為 y2 = bx,用解

4、析幾何的說法便是：曲線上任意一點的縱坐標的平方等于相應的橫坐標乘上一個正數(正焦距)，這正是拋物線的性質。 若設VA=a，那么 AG = AF= VA= 2a。 這樣就得到 y2 = 2ax, 這也正是解析幾何學中拋物線的解析式,鈍角圓錐面； 鈍角圓錐曲線 （雙曲線的一支）。,銳角圓錐面； 銳角圓錐曲線（橢圓）,直角圓錐面； 直角圓錐曲線（拋物線）,思考：橢圓、拋物線、雙曲線在古代分別稱為？,他分別得到銳角、鈍角圓錐曲面，同樣用垂直于母線的平面去截圓錐曲面，得到的截線分別稱為銳角圓錐曲線（橢圓），鈍角圓錐曲線（雙曲線的一支）。 【注意】梅內赫莫斯得到的三種圓錐曲線分別以三種不同的圓錐曲面為基礎

5、得到。這就給后人留下了繼續研究的余地。 收獲1：我們看到了由體到面到線的例子，小學數學先安排認識“體”，再認識“面”。為何？ 收獲2：“體面”新說？,這引起了許多希臘數學家的興趣，他們開始對圓錐曲線作深入的研究，其中包括阿里斯泰奧斯、歐幾里得、阿基米德等人。他們的研究為系統的圓錐曲線理論的最終形成積累了大量的資料， 將圓錐曲線理論進行整理、深化的任務歷史性的落在了阿波羅尼奧斯身上 （聯想：站在巨人的肩膀上！）,阿波羅尼奧斯(Apollonius，約公元前262年-公元前190年)，希臘數學家、天文學家。阿波羅尼奧斯年輕時曾在亞歷山大求學，后來長期在那里生活。他將前人研究圓錐曲線取得的成果加以總

6、結，在自己進一步思考的基礎上，寫成圓錐曲線論這一經典名著，被稱為古希臘研究幾何學的登峰造極之作。阿拉伯和西歐的許多數學家都曾經長期將它奉為必讀經典。,還有現實意義！,阿波羅尼奧斯不拘泥于古已有之的內容和方法， 富于想像， 大膽創新， 正如他自己所說的： “模仿只會仿制他所見到的事物， 而想像則能創造他所沒有見過的事物。,阿波羅尼奧斯以前的數學家研究圓錐曲線都是從三個頂角不同的圓錐出發來考慮的。梅內赫莫斯在嘗試解決倍立方體問題時，發現了圓錐曲線。他將圓錐分為三類： 若兩條母線的最大交角是銳角，圓錐稱為銳角圓錐； 若兩條母線的最大交角為直角，圓錐稱為直角圓錐； 若為鈍角，圓錐稱為鈍角圓錐。 用一個

7、垂直于一條母線的平面截圓錐，所得截線，分別稱為銳角圓錐曲線、直角圓錐曲線和鈍角圓錐曲線。,啟示：創新意識和能力,阿波羅尼奧斯改進了梅內赫莫斯的方法，他從一個圓錐出發，用一個平面與圓錐的母線成不同角度截圓錐，就可以得到三種圓錐曲線： 截面與所有母線都相交，截線為橢圓； 截面與一條母線平行，截線為拋物線； 截面與軸線平行就可以使得截線為雙曲線的一支。他分別將這三種圓錐曲線命名為：“齊曲線”(拋物線)、“虧曲線”(橢圓)、“超曲線”(雙曲線)。阿波羅尼奧斯首先注意到了雙曲線有兩支，并且是有心曲線。另外，他還研究了二次曲線的切線問題和點的軌跡問題。 【思考】阿波羅尼奧斯為什么會這樣去改進？是否與數學思

8、維方法：“特殊化與一般化”，“一般化精神”有關？,考察不同傾斜角的平面截圓錐其切口所得到的曲線，也就是說如果切口與底面所夾的角小于母線與底面所夾的角，則切口呈現橢圓；若兩角相等，則切口呈現拋物線；若前者大于后者，則切口呈現雙曲線。,阿波羅尼奧斯將圓錐曲線的性質總結得如此全面，以致使得后人在很長一段時間里沒有可以突破的余地，直到17世紀，帕斯卡、笛卡爾創立解析幾何，用新的方法進行研究才打破了這一僵局，將圓錐曲線研究作了實質性的推進。 思考：高中所學圓錐曲線從何開始？,早期對圓錐曲線進行系統研究成就最突出的可以說是古希臘數學家阿波羅尼（Apollonius,前262前190）。他與歐幾里得是同時代

9、人，其巨著圓錐曲線與歐幾里得的幾何原本同被譽為古代希臘幾何的登峰造極之作。在圓錐曲線中，阿波羅總結了前人的工作，尤其是歐幾里得的工作，并對前人的成果進行去粗存精、歸納提煉并使之系統化的工作，在此基礎上，又提出許多自己的創見。全書8篇，共487個命題，將圓錐曲線的性質網羅殆盡，以致后代學者幾科沒有插足的余地達千余年。,阿波羅尼奧斯還作了論切觸一書，在書中，他提出了著名的“阿波羅尼奧斯切圓問題”：給定三個圓（或圓的變種：點和直線，但三個點必須不共線，三條直線不能平行)，求作一圓，使之與它們全都相切。在天文學方面，阿波羅尼奧斯也作出了許多貢獻。他是定量地研究天文學的早期學者之一。為了解釋行星的運動，

10、他引進了偏心圓運動和本輪運動系統。另外，他還曾經找到了一種確定行星在運動軌道上停下來作逆行運動的點的方法。 偉大的古代數學家！,焦點名稱的由來,阿波羅尼奧還進一步研究了這些圓錐曲線的光學性質，比如橢圓，他發現如果把橢圓焦點F一側做成鏡面，并在F處放置光源，那么經過橢圓鏡反射的光線全部通過另一個焦點F。熱也和光一樣發生反射，所以這時便會被烤焦，這也就是焦點名稱的由來。據說這一發現是他在研究橢圓的作法（也就是現行教材中一開始介紹的作法）時得出的。,我們生活的地球每時每刻都在環繞太陽的橢圓軌跡上運行，太陽系其他行星也如此，太陽則位于橢圓的一個焦點上。如果這些行星運行速度增大到某種程度，它們就會沿拋物

11、線或雙曲線運行。人類發射人造地球衛星或人造行星就要遵照這個原理。相對于一個物體，按萬有引力定律受它吸引的另一物體的運動，不可能有任何其他的軌道了。 因而，圓錐曲線在這種意義上講，它構成了我們宇宙的基本形式。 （猜想1：圓錐曲線可以轉化！拋物線也有兩個焦點！ 猜想2：火箭的發射速度應該與欲送入太空的航天器運行軌道有關！ （聯想：斐波那契數是大自然的一種模式！）,圓錐曲線真正從后臺走上前臺，從學術的象牙塔中進入現實生活的世界里，應歸功于德國天文學家開普勒（公元1571年1630年），開普勒在長期的天文觀察及對記錄的數據分析中，發現了著名的“開普勒三定律”，其中第一條是：“行星在包含太陽的平面內運動

12、，劃出以太陽為焦點的橢圓”， 就這樣，梅納赫莫斯和阿波羅尼奧斯出于數學愛好而研究的曲線在近2000年之后于天文學的舞臺上登場了。 后來哈雷又利用圓錐曲線理論及計算方法準確地預測到哈雷彗星與地球最近點的時刻，1758年在哈雷逝世16年之后，哈雷彗星與地球如期而遇，這引起了全歐洲、乃至全世界的轟動，也進一步推動人們對圓錐曲線研究興趣的提升。 聯想：還有那顆星的發現是與數學有關的,由拋物線繞其軸旋轉，可得到一個叫做旋轉拋物面的曲面。它也有一條軸，即拋物線的軸。在這個軸上有一個具有奇妙性質的焦點，任何一條過焦點的直線由拋物面反射出來以后，都成為平行于軸的直線。這就是我們為什么要把探照燈反光鏡做成旋轉拋

13、物面的道理。由雙曲線繞其虛軸旋轉，可以得到單葉雙曲面，它又是一種直紋曲面，由兩組母直線族組成，各組內母直線互不相交，而與另一組母直線卻相交。人們在設計高大的立塔時，就采取單葉雙曲面的體形，既輕巧又堅固。由此可見，對于圓錐曲線的價值，無論如何也不會估計過高。,二、圓錐曲線的定義,從分開定義到尋找統一定義尋求“統一美”。 教材中是從平面曲線走向空間曲線，而歷史上是從空間曲線走向平面曲線的。 教材中有些知識的邏輯順序與發現它的歷史順序是不同的 學習本段的意義？,又一次欣賞數學的“統一美”！ 回憶：前面介紹過哪些數學的統一美？,三、圓錐曲線的方程和性質,高中已經學習,圓錐曲線的轉化及實際意義！ 拋物線

14、有沒有第二個焦點？,圓錐曲線的應用,1.在天文學方面的應用,宇宙論的演變,十五世紀前后，歐洲人普遍認為地球是位于宇宙的中心的。,地球就被十一層天球所包圍。,宇宙論的演變,在 1543 年，哥白尼提出了日心說的理論。,開普勒的行星定律,開普勒（1571 1630）,開普勒的行星定律,開普勒的行星定律是以布拉赫數十年對于行星運行的觀察數據為基礎，,再花十多年功夫才找到一個吻合布拉赫數據的數學模型。 他終于在 1609 年完成了火星運行的數學理論。,開普勒的行星定律,第一定律：行星沿橢圓軌道道繞太陽運行，太陽位于橢圓的一個焦點之上。,第二定律：在相等時間內，連接每顆行星與太陽的向徑所掃過的面積皆相等

15、。 （怎么證明？） 第三定律：每顆行星繞太陽運動的公轉周期的平方與它們到太陽的平均距離的立方成正比。,發射速度與軌道形狀的關系,開普勒的行星定律,開普勒的發現，為圓錐曲線的研究加添上一層實際的意義。,圓錐曲線的光學性質,即橢圓的光學性質、雙曲線的光學性質和拋物線的光學性質。1：橢圓的光學性質：從橢圓的一個焦點發出的光線或聲波在經過橢圓周上反射后，反射都經過橢圓的另一個焦點。在圓錐曲線的定義中的定點，之所以稱作為焦點，是源于它們的光學上聚焦性質設一個鏡面的軸截面的廓線是橢圓，那么當你把一個射線源置于定點F1處，所有射線通過橢圓反射后，都會集中到另一個定點F2；反過來也是一樣射線集中現象在光學上稱

16、為聚焦，因此自然稱這兩個定點F1,F2為焦點了橢圓的這種光線特性，常被用來設計一些照明設備或聚熱裝置例如在F1處放置一個熱源，那么紅外線也能聚焦于F2處，對F2處的物體加熱,2.在光學方面的應用,2：雙曲線的光學性質：如果光源或聲源放在雙曲線的一個焦點F2處，光線或聲波射到雙曲線靠近F2的一支上，經過反射以后，就從另一個焦點F1處射出來一樣。 雙曲線的光學性質同樣也有聚焦性質，但它是反向虛聚焦，即置于雙曲線一個焦點處的射線源，被雙曲線反射后，其反射線的反向延長線，必定經過另一個焦點雙曲線這種反向虛聚焦性質，在天文望遠鏡的設計等方面，也能找到實際應用,拋物線的光學性質：從拋物線的焦點發出的光線或

17、聲波在經過拋物線周上反射后，反射光線平行于拋物線的對稱軸。把拋物線看作為一個焦點在無窮遠處的“橢圓”，橢圓從一個焦點處發出的射線，聚焦到另一個焦點的橢圓的光學特性，表現在拋物線上，形式就與橢圓大不相同了：設想射線源在位于無窮遠處的那個焦點處，無窮遠處出發的射線，經拋物線反射后，到達位于有限位置的另一個焦點，但無窮遠處出發的射線，在處于有限位置的你看來，只能是平行于對稱軸的射線束(例如太陽雖然離開地球很遙遠，但畢竟還沒有在無窮遠處，就這樣，我們都已經覺得太陽光線是平行的，而不是像燈泡那樣是散射的光線),因此平行于對稱軸的射線經拋物線反射，必定聚焦于焦點反之把射線源置于拋物線的焦點(它在有限位置處

18、)，經拋物線反射后，所有的射線也要聚到在無窮遠處的那個焦點去，因此反射射線也只能是平行于對稱軸的，即從焦點發出的射線，經拋物線反射后成為平行于對稱軸的射線束,拋物線這種聚焦特性，成為聚能裝置或定向發射裝置的最佳選擇例如探照燈、汽車大燈等反射鏡面的縱剖線是拋物線，把光源置于它的焦點處，經鏡面反射后能成為平行光束，使照射距離加大，并可通過轉動拋物線的對稱軸方向，控制照射方向衛星通訊像碗一樣的接收或發射天線，一般也是以拋物線繞對稱軸旋轉得到的，把接收器置于其焦點，拋物線的對稱軸跟蹤對準衛星，這樣可以把衛星發射的微弱電磁波訊號射線，最大限度地集中到接收器上，保證接收效果；反之，把發射裝置安裝在焦點，把

19、對稱軸跟蹤對準衛星，則可以使發射的電磁波訊號射線能平行地到達衛星的接收裝置，同樣保證接收效果最常見的太陽能熱水器，它也是以拋物線鏡面聚集太陽光，以加熱焦點處的貯水器的,這三個圓錐曲線的光學性質在生活中有著很廣泛的應用。一只小燈泡發出的光，會分散地射向各方，但把它裝在手電筒里，經適當的調節，就能射出一束比較強的平行光，這是為什么呢？原因就是手電筒內，在小燈泡后面有一個反光鏡，它的形狀是拋物面，而它的作用就是能把由焦點發出的光線，以平行光（平行拋物面的軸）射出。探照燈也是利用這個原理做的。,再根據光的可逆性，可以設計出用于加熱水和食物的太陽灶。在太陽灶上裝有一個可旋轉拋物面形的反光鏡，當它的軸與太

20、陽光線平行時，太陽光線經反射后集中于焦點處，這一點的溫度就會很高。其他如聚光燈、雷達天線、衛星天線、射電望遠鏡等也都是利用拋物線的光學性質原理制成的。,還有，電影放映機的聚光燈有一個反射鏡，它的形狀是旋轉橢圓面。為了使片門（電影膠片通過的地方）處獲得最強的光線，聚光燈泡與片門應分別對應于橢圓的兩個焦點處，,由于水波、聲波和光波都是波的一種形式，因此有很多類似的性質。如對水波遇到橢圓面、雙曲線線面及拋物面的反射情況進行分析：為了使在展覽廳走動的游客們都能聽清講解員的解說，根據圓錐曲線的光學性質及聲波的相關原理，展覽廳常設計為橢圓形；圓錐曲線因其方程簡單，線型多變美觀，且具有某些很好的力學性質，因此在建筑方面也不乏應用；特別是流行于當前的大型薄殼頂棚建筑，其縱剖線很多就是圓錐曲線 圓錐曲線