1、四川省宜賓市第三中學高中數學 專題講義之函數的單調性與奇偶性 新人教A版必修1【知識點精析】一、函數的單調性 1. 增函數、減函數的定義一般地，對于給定區間上的函數，如果對于屬于這個區間的任意兩個自變量的值，當時，都有 或都有 ，那么就說在這個區間上是增函數（或減函數）。如果函數在某個區間上是增函數（或減函數），就說在這一區間上具有（嚴格的）單調性，這一區間叫做的單調區間。如函數是增函數則稱區間為 區間，如函數為減函數則稱區間為 區間。 2. 函數單調性可以從三個方面理解（1）圖形刻畫：對于給定區間上的函數，函數圖象如從 向 連續 ，則稱函數在該區間上單調 ，函數圖象如從 向 連續 ，則稱函數

2、在該區間上單調 。（2）定性刻畫：對于給定區間上的函數，如函數值隨自變量的增大而增大，則稱函數在該區間上 ，如函數值隨自變量的增大而減小，則稱函數在該區間上 。（3）定量刻畫，即定義。上述三方面是我們研究函數單調性的基本途徑。二、函數奇偶性 1. 奇函數：對于函數的定義域內任意一個x，都有 或 ，則稱為奇函數。 2. 偶函數：對于函數的定義域內任意一個x，都有 或 ，則稱為偶函數。 3. 奇、偶函數的性質（1）具有奇偶性的函數，其定義域關于 對稱（也就是說，函數為奇函數或偶函數的必要條件是其定義域關于原點對稱）。（2）奇函數的圖象關于 對稱，偶函數的圖象關于 對稱。（3）若奇函數的定義域包含數

3、0，則 。（4）定義在上的任意函數都可以唯一表示成一個奇函數與一個偶函數之和。即：三、幾個重要的結論（解題的方法技巧）1.注意定義的如下兩種等價形式： 設，那么（1）在上是 函數；在上是 函數；（2）在上是 函數；在上是 函數。2.判斷函數單調性的常用方法：（1）定義法；（用于證明）（2）兩個增（減）函數的和仍為 函數；一個增（減）函數與一個減（增）函數的差是 函數；（3）奇函數在對稱的兩個區間上有 的單調性，偶函數在對稱的兩個區間上有 的單調性；（4）如果在區間D上是增（減）函數，那么在D的任一子區間上也是增（減）函數； （5）如果和單調性相同，那么是 函數；如果和單調性相反，那么是 函數（

4、簡而言之：同增異減）。 注意：（1）函數的奇偶性是對整個定義域而言的，是函數的整體性質；函數的單調性是對整個定義域或其子區間而言的，是函數的局部性質，要注意將兩者結合起來研究函數的有關應用。 （2）奇函數在時有定義，則（3）在公共定義域上，兩奇函數之積（或商）為_函數；兩偶函數之積（或商）為_函數；一奇一偶函數之積（或商）為_函數。（奇奇）為_。（偶偶）為_。【實戰演練】一、選擇題。1.下列函數中，在其定義域內既是奇函數又是減函數的是()Ayx3，xR By，xR Cyx，xR Dyx，xR定義在R上的偶函數滿足：對任意的，有.則（ ）(A) (B) (C) (D) 3. 已知在區間上是增函數

5、，則的范圍是（ ）A B C D 4. 已知函數（）Ab Bb C D下列說法正確的是()A函數y是奇函數，且在定義域內為減函數B函數yx3(x1)0是奇函數，且在定義域內為增函數C函數yx2是偶函數，且在(3,0)上為減函數D函數yax2c(ac0)是偶函數，且在(0,2)上為增函數6奇函數f(x)在區間3,7上是增函數，在區間3,6上的最大值為8，最小值為1，則2f(6)f(3)的值為()A10B10C15 D157. 已知函數，則的奇偶性依次為A 偶函數，奇函數 B 奇函數，偶函數 C 偶函數，偶函數 D 奇函數，奇函數8.設f(x)是定義在R上的奇函數，且當x0時，f(x)2x3，則f

6、(2)()A1B. C1 D9.已知定義在R上的奇函數，滿足,且在區間0,2上是增函數,則( ).A. B. C. D. 10已知函數，其中log2f(x)=2x，xR，則g(x)是（ ）A奇函數又是減函數 B偶函數又是增函數 C奇函數又是增函數 D偶函數又是減函數11已知函數是定義在實數集R上的不恒為零的偶函數，且對任意實數都有 ，則的值是（ ） A. 0 B. C. 1 D. 12定義在區間(-,+)的奇函數f(x)為增函數；偶函數g(x)在區間0,+)的圖象與f(x)的圖象重合.設ab0,給出下列不等式f(b)-f(-a)g(a)-g(-b);f(b)-f(-a)g(b)-g(-a);f(a)-f(-b)1b0)(1)求f(x)的定義域；(2)若f(x)在(1，)上遞增且恒取正值，求a，b滿足的關系式19 已知函數的定義域為，且對任意，都有，且當時，恒成立，證明：（1）函數是上的減函數；（2）函數是奇函數 20. 已知奇函數f(x)是定義在(3，3)上的減函數，且滿足不等式f(x3)+f(3x1)0,設不等式解集為A，B=Ax|1x,求函數g(x)=3x2+3x4(xB)的最大值.21設函數.(1)確定函數f (x)的定義域；(2)判斷函