1、 2.1.1 指數與指數冪的運算（一）一、內容及其解析（一）內容：章導言，引出指數冪概念的推廣，根式（二）解析：本節課是關于根式的一節概念課，是高中新課改人教A版教材第二章的第一節課第一章主要介紹了函數的概念，本章計劃用14個課時重點介紹幾類具體的基本初等函數，以此進一步理解函數概念，認識函數的思想其中，指數函數計劃用6課時，具體分配如下：根式（含章導言）1課時，分數指數冪1課時，無理指數冪1課時，指數函數及其性質3課時1章導言在本節課起到了一個承上啟下的作用，特別對學習基本初等函數具有引導作用2本章首先要介紹的是指數函數，即f(x)=ax（a0且a1），這里的ax是一個指數冪，其中xR這就涉

2、及到實數指數冪的概念，而在此之前同學只學過整數指數冪，所以需要在學習指數函數前將同學已有指數冪的概念進行推廣，由整數指數冪推廣到有理指數冪，再進一步推廣到實數指數冪由于先有根式才有有理指數冪（分數指數冪），根式就成了有理指數冪的基礎，而方根又是根式概念的核心，所以本節課主要就是針對有理指數冪，從n次方根逐步認識根式，為進一步認識有理指數冪奠定基礎3由于本模塊、本章和本節都是圍繞函數這一核心，從不同角度展開研究，所以無論是指數和指數冪的運算，還是根式，都是為函數教學服務的，都不是我們研究的重點這樣，本節課的重點就應該放在為后續內容的鋪墊上，即將整數指數冪推廣到有理指數冪和引入指數函數，而關鍵在于

3、根式的概念，包括n次方根定義、表示和性質二、目標及其解析（一）教學目標1初步了解指數冪和指數函數；2通過類比平方根、立方根，認識n次方根，進而初步理解根式的概念（二）解析1課程標準沒有明確提出本節課的具體教學內容和要求，但根據它對本模塊、本章和本節的內容要求，結合教科書當前和今后內容的實際，基于對相關內容的分析，提出了上述教學目標的內容并給出了相應的要求定位2初步了解指數冪和指數函數，主要是指結合具體事例，從它們的表示形式上對它們有所了解，并不給出它們的定義，更不涉及其運算或圖象、性質3由于本節課的教學內容不僅涉及根式的定義，還涉及其表示和性質，后續內容還涉及其運算，所以對根式概念的定位應該是

4、理解層次而本小節教科書之后將不再專門介紹根式，所以本節課務求初步理解根式概念，而在下節課的根式運算中逐步達到真正的理解4在與平方根、立方根比較的過程中，可以進一步學習類比的思想方法，提高同學的思維水平并在推廣與化歸的過程中，形成根式的知識鏈三、問題診斷分析同學在理解根式概念的過程中可能會遇到困難，具體表現在對n次方根定義的理解，特別是n次方根的存在性，以及性質的認識因為從平方根和立方根到n次方根，是一個特殊到一般的變化過程，要求同學具有一定的歸納概括能力和抽象能力要克服這一困難，關鍵是引導同學建立n次方根與平方根和立方根的聯系，通過類比平方根和立方根，讓同學在已有的認知基礎上，從具體例子出發，

5、不斷地觀察、比較、模仿、判斷，從而形成概念，同時將新知識同化到已有的認知結構中，從而克服可能遇到的困難四、教學過程設計（一）教學基本流程概念的引入概念的形成概念的明確概念的表示本章學習引導概念的鞏固和應用（二）教學情景1本章學習引導問題1：老師想和在座的每一位同學簽署一份合同，合同的具體要求是：從今天開始的一個月內（即31天），老師每天給你10萬元錢，而你第一天只需給老師1分錢，以后每天給老師的錢是前一天的兩倍你是否愿意簽署這份合同？請思考一分鐘，然后作出決定設計意圖：通過創設一個有趣的情景，將同學的注意力引向本章的學習之中并借此揭示指數函數的形式和爆炸性增長的特點師生活動：對愿意和不愿意簽署

6、合同的同學，都要求其說明原因，即：（1）同學每天得到的錢（萬元）：10，10，10；一個月得到的總和（萬元）：=310（2）老師每天得到的錢（萬元）：10-6，210-6，2210-6，2n-110-6，23010-6；一個月得到的總和（萬元）：10-6+210-6+2210-6+2n-110-6+23010-6=2 147.483 647注：上式的計算可借助計算工具，若嫌求和復雜，可只求最后一個數進行體會，23010-6=1 073.741 824若同學們余興未盡，還可以進一步地問：從哪一天起，同學的支出超過收入？引導學生用計算器探究，并為第三章函數零點的學習奠定基礎問題2：閱讀章導言，看章

7、頭圖并思考章頭問題，然后回答：本章我們將要學習哪些內容？教科書為什么這樣安排？你準備怎樣學？設計意圖：引導同學對本章內容有一個概括性的認識，并大致清楚學習的目標和方法師生活動：從同學的回答來把握其認識的程度，并從中進行引導：（1）當同學泛泛地回答本章將學習基本初等函數時，可進一步追問：哪些基本初等函數，每類函數又會學哪些內容？以此來引導同學認真閱讀教科書的章導言，并結合前一章的內容進行思考（2）對教科書“為什么這樣安排”的問題，可結合章頭圖和章頭問題，引導同學形成特殊到一般再到特殊的認識問題和解決問題的方法，具體講就是從一次函數、二次函數、反比例函數等特殊函數到一般函數，再由一般函數到幾類基本

8、初等函數這些特殊函數并從中領會本章的學習目標（3）在學法指導上，可引導同學借助第一章函數有關內容的學習方法（4）為了進一步了解有關概念，可讓同學舉出類似前面情景問題和章頭問題的例子，也可給出本節教科書開始的兩個例子將問題所涉及到的指數冪概括為an的形式問題3：繼續閱讀教材P48頁的兩個例子，然后回答：（1） 正整數指數冪的含義是什么？它具有哪些運算性質？（2） 兩個例子中的數均可以用同一種形式來表示，請將這種形式寫出來。問題4：對于an，當n是正整數時的意義我們已經知道；當n是正分數時，它的意義又是什么呢？設計意圖：引導同學建立與根式的聯系師生活動：可進一步作出下列引導，幫助同學建立與根式的聯

9、系：以an的一個簡單情形為例，如果整數指數冪的運算性質對于有理指數冪也同樣適用，那么就有根據平方根的意義，就是2的一個正的平方根，而2的正的平方根是，可見=由此啟發我們，可以通過已經有所認識的根式來認識指數冪an2概念的引入問題5：我們知道，如果x2=a，那么x叫做a的平方根（2次方根）；如果x3=a，那么x叫做a的立方根（3次方根）請問：（1）你由此想到，還有哪些方根？（2）你能否根據上述定義，給你所說的這些方根進行定義？設計意圖：通過回顧平方根和立方根，讓同學在已有認知基礎上，與同類概念進行比較，通過類比得到對新概念的認識方法上的啟發，并為領會新概念找到一個固著點，從而引出n次方根的定義以

10、此促進概括，明確n次方根概念的內涵，進而準確把握此概念師生活動：為了幫助同學進行類比，可以將平方根和立方根的定義上下對齊寫在黑板上，然后讓同學將類比出的定義寫在它們的下面3概念的形成問題6：根據平方根和立方根的定義，我們可以舉例，例如，由于（2）2=4，所以2就是4的平方根；由于23=8，所以2就是8的立方根類似地，請根據你所給出的其他方根的定義，舉出相應的例子設計意圖：當n較大或就是n時，同學舉例困難了，于是引入n次方根的表示師生活動：可引導同學類比平方根和立方根的表示，給出n次方根的表示：（1）我們知道，4的平方根是2，可以表示為=2；8的立方根是2，可以表示為=2；-8的立方根是-2，可

11、以表示為=-2那么類似地，16的4次方根怎樣表示？32的5次方根怎樣表示？-32的5次方根怎樣表示？a的n次方根又怎樣表示？（2）從上述例子中我們是否能看出什么規律？也就是：n是奇數時，正數a的n次方根有幾個？是正數，負數，還是零？怎樣表示？負數a的n次方根有幾個？是正數，負數，還是零？怎樣表示？n是偶數時，正數a的n次方根有幾個？是正數，負數，還是零？怎樣表示？（3）負數有沒有偶次方根？（4）0的n次方根是多少？可以怎樣表示？4概念的明確問題7：請把前面學習的內容歸納一下，什么叫n次方根？如何表示？設計意圖：讓同學明確n次方根的概念師生活動：為了讓同學進一步明確根據n次方根的概念，解決下列問題：（1）當n為奇數時，()n= ；當n為偶數時，()n= 舉例說明（2）當n為奇數時，= ；當n為偶數時，= 舉例說明5概念的表示前面用來表示a的n次方根的式子，我們把它叫做根式，讀作n次根號下a（其中一般讀作根號a），其中n叫做根指數，a叫做被開方數當根指數為n時，又把叫做n次根式問題8：請寫出一個根式，并讀出來，然后指出它的根指數和被開方數設計意圖：在明確了根式的概念之后，讓同學通過舉例和表示，并利用概念對具體例子進行判斷，推動他們對概念的理解活動，從而進一步形成對根式概念抽象的認識師生活動：為了讓同學對概念有豐富的例證，在他們舉例的基礎上，可繼續提出下列問題：讀出下列根