專題2.2（1）有理數(shù)的加減運算（知識梳理與題型分類講解）第一部分【知識儲備梳理歸納與題型目錄】一、【目標(biāo)要點】（1）理解有理數(shù)加減法法則；（2）熟練運用有理數(shù)加法運算律；（3）轉(zhuǎn)化思想的運用；（4）難點與易錯點：符號變化問題；不熟悉運用加法運算律簡便運算，不能舉一反三.二、【知識儲備與題型展示】【知識儲備1】有理數(shù)加法1.定義：把兩個有理數(shù)合成一個有理數(shù)的運算叫作有理數(shù)的加法．2.有理數(shù)加法法則：（1）同號兩數(shù)相加，取相同的符號，并把絕對值相加；（2）絕對值不相等的異號兩數(shù)相加，取絕對值較大的加數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值．互為相反數(shù)的兩個數(shù)相加得0；（3）一個數(shù)同0相加，仍得這個數(shù)．【題型一】有理數(shù)加法運算【例題1】（2024七年級上·全國·專題練習(xí)）計算：【分析】本題考查了有理數(shù)的加法，熟練掌握運算法則是解此題的關(guān)鍵．（1）（2）（3）（4）（5）根據(jù)有理數(shù)的加法法則計算即可得解；【變式1】（2024七年級上·全國·專題練習(xí)）計算：【答案】（1）；（2）；（3）4.6；（4）【分析】本題考查有理數(shù)的加法運算：（1）（2）（3）（4）根據(jù)有理數(shù)加法法則進(jìn)行計算即可；【答案】7或1/1或7【分析】本題考查有理數(shù)的加法，熟練掌握絕對值的性質(zhì)和分類討論的思想是解題的關(guān)鍵．故答案為：7或1．【題型二】有理數(shù)加法運算中的符號問題【答案】負(fù)/正/+負(fù)/【分析】根據(jù)加法法則判斷和的符號即可．故答案為：負(fù)，正，負(fù)【點撥】此題考查了加法法則判斷和的符號，熟練掌握加法法則是解題的關(guān)鍵．【答案】D故選：D．【變式2】用“”或“”填空：【答案】【分析】（1）（2）（3）（4）根據(jù)有理數(shù)的加法法則即可解答；解：（1）同號兩數(shù)相加，取相同的符號，兩數(shù)都為正數(shù)，所以兩數(shù)的和為正．故答案為：；（2）同號兩數(shù)相加，取相同的符號，兩數(shù)都為負(fù)數(shù)，所以兩數(shù)的和為負(fù)．故答案為：；故答案為：；故答案為：；【點撥】本題主要考查有理數(shù)的加法，熟練掌握有理數(shù)的加法法則是解題的關(guān)鍵．【知識儲備2】有理數(shù)加法運算律加法交換律：兩個數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，和不變，即a+b＝b+a加法結(jié)合律：三個數(shù)相加，先把前兩個數(shù)相加，或者先把后兩個數(shù)相加，和不變，即（a+b）+c＝a+（b+c）【題型三】有理數(shù)加法運算律【例題3】（2425六年級下·上?！ぜ倨谧鳂I(yè)）計算：【分析】本題考查了有理數(shù)的加法法則和運算律的運用．正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．（1）運用加法交換律和結(jié)合律進(jìn)行簡便運算，即可作答．（2）運用加法交換律和結(jié)合律進(jìn)行簡便運算，即可作答．；【分析】本題考查了有理數(shù)的加法交換律和結(jié)合律，解題的關(guān)鍵是掌握常見簡便計算的方法與技巧．根據(jù)有理數(shù)的加法交換律和結(jié)合律求解即可．【變式2】（2024七年級上·全國·專題練習(xí)）計算：【分析】本題考查有理數(shù)加法運算，涉及加法運算律，熟練掌握有理數(shù)加法運算法則是解決問題的關(guān)鍵．（1）先由加法交換律和結(jié)合律恒等變形，再由有理數(shù)加法運算法則求解即可得到答案；（2）先將小數(shù)化為分?jǐn)?shù)，再由加法交換律和結(jié)合律恒等變形，最后由有理數(shù)加法運算法則求解即可得到答案．．【知識儲備3】有理數(shù)減法1.定義：已知兩個數(shù)的和與其中一個加數(shù)，求另一個加數(shù)的運算，叫做減法，減法是加法的逆運算．【題型四】有理數(shù)的減法運算【例題4】（2425六年級下·上海·假期作業(yè)）計算：【答案】（1）8；（2）0；（3）．【分析】本題考查了有理數(shù)的減法運算，熟練掌握運算法則是解題的關(guān)鍵．（1）（2）（3）根據(jù)有理數(shù)的減法運算法則計算；；；【變式1】（2425六年級下·上?！ぜ倨谧鳂I(yè)）計算：【分析】本題考查了有理數(shù)的減法運算，熟練掌握運算法則是解題的關(guān)鍵．（1）（2）（3）（4）根據(jù)有理數(shù)的減法運算法則計算即可；【答案】或【題型五】有理數(shù)加減混合運算【例題5】（2425六年級下·上?！ぜ倨谧鳂I(yè)）計算：【分析】本題考查有理數(shù)的加減法的混合運算，熟練掌握有理數(shù)的運算法則是解題的關(guān)鍵，（1）將分母相同的項利用同分母分?jǐn)?shù)加減法的運算法則進(jìn)行計算，然后再利用異分母分?jǐn)?shù)的運算法則計算即可得到答案；（2）利用有理數(shù)的運算法則，先算括號里面的，再計算即可得到答案；（3）先去括號，再將分母相同的項利用同分母分?jǐn)?shù)加減法的運算法則進(jìn)行計算，然后再利用異分母分?jǐn)?shù)的運算法則計算即可得到答案．；【變式1】（2425七年級上·廣東梅州·階段練習(xí)）計算：【答案】（1）16；（2）1【分析】本題考查了有理數(shù)的加減混合運算．（1）先去括號，然后根據(jù)有理數(shù)的加減混合運算進(jìn)行計算即可；（2）運用加法交換律和結(jié)合律解題即可．；．【變式2】（2425六年級下·上海·假期作業(yè)）計算：【分析】此題主要考查有理數(shù)的運算，解題的關(guān)鍵是熟知其運算法則．有理數(shù)的加減法和運算律的應(yīng)用，注意簡便運算．（1）（2）根據(jù)有理數(shù)的加減混合運算法則，加法的交換律與結(jié)合律，即可求解；【題型六】有理數(shù)加減中的簡便運算【知識儲備4】有理數(shù)加減運算簡便方法1.解理理論依據(jù)：加法交換律和結(jié)合律．2.方法：同號結(jié)合法；湊整結(jié)合法；同分母結(jié)合法；相反數(shù)結(jié)合法；拆項法等等【例題6】（2425七年級上·廣東深圳·階段練習(xí)）計算：【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【分析】本題考查了有理數(shù)加減中的簡便運算．熟練掌握有理數(shù)加減中的簡便運算是解題的關(guān)鍵．（1）（2）先交換，然后結(jié)合，最后進(jìn)行加法運算即可；（3）先交換，然后分?jǐn)?shù)、分?jǐn)?shù)結(jié)合，整數(shù)、整數(shù)結(jié)合，最后進(jìn)行加法運算即可；（4）先交換，然后分?jǐn)?shù)、分?jǐn)?shù)結(jié)合，小數(shù)、小數(shù)結(jié)合，最后進(jìn)行加法運算即可．【變式1】（2324七年級上·河南南陽·階段練習(xí)）計算：【分析】本題考查有理數(shù)的加減混合計算，（1）根據(jù)有理數(shù)的加法運算法則求解即可；（2）（3）（4）根據(jù)有理數(shù)的加減混合運算法則求解即可；熟練掌握運算法則是解題的關(guān)鍵．；；【變式2】（2425七年級上·安徽蚌埠·期中）閱讀例題的計算方法．上面這種解題方法叫做拆項法．【答案】（1）；（2）【分析】本題考查了有理數(shù)的加減混合運算，熟練掌握運算法則是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)提供的方法，拆項計算即可；（2）根據(jù)提供的方法，拆項計算即可．．【題型七】有理數(shù)加減運算的實際應(yīng)用回答下列問題：（1）這筐白菜中最接近標(biāo)準(zhǔn)重量的這筐白菜重______千克；（2）這筐白菜中，最重的與最輕的相差______千克；（3）這筐白菜一共重多少千克？【分析】本題考查了有理數(shù)的運算在實際中的應(yīng)用，體現(xiàn)了正負(fù)數(shù)的意義，解題的關(guān)鍵是理解“正”和“負(fù)”的相對性，確定具有相反意義的量．（1）與標(biāo)準(zhǔn)重量比較，絕對值越小的越接近標(biāo)準(zhǔn)重量；（2）最重的與最輕的相減即可求解；（3）用25乘以8的積，加上圖中八個數(shù)的和即可求解．故答案為；【變式1】（2425七年級上·山東濟(jì)南·階段練習(xí)）小甲蟲從某點出發(fā)在一條直線上來回爬行，假定向右爬行的路程記為正數(shù)，向左爬行的路程記為負(fù)數(shù)，爬過的各段路程依次為：（單位：厘米），，，，，，．（1）小甲蟲最后是否回到出發(fā)點呢？計算說明（2）在爬行過程中，如果每爬行1厘米獎勵三粒芝麻，那么小甲蟲一共得到多少粒芝麻？（3）小甲蟲離出發(fā)點最遠(yuǎn)多少厘米？【答案】（1）小甲蟲最后回到了出發(fā)點O，見分析；（2）162粒芝麻；（3）10厘米【分析】本題主要考查正數(shù)和負(fù)數(shù)．（1）把爬過的路程記錄相加，即可得解；（2）求出爬行過的各段路程的絕對值的和，再求得到的芝麻粒數(shù)；（3）分別計算出每次爬行后距離原點的距離．解：（1）解：根據(jù)題意可得：向右爬行的路程記為“”，向左爬行的路程記為“”．則小甲蟲最后離開出發(fā)點的距離是：答：小甲蟲最后在點O的，即小甲蟲最后回到了出發(fā)點O；（2）解：小甲蟲從離開出發(fā)點開始走的路程是：在爬行過程中，小甲蟲得到的獎勵是：答：在爬行過程中，小甲蟲得到的獎勵是162粒芝麻；∴小甲蟲在爬行過程中離出發(fā)點O最遠(yuǎn)相距為10厘米．【變式2】（2425六年級上·山東東營·期末）某市客運管理部門對“十一”國慶假期七天客流變化量進(jìn)行了不完全統(tǒng)計，數(shù)據(jù)如下（用正數(shù)表示客流量比前一天上升數(shù)，用負(fù)數(shù)表示客流量比前一天下降數(shù)）．日期1日2日3日4日5日6日7日變化/萬人203103296（1）10月3日的客流量比10月1日的客流量少了_____萬人；（2）在10月1日至10月7日期間，10月_____日客流量最多，10月_____日客流量最少；（3）與9月30日相比，10月5日的客流量是上升了還是下降了?變化了多少?【答案】（1）13；（2）7；4；（3）上升了6萬人【分析】本題考查正數(shù)和負(fù)數(shù)，解答本題的關(guān)鍵是明確正數(shù)和負(fù)數(shù)在題目中的實際意義．（1）分別計算出游客相對于10月3日的人數(shù)即可求解；（2）根據(jù)10月1日至10月7日游客人數(shù)即可得到結(jié)論；（3）分別計算出游客相對于9月30日的人數(shù)即可求解．解：（1）解：1日：；10月3日的客流量比10月1日的客流量少13萬人，故答案為：13；（2）解：在10月1日至10月7日期間，10月7日客流量最多，10月4日客流量最少，故答案為：7；4；（3）解：與9月30日相比，10月5日的客流量是上升了，變化了6（萬人）．【題型八】直通中考A． B．0 C．3 D．6【答案】D【分析】本題考查了有理數(shù)的減法運算，熟練掌握有理數(shù)減法運算法則是解題的關(guān)鍵；根據(jù)有理數(shù)的減法法則：減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù)解答即可；，故答案為：D．【例題2】（2024·陜西·中考真題）小華探究“幻方”時，提出了一個問題：如圖，將0，，，1，2這五個數(shù)分別填在五個小正方形內(nèi)，使橫向三個數(shù)之和與縱向三個數(shù)之和相等，則填入中間位置的小正方形內(nèi)的數(shù)可以是．（寫出一個符合題意的數(shù)即可）【答案】0【分析】本題考查有理數(shù)的運算，根據(jù)橫向三個數(shù)之和與縱向三個數(shù)之和相等，進(jìn)行填寫即可得出結(jié)果．解：由題意，填寫如下：故答案為：0．【題型九】拓展延伸【例題1】（2425七年級上·安徽合肥·期中）某校七年級班至班計劃每班購買數(shù)量相同的圖書布置班級讀書角，但是由于種種原因，實際購書量與計劃有出入，實際購書情況如下表：班級班班班班實際購書量（本）實際購書量與計劃購書量的差（本）（1）求每個班計劃購書量；（2）直接寫出：________，________，________；（3）書店給出一種優(yōu)惠方案：一次購買達(dá)到本，其中本書免費．若每本書售價為元，求這個班團(tuán)體購書的最低費用．【分析】本題考查了正負(fù)數(shù)的應(yīng)用，有理數(shù)混合運算，正確理解正負(fù)數(shù)的意義是解題的關(guān)鍵．（2）由一班實際購書量與計劃購書量的差本，二班實際購書量為本，三班實際購書量為本，與每個班計劃購書量為本相加減即可求．（3）把每班實際數(shù)量相加，可得個班團(tuán)體購書總數(shù)量，用總數(shù)除以，求出每次購買本的次數(shù)，以及需要單獨購買的數(shù)量，根據(jù)每本書售價為元，列式計算可得答案．解：（1）解：∵由于班實際購入本，且實際購買數(shù)量與計劃購買數(shù)量的差值為，（2）解：由題意可得：∵一班實際購書量與計劃購書量的差本，∵二班實際購書量為本，∵三班實際購書量為本，故答案為：，，．∴如果每次購買本，則可以購買次，且最后還剩本書需單獨購買，又∵一次購買達(dá)到本，其中本書免費，【例題2】（2425七年級上·江蘇淮安·階段練習(xí)）幻方的歷史很悠久，傳說最早出現(xiàn)在夏禹時代的“洛書”（如圖1）．“洛書”是一種關(guān)于天地空間變化脈絡(luò)圖案，它是以黑點與白點為基本要素，以一定方式構(gòu)成若干不同組合．“洛書”用今天的數(shù)學(xué)符號翻譯出來就是一個三階幻方（如圖2）．三階幻方又名九宮格，是一種將數(shù)字（1至9，數(shù)字不重復(fù)使用）安排在三行三列正方形格子中，使每行、列