第3節空間點、直線、平面之間的位置關系課標要求1.借助長方體,在直觀認識空間點、直線、平面的位置關系的基礎上抽象出空間點、直線、平面的位置關系的定義.2.了解四個基本事實和一個定理,并能應用定理解決問題.【知識梳理】1.與平面有關的基本事實及推論(1)與平面有關的三個基本事實基本事實內容圖形符號基本事實1過不在一條直線上的三個點,有且只有一個平面A,B,C三點不共線?存在唯一的α使A,B,C∈α基本事實2如果一條直線上的兩個點在一個平面內,那么這條直線在這個平面內A∈l,B∈l,且A∈α,B∈α?l?α基本事實3如果兩個不重合的平面有一個公共點,那么它們有且只有一條過該點的公共直線P∈α,且P∈β?α∩β=l,且P∈l(2)三個推論推論內容圖形作用推論1經過一條直線和這條直線外一點,有且只有一個平面確定平面的依據推論2經過兩條相交直線,有且只有一個平面推論3經過兩條平行直線,有且只有一個平面2.空間點、直線、平面之間的位置關系直線與直線直線與平面平面與平面平行關系圖形語言符號語言a∥ba∥αα∥β相交關系圖形語言符號語言a∩b=Aa∩α=Aα∩β=l獨有關系圖形語言符號語言a,b是異面直線a?α3.基本事實4和等角定理(1)基本事實4:平行于同一條直線的兩條直線互相平行.(2)等角定理:如果空間中兩個角的兩邊分別對應平行,那么這兩個角相等或互補.4.異面直線所成的角(1)定義:已知兩條異面直線a,b,經過空間任意一點O分別作直線a′∥a,b′∥b,把a′與b′所成的角叫做異面直線a與b所成的角(或夾角).(2)范圍:0,π[常用結論與微點提醒]1.過平面外一點和平面內一點的直線,與平面內不過該點的直線是異面直線.2.兩異面直線所成的角歸結到一個三角形的內角時,容易忽視這個三角形的內角可能等于兩異面直線所成的角,也可能等于其補角.【診斷自測】概念思考辨析+教材經典改編1.思考辨析(在括號內打“√”或“×”)(1)沒有公共點的兩條直線是異面直線.()(2)兩個平面α,β有一個公共點A,就說α,β相交于過A點的任意一條直線.()(3)如果兩個平面有三個公共點,則這兩個平面重合.()(4)若直線a不平行于平面α,且a?α,則α內的所有直線與a異面.()答案(1)×(2)×(3)×(4)×解析(1)兩條平行直線也沒有公共點,故錯誤.(2)如果兩個不重合的平面有一個公共點,那么它們有且只有一條過該點的公共直線,故錯誤.(3)如果兩個平面有三個公共點,則這兩個平面相交或重合,故錯誤.(4)由于a不平行于平面α,且a?α,則a與平面α相交,故平面α內有與a相交的直線,故錯誤.2.(人教A必修二P128T2改編)下列命題正確的是()A.空間任意三個點確定一個平面B.一個點和一條直線確定一個平面C.空間兩兩相交的三條直線確定一個平面D.空間兩兩平行的三條直線確定一個或三個平面答案D解析A中,空間不共線的三點確定一個平面,A錯;B中,只有點在直線外時才能確定一個平面,B錯;C中,空間兩兩相交的三條直線確定一個平面或三個平面,C錯;故只有選項D正確.3.(人教A必修二P147例1改編)在長方體ABCDA′B′C′D′中,AB=BC=1,AA′=2,則異面直線BA′與AC所成角的余弦值為.

答案10解析如圖,連接CD′,易知CD′綉BA′,則∠ACD′或其補角是異面直線BA′與AC所成的角,連接AD′,在△ACD′中,AC=2,AD′=CD′=5,設AC的中點為O,則D′O⊥AC,故cos∠ACD′=225=4.(蘇教必修二P175T15改編)如圖,在三棱錐ABCD中,E,F,G,H分別是棱AB,BC,CD,DA的中點,則(1)當AC,BD滿足條件時,四邊形EFGH為菱形;

(2)當AC,BD滿足條件時,四邊形EFGH為正方形.

答案(1)AC=BD(2)AC=BD且AC⊥BD解析(1)要使四邊形EFGH為菱形,應有EF=EH,∵EF綉12AC,EH綉12BD,∴AC=(2)要使四邊形EFGH為正方形,應有EF=EH且EF⊥EH,∵EF綉12AC,EH綉12∴AC=BD且AC⊥BD.考點一基本事實與推論的應用例1已知在正方體ABCDA1B1C1D1中,E,F分別為D1C1,C1B1的中點,AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q.求證:(1)D,B,E,F四點共面;(2)若A1C交平面DBFE于點R,則P,Q,R三點共線;(3)DE,BF,CC1三線交于一點.證明(1)如圖所示,連接B1D1.因為EF是△D1B1C1的中位線,所以EF∥B1D1.在正方體ABCDA1B1C1D1中,B1D1∥BD,所以EF∥BD,所以EF,BD確定一個平面,即D,B,E,F四點共面.(2)在正方體ABCDA1B1C1D1中,連接A1C,設A1,C,C1確定的平面為α,又設平面BDEF為β.因為Q∈A1C1,所以Q∈α.又Q∈EF,所以Q∈β,所以Q是α與β的公共點,同理,P是α與β的公共點.所以α∩β=PQ.又A1C∩β=R,所以R∈A1C,R∈α,且R∈β.則R∈PQ,故P,Q,R三點共線.(3)因為EF∥BD且EF<BD,所以DE與BF相交,設交點為M,則由M∈DE,DE?平面D1DCC1,得M∈平面D1DCC1,同理,M∈平面B1BCC1.又平面D1DCC1∩平面B1BCC1=CC1,所以M∈CC1.所以DE,BF,CC1三線交于一點.思維建模共面、共線、共點問題的證明方法(1)證明共面的方法:①先確定一個平面,然后再證其余的線(或點)在這個平面內;②證明兩平面重合.(2)證明共線的方法:①先由兩點確定一條直線,再證其他各點都在這條直線上;②直接證明這些點都在同一條特定直線上.(3)證明線共點的方法:先證其中兩條直線交于一點,再證其他直線經過該點.訓練1(1)在三棱錐ABCD的邊AB,BC,CD,DA上分別取E,F,G,H四點,若EF∩HG=P,則點P()A.一定在直線BD上B.一定在直線AC上C.在直線AC或BD上D.不在直線AC上,也不在直線BD上答案B解析因為EF∩HG=P,E,F,G,H四點分別是AB,BC,CD,DA上的點,所以EF在平面ABC內,HG在平面ACD內,所以P既在平面ABC內,又在平面ACD內,所以P在平面ABC和平面ACD的交線上,又平面ABC∩平面ACD=AC,所以P∈AC.(2)如圖,P,Q,R,S分別是正方體或四面體所在棱的中點,則在下列圖形中,這四個點不共面的一個圖是()答案D解析A中,由PQ與SR相交,知P,Q,R,S四點共面;B中,由QR與PS相交,知P,Q,R,S四點共面;C中,由PQ∥SR,知P,Q,R,S四點共面;D中,由QR和PS是異面直線,并且任意兩個點的連線既不平行也不相交,知四點不共面.考點二空間兩直線位置關系的判斷例2(1)(2025·湖州模擬)已知a,b,c是三條不同的直線,有下列三個命題:①若a,b是異面直線,b,c是異面直線,則a,c也是異面直線;②若a和b相交,b和c相交,則a和c也相交;③若a和b共面,b和c共面,則a和c也共面.其中真命題的個數是()A.0 B.1C.2 D.3答案A解析對于①,若a,b是異面直線,b,c是異面直線,則a,c相交不是異面直線,如圖,故①為假命題;對于②,若a和b相交,b和c相交,則a和c可能相交、平行、異面,故②為假命題;對于③,若a和b共面,b和c共面,則a和c共面,錯誤,如上圖,AA′(a)與AB(b)共面,AB(b)與BC(c)共面,但AA′(a)與BC(c)異面,故③為假命題.故真命題的個數為0.故選A.(2)(多選)如圖,在正方體ABCDA1B1C1D1中,M,N分別為棱C1D1,C1C的中點,則()A.直線AM與CC1是相交直線B.直線AM與BN是平行直線C.直線BN與MB1是異面直線D.直線A1M與BN是相交直線答案CD解析因為點A在平面CDD1C1外,點M在平面CDD1C1內,直線CC1在平面CDD1C1內,CC1不過點M,所以直線AM與CC1是異面直線,故A錯誤;取DD1的中點E,連接AE(圖略),則BN∥AE,但AE與AM相交,所以AM與BN不平行,故B錯誤;因為點B1與直線BN都在平面BCC1B1內,點M在平面BCC1B1外,BN不過點B1,所以BN與MB1是異面直線,故C正確;同理D正確.思維建模1.要判斷空間中兩條直線的位置關系一般有兩種方法:一是構造幾何體(如正方體、空間四邊形等)模型來判斷;二是利用排除法.2.異面直線的判定方法:(1)反證法;(2)直接法.訓練2(1)空間中有三條線段AB,BC,CD,且∠ABC=∠BCD,那么直線AB與CD的位置關系是()A.平行B.異面C.相交或平行D.平行或異面或相交均有可能答案D解析根據條件作出示意圖,得到以下三種可能的情況,如圖可知AB,CD有相交、平行、異面三種情況,故選D.(2)已知α,β,γ是三個不同的平面,α∩β=a,α∩γ=b,β∩γ=c,且a∩b=O,則下列結論正確的是()A.直線b與直線c可能是異面直線B.直線a與直線c可能平行C.直線a,b,c必然交于一點(即三線共點)D.直線c與平面α可能平行答案C解析如圖,因為α∩β=a,α∩γ=b,a∩b=O,所以O∈α,O∈β,O∈γ.因為β∩γ=c,所以O∈c,所以直線a,b,c必然交于一點(即三線共點),故A,B錯誤,C正確;假設直線c與平面α平行,由于O∈c,可知O?α,這與O∈α矛盾,故假設不成立,D錯誤.考點三求異面直線所成的角例3(1)(2025·山西聯合模擬)在正四面體ABCD中,DB=3DE,則異面直線AD與CE所成角的余弦值為()A.77 B.2C.217 D.答案A解析如圖,在棱AB上取點M,使得AB=3AM,連接ME,CM.因為DB=3DE,所以EM∥AD,所以∠MEC或其補角為異面直線AD與CE所成的角,不妨設AB=3,則EM=23AD=2在△DEC中,CD=3,DE=1,∠CDE=π3由余弦定理可得CE2=DE2+DC22DE·DC·cos∠EDC=7,則CE=7.同理可得CM=7.在△MEC中,由余弦定理的推論可得cos∠MEC=CE2+EM由于異面直線所成角的范圍為0,π所以異面直線AD與CE所成角的余弦值為77(2)在長方體ABCDA1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=3,則異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為()A.15 B.C.55 D.答案C解析如圖,在長方體ABCDA1B1C1D1的面上補一相同的長方體CDEFC1D1E1F1,連接DE1,B1E1.易知AD1∥DE1,則∠B1DE1為異面直線AD1與DB1所成角(或其補角).因為在長方體ABCDA1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=3,所以DE1=DE2+EDB1=12+1B1E1=A1B12+在△B1DE1中,由余弦定理的推論,得cos∠B1DE1=22+(即異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為55思維建模求異面直線所成的角,關鍵是將其中一條直線平移到某個位置使其與另一條直線相交,或將兩條直線同時平移到某個位置,使其相交形成三角形.平移直線的方法有:(1)直接平移;(2)中位線平移;(3)補形平移.訓練3(1)如圖,正四棱柱ABCDA1B1C1D1的側面展開圖是邊長為4的正方形,則在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中,異面直線AK和LM所成的角的大小為()A.30° B.45° C.60° D.90°答案D解析根據題意還原正四棱柱的直觀圖,如圖所示,取AA1的中點G,連接KG,則有KG∥LM,所以∠AKG或其補角為異面直線AK和LM所成的角.由題知AG=2,AK=KG=1+1=2,則有AK2+KG2=AG2,所以∠AKG=90°,即異面直線AK和LM所成的角為90°.(2)(2025·許昌調研)正四棱錐SABCD的所有棱長都相等,E為SC的中點,則異面直線BE與SA所成角的余弦值為()A.13 B.1C.33 D.答案C解析如圖所示,連接AC,取AC的中點為O,連接OB,OE,因為E為SC的中點,所以SA∥OE,則∠OEB或其補角為異面直線BE與SA所成的角.因為正四棱錐SABCD的所有棱長都相等,所以設棱長為2,則OE=1,BE=3,OB=2,則OE2+OB2=BE2,所以OB⊥OE,所以cos∠OEB=OEBE=13=一、單選題1.若直線上有兩個點在平面外,則()A.直線上至少有一個點在平面內B.直線上有無窮多個點在平面內C.直線上所有點都在平面外D.直線上至多有一個點在平面內答案D解析根據題意,兩點確定一條直線,那么由于直線上有兩個點在平面外,則直線在平面外,只能是直線與平面相交,或者直線與平面平行,那么可知直線上至多有一個點在平面內.2.已知空間中不過同一點的三條直線l,m,n.“l,m,n共面”是“l,m,n兩兩相交”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案B解析由m,n,l在同一平面內,可能有m,n,l兩兩平行,所以m,n,l可能沒有公共點,所以不能推出m,n,l兩兩相交.由m,n,l兩兩相交且m,n,l不經過同一點,可設l∩m=A,l∩n=B,m∩n=C,且A?n,所以點A和直線n確定平面α,而B,C∈n,所以B,C∈α,所以l,m?α,所以m,n,l在同一平面內.綜上,“l,m,n共面”是“l,m,n兩兩相交”的必要不充分條件.3.已知平面α∩平面β=l,點A,C∈α,點B∈β,且B?l,又AC∩l=M,過A,B,C三點確定的平面為γ,則β∩γ是()A.直線CM B.直線BMC.直線AB D.直線BC答案B解析已知過A,B,C三點確定的平面為γ,則AC?γ.又AC∩l=M,則M∈γ,又平面α∩平面β=l,則l?α,l?β,又因為AC∩l=M,所以M∈β,因為B∈β,B∈γ,所以β∩γ=BM.4.已知平面外一點P和平面內不共線三點A,B,C,A′,B′,C′分別在PA,PB,PC上,若延長A′B′,B′C′,A′C′與平面分別交于D,E,F三點,則D,E,F三點()A.成鈍角三角形 B.成銳角三角形C.成直角三角形 D.在一條直線上答案D解析D,E,F為已知平面與平面A′B′C′的公共點,由基本事實知,D,E,F共線.5.如圖,已知直三棱柱ABCA1B1C1的所有棱長都相等,M為A1C1的中點,則AM與BC1所成角的余弦值為()A.153 B.C.64 D.答案D解析如圖,取AC的中點D,連接DC1,BD,易知AM∥DC1,所以∠BC1D或其補角為異面直線AM與BC1所成的角,因為直三棱柱ABCA1B1C1的所有棱長都相等,可設三棱柱的棱長都為2,則DC1=5,BD=3,BC1=22,則在△BDC1中,由余弦定理的推論可得cos∠BC1D=(5)2即異面直線AM與BC1所成角的余弦值為1046.如圖,在四面體ABCD中,M,N,P,Q,E分別是AB,BC,CD,AD,AC的中點,則下列說法中錯誤的是()A.M,N,P,Q四點共面B.∠QME=∠CBDC.△BCD∽△MEQD.四邊形MNPQ為梯形答案D解析因為M,N分別是AB,BC的中點,所以MN∥AC,且MN=12AC同理,QP∥AC,且QP=12AC所以MN∥QP,且MN=QP,所以四邊形MNPQ為平行四邊形,所以M,N,P,Q四點共面,故A正確,D錯誤;由等角定理知,∠QME=∠DBC,故B正確;所以由等角定理可知,∠QME=∠DBC,∠QEM=∠DCB,∠MQE=∠BDC,所以△BCD∽△MEQ,故C正確.7.已知α,β是兩個不同的平面,a,b,l是三條不同的直線,A,B,C是三個不同的點,則下列說法錯誤的是()A.若α∩β=l,A∈α且A∈β,則A∈lB.若A,B,C是平面α內不共線的三點,A∈β,B∈β,則C?βC.若a?α,b?β,則a與b為異面直線D.若A∈α,且B∈α,則AB?α答案C解析對于A,由A∈α且A∈β,得A是平面α和平面β的公共點,又α∩β=l,所以由基本事實3可得A∈l,故A正確;對于B,由基本事實1及點A,B,C不共線,A∈β,B∈β,且A,B,C∈α,得C?β,故B正確;對于C,因為平面α和平面β的位置關系不確定,所以直線a與直線b的位置關系亦不確定,故C錯誤;對于D,由基本事實2及A∈α且B∈α,得AB?α,故D正確.8.在正四棱錐PABCD中,AB=2,E,F,G分別為AB,PC,AD的中點,直線BF與EG所成角的余弦值為63,則三棱錐PEFG的體積為(A.5212 B.C.23 D.答案B解析如圖1,連接BD,AC,DF,OF,設AC與BD的交點O,由BD∥EG,得∠FBD即為BF與EG所成的角,由題意知△DFB為等腰三角形,且O為BD的中點,在Rt△OFB中,cos∠FBD=OBBF=2BF=解得BF=3,在等腰△BPC中,設FC=x,則PC=2FC=2x,cos∠PCB=12BCPC=1解得x=1,則PC=2.如圖2,連接PG,PE,FG,FE,因為F為PC的中點,故V三棱錐PEFG=V三棱錐CEFG=V三棱錐FECG,因為PA2+PC2=AC2,PA=PC,所以△PAC為等腰直角三角形,則在等腰直角三角形PAC中,易求得點P到AC的距離即點P到底面的距離為2×222=故點F到平面CEG的距離為22S△ECG=S正方形ABCDS△AEGS△CDGS△CEB=2×212×1×112×2×112×=41211=3故所求三棱錐的體積為13×32×22二、多選題9.如圖所示,在正方體ABCDA1B1C1D1中,O是B1D1的中點,直線A1C交平面AB1D1于點M,則下列結論正確的是()A.A,M,O三點共線B.AB,M,O,A1共面C.A,M,C,O共面D.BD,B1,O,M共面答案ABC解析∵M∈A1C,A1C?平面A1ACC1,∴M∈平面A1ACC1,又∵M∈平面AB1D1,∴M在平面AB1D1與平面A1ACC1的交線AO上,即A,M,O三點共線,∴A,M,O,A1共面且A,M,C,O共面,∵平面BB1D1D∩平面AB1D1=B1D1,∴M在平面BB1D1D外,即B,B1,O,M不共面,故選ABC.10.如圖,G,H,M,N是正三棱柱的頂點或所在棱的中點,則表示直線GH與MN是異面直線的圖形有()答案BD解析對于A,連接GM,∵G,M為所在棱的中點,∴GM∥HN,∴直線GH與MN共面,故A錯誤;對于B,G,H,N三點共面,但M?平面GHN,∴直線GH與MN異面,故B正確;對于C,如圖,連接GM,∵G,M為所在棱的中點,∴GM∥AB,又AB∥HN,∴GM∥HN,∴直線GH與MN共面,故C錯誤;對于D,G,M,N共面,但H?平面GMN,∴GH與MN異面,故D正確.11.如圖是正四面體的平面展開圖,G,H,M,N分別為DE,BE,EF,EC的中點,則在這個正四面體中()A.GH與EF平行B.BD與MN為異面直線C.GH與MN成60°角D.DE與MN垂直答案BCD解析把平面展開圖還原成正四面體ADEF,如圖所示,其中H與N重合,A,B,C三點重合,易知GH與EF異面,BD與MN異面,連接GM,∵△GMH為等邊三角形,∴GH與MN成60°角.由圖易得DE⊥AF,又MN∥AF,∴MN⊥DE,因此正確的選項是BCD.三、填空題12.如圖,正方體的底面與正四面體的底面在同一平面α上,且AB∥CD,則直線EF與正方體的六個面所在的平面相交的平面個數為.

答案4解析因為AB∥CD,由圖可以看出EF平行于正方體左右兩個側面,與另外四個側面相交.13.如圖為正方體表面的一種展開圖,則圖中的AB,CD,EF,GH在原正方體中互為異面直線的有對.

答案3解析把平面展開圖還原為原正方體如圖,易知異面直線有(AB,GH),(AB,CD),(GH,EF),共有3對.14.如圖,AB和CD是異面直線,AB=CD=3,E,F分別為線段AD,BC上的點,且AEED=BFFC=12,