第2節常用邏輯用語課標要求1.理解充分條件、必要條件、充要條件的含義.2.理解判定定理與充分條件的關系、性質定理與必要條件的關系.3.理解全稱量詞命題與存在量詞命題的含義,能正確對兩種命題進行否定.【知識梳理】1.充分條件、必要條件與充要條件的概念若p?q,則p是q的充分條件,q是p的必要條件p是q的充分不必要條件p?q且q?pp是q的必要不充分條件p?q且q?pp是q的充要條件p?qp是q的既不充分也不必要條件p?q且q?p2.全稱量詞與存在量詞(1)全稱量詞:短語“所有的”、“任意一個”在邏輯中通常叫做全稱量詞,并用符號“?”表示.(2)存在量詞:短語“存在一個”、“至少有一個”在邏輯中通常叫做存在量詞,并用符號“?”表示.3.全稱量詞命題和存在量詞命題名稱全稱量詞命題存在量詞命題結構對M中的任意一個x,有p(x)成立存在M中的元素x,p(x)成立簡記?x∈M,p(x)?x∈M,p(x)否定?x∈M,?p(x)?x∈M,?p(x)[常用結論與微點提醒]1.會區別A是B的充分不必要條件(A?B且B?A),與A的充分不必要條件是B(B?A且A?B)兩者的不同.2.p是q的充分不必要條件,等價于?q是?p的充分不必要條件.3.含有一個量詞的命題的否定規律是“改量詞,否結論”.4.命題p和?p的真假性相反,若判斷一個命題的真假有困難,可判斷此命題否定的真假.【診斷自測】概念思考辨析+教材經典改編1.思考辨析(在括號內打“√”或“×”)(1)至少有一個三角形的內角和為π是全稱量詞命題.()(2)寫全稱量詞命題的否定時,全稱量詞變為存在量詞.()(3)當p是q的充分條件時,q是p的必要條件.()(4)若已知p:x>1和q:x≥1,則p是q的充分不必要條件.()答案(1)×(2)√(3)√(4)√解析(1)錯誤,至少有一個三角形的內角和為π是存在量詞命題.2.(人教A必修一P22習題1.4T2改編)命題“三角形是等邊三角形”是命題“三角形是等腰三角形”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案A解析由“三角形是等邊三角形”可得到“該三角形一定是等腰三角形”,但反之不成立.3.(人教A必修一P30例4(3)改編)命題“有一個偶數是素數”的否定是.

答案任意一個偶數都不是素數4.(人教B必修一P28T4改編)“?x∈[a,+∞),x2≥1”是真命題,則實數a的取值范圍是.

答案[1,+∞)解析∵x2≥1,即x≥1或x≤-1,且原命題是真命題,∴a的取值范圍是a≥1.考點一充分、必要條件的判定例1(1)(2024·天津卷)設a,b∈R,則“a3=b3”是“3a=3b”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案C解析由于函數y=x3和y=3x都是定義域R上的單調遞增,因此a3=b3,3a=3b均與a=b等價,從而a3=b3是3a=3b的充要條件.(2)(多選)ab+b-a-1=0的一個充分不必要條件可以是()A.a=-1 B.a=bC.b=1 D.ab=1答案AC解析由ab+b-a-1=0,可得(a+1)(b-1)=0,解得a=-1或b=1,故選AC.思維建模充分、必要條件的兩種判定方法:(1)定義法:根據p?q,q?p進行判斷,適用于定義、定理判斷性問題.(2)集合法:根據p,q對應的集合之間的包含關系進行判斷,多適用于條件中涉及參數范圍的推斷問題.訓練1(1)(2025·東北師大附中質檢)已知p:1x<1,q:x2+x-6>0,則p是q的(A.充要條件B.充分不必要條件C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件答案C解析由1x<1得x>1或x<0不妨設集合A=(-∞,0)∪(1,+∞).由x2+x-6>0得x<-3或x>2,不妨設集合B=(-∞,-3)∪(2,+∞).因為B?A,所以p推不出q,而q能推出p,所以p是q的必要不充分條件.故選C.(2)在等比數列{an}中,“a1>0,且公比q>1”是“{an}為遞增數列”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案A解析當a1>0,且q>1時,有an+1-an=a1qn-a1qn-1=a1qn-1(q-1)>0,所以an+1>an(n∈N*),即{an}為遞增數列;當{an}為遞增數列時,即對一切n∈N*,有an+1>an恒成立,所以an+1-an=a1qn-1(q-1)>0,但a1<0且0<q<1時,上式也成立,顯然無法得出a1>0,且q>1.則“a1>0,且公比q>1”是“{an}為遞增數列”的充分不必要條件.考點二充分、必要條件的應用例2(2025·西安模擬)若“x2-5x+4<0”是“a-1<x<a+1”的必要不充分條件,則實數a的取值范圍是()A.(2,3) B.[2,3]C.(-2,3] D.[-2,3]答案B解析由x2-5x+4<0,解得1<x<4.因為“x2-5x+4<0”是“a-1<x<a+1”的必要不充分條件,所以(a-1,a+1)是(1,4)的真子集,所以a解得2≤a≤3.經驗證,端點值滿足條件,故實數a的取值范圍為[2,3].思維建模充分條件、必要條件的應用,一般表現在參數問題的求解上.解題時需注意:(1)把充分條件、必要條件或充要條件轉化為集合之間的關系,然后根據集合之間的關系列出關于參數的不等式(或不等式組)求解.(2)要注意區間端點值的檢驗.訓練2(2025·甘孜州模擬)設p:log2(x-1)<m,q:2x>1.若p是q的充分不必要條件,則m的取值范圍是(A.(-∞,0] B.[0,+∞)C.[-1,+∞) D.(-∞,-1]答案A解析由log2(x-1)<m,得0<x-1<2m,即1<x<2m+1.由2x>1,得0<x<2若p是q的充分不必要條件,則2m+1≤2,解得m≤0.故選A.考點三全稱量詞與存在量詞角度1含量詞命題的否定及真假判斷例3(1)(2025·邵陽聯考)命題“?x∈R,x2-4x+6<0”的否定為()A.?x∈R,x2-4x+6>0B.?x∈R,x2-4x+6≤0C.?x∈R,x2-4x+6<0D.?x∈R,x2-4x+6≥0答案D解析“?x∈R,x2-4x+6<0”的否定為“?x∈R,x2-4x+6≥0”.(2)(2024·新高考Ⅱ卷)已知命題p:?x∈R,|x+1|>1;命題q:?x>0,x3=x.則()A.p和q都是真命題B.?p和q都是真命題C.p和?q都是真命題D.?p和?q都是真命題答案B解析在命題p中,當x=-1時,|x+1|=0,所以命題p為假命題,?p為真命題.在命題q中,因為立方根等于本身的實數有-1,0,1,所以?x>0,使得x3=x,所以命題q為真命題,?q為假命題,所以?p和q都是真命題.角度2含量詞命題的應用例4(2024·河南百校聯考)已知p:?x∈[-1,2],x2-2x+a<0;q:?x∈R,x2-4x+a=0.若p為假命題,q為真命題,則a的取值范圍為()A.[-3,4] B.(-3,4]C.(-∞,-3) D.[4,+∞)答案A解析由題意知,p:?x∈[-1,2],x2-2x+a<0為假命題,則?p:?x∈[-1,2],x2-2x+a≥0為真命題,當x∈[-1,2]時,y=x2-2x+a的圖象的對稱軸方程為x=1,此時其最大值為(-1)2+2+a=3+a,則3+a≥0,解得a≥-3.又q:?x∈R,x2-4x+a=0為真命題,即Δ=16-4a≥0,解得a≤4.綜上,a的取值范圍為[-3,4].思維建模1.含量詞命題的否定,一是要改寫量詞,二是要否定結論.2.判定全稱量詞命題“?x∈M,p(x)”是真命題,需要對集合M中的每一個元素x,證明p(x)成立;要判定存在量詞命題“?x∈M,p(x)”是真命題,只要在限定集合內找到一個x,使p(x)成立即可.3.由命題真假求參數的范圍,一是直接由命題的含義,利用函數的最值求參數的范圍;二是利用等價命題,即p與?p的關系,轉化成?p的真假求參數的范圍.訓練3(1)(多選)(2025·深圳質檢)下列命題中,為真命題的有()A.?x>0,x+1x≥B.?x<0,x+1x>-C.?x>0,x1+xD.?x<0,x1+x答案AD解析對于A,利用基本不等式可得?x>0,x+1x≥2x·1x當且僅當x=1時,等號成立,故A正確;對于B,對于?x<0,-x>0,x+1x=--x+1-x當且僅當x=-1時,等號成立,故命題?x<0,x+1x>-2為假命題,故B錯誤對于C,易知對于?x>0,x1+x2=1x+當且僅當x=1時,等號成立,故C錯誤;對于D,易知當x=-1時,x1+x2即?x<0,x1+x2≤-12,(2)(多選)已知命題p:?x∈[0,1],不等式2x-2≥m2-3m恒成立,命題q:?x∈[1,3],不等式x2-ax+4≤0,則下列說法正確的是()A.命題p的否定是“?x∈[0,1],不等式2x-2<m2-3m”B.命題q的否定是“?x∈[1,3],不等式x2-ax+4≥0”C.當命題p為真命題時,1≤m≤2D.當命題q為假命題時,a<4答案ACD解析命題p的否定是“?x∈[0,1],不等式2x-2<m2-3m”,故A正確;命題q的否定是“?x∈[1,3],不等式x2-ax+4>0”,故B錯誤;若命題p為真命題,則當x∈[0,1]時,(2x-2)min≥m2-3m,即m2-3m+2≤0,解得1≤m≤2,故C正確;若命題q為假命題,則?x∈[1,3],不等式x2-ax+4>0為真命題,即a<x+4x在x∈[1,3]時恒成立因為x+4x≥2x·4x當且僅當x=4x,即x=2時取等號,所以a<4,故D正確一、單選題1.命題“?x>0,sinx-x≤0”的否定為()A.?x≤0,sinx-x>0B.?x>0,sinx-x≤0C.?x>0,sinx-x>0D.?x≤0,sinx-x>0答案C解析由題意知命題“?x>0,sinx-x≤0”為存在量詞命題,其否定為全稱量詞命題,即?x>0,sinx-x>0.2.已知命題:“?x∈R,方程x2+4x+a=0有解”是真命題,則實數a的取值范圍是()A.a<4 B.a≤4C.a>4 D.a≥4答案B解析“?x∈R,方程x2+4x+a=0有解”是真命題,故Δ=16-4a≥0,解得a≤4.3.“a>b>0”是“ab>1”的(A.充要條件B.充分不必要條件C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件答案B解析由a>b>0,得ab>1,反之不成立如a=-2,b=-1,滿足ab>1,但是不滿足a>b>0故“a>b>0”是“ab>1”的充分不必要條件4.(2023·天津卷)已知a,b∈R,則“a2=b2”是“a2+b2=2ab”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件答案B解析若a2=b2,則a=±b,當a=-b≠0時,有a2+b2=2a2,2ab=-2a2,即a2+b2≠2ab,所以由a2=b2?a2+b2=2ab;若a2+b2=2ab,則有a2+b2-2ab=0,即(a-b)2=0,所以a=b,則有a2=b2,即a2+b2=2ab?a2=b2.所以“a2=b2”是“a2+b2=2ab”的必要不充分條件.5.當命題“若p,則q”為真命題,則“由p可以推出q”,即一旦p成立,q就成立,p是q成立的充分條件.也可以這樣說,若q不成立,那么p一定不成立,q對p成立也是很必要的.王安石在《游褒禪山記》中也說過一段話:“世之奇偉、瑰怪,非常之觀,常在于險遠,而人之所罕至焉,故非有志者不能至也”.從數學邏輯角度分析,“有志”是“能至”的()A.充分條件B.必要條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案B解析因為“非有志者不能至也”即“有志”不成立時“能至”一定不成立,所以“能至”是“有志”的充分條件,“有志”是“能至”的必要條件.6.已知命題p:?x∈R,ax2+2ax-4≥0為假命題,則實數a的取值范圍是()A.-4<a<0 B.-4≤a<0C.-4<a≤0 D.-4≤a≤0答案C解析命題p:?x∈R,ax2+2ax-4≥0為假命題,即命題?p:?x∈R,ax2+2ax-4<0為真命題,當a=0時,-4<0恒成立,符合題意;當a≠0時,則a<0且Δ=(2a)2+16a<0,即-4<a<0.綜上可知,-4<a≤0.7.設p:關于x的不等式x2+ax+1>0對一切x∈R恒成立,q:對數函數y=log(4-3a)x在(0,+∞)上單調遞減,那么p是q的()A.充分不必要條件B.充要條件C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件答案C解析若關于x的不等式x2+ax+1>0對一切x∈R恒成立,則Δ=a2-4<0,即-2<a<2;若對數函數y=log(4-3a)x在(0,+∞)上單調遞減,則0<4-3a<1,即1<a<43∵1,43?(-2,∴p是q的必要不充分條件.8.(2024·成都調研)設p:0<ln(x-2)≤ln3,q:(x-2m)(x-2m-3)≤0.若p是q的充分不必要條件,則實數m的取值范圍是()A.1,32 B.C.1,32 D答案C解析因為0<ln(x-2)≤ln3,所以1<x-2≤3,即3<x≤5,因為(x-2m)(x-2m-3)≤0,所以2m≤x≤2m+3,因為p是q的充分不必要條件,所以(3,5]是[2m,2m+3]的真子集,所以2m≤3,2m+3≥經驗證,端點值滿足條件,故實數a的取值范圍是1,32,故選二、多選題9.下列命題的否定是假命題的是()A.?m∈N,m2+1B.菱形都是平行四邊形C.?a∈R,一元二次方程x2-ax-1=0沒有實數根D.平面四邊形ABCD的內角和等于360°答案ABD解析由于原命題和其否定的真假完全相反,所以題干中“下列命題的否定是假命題”等價于“下列命題是真命題”,對于A,當m=0時,0+1=1∈N,則A中命題為真命題,故A符合題意;選項B顯然符合題意;對于C,因為Δ=a2+4>0恒成立,所以不存在a∈R,使得一元二次方程x2-ax-1=0沒有實數根,故C不符合題意;選項D顯然符合題意.故選ABD.10.已知冪函數f(x)=(4m-1)xm,則下列選項中,能使得f(a)>f(b)成立的一個充分不必要條件是()A.0<1a<1b B.a2>C.lna>lnb D.2a>2b答案AC解析由題設知4m-1=1,可得m=12故f(x)=x,所以要使f(a)>f(b),則a>b,即a>b≥0.0<1a<1b?a>b>0,Alna>lnb?a>b>0,C符合題意;B,D選項中a,b均有可能為負數,B,D不符合題意.11.(2025·溫州模擬)下列選項中,與“1x>1”互為充要條件的是(A.x<1 B.log0.5x2>log0.5xC.3x2<3x D.|x(x-1)|=x(1-答案BC解析由1x>1,得1x-1>0,即1-xx>0,x(x-1)<0,解得0<對于A,“x<1”是“1x>1”的必要不充分條件,故A錯誤對于B,由log0.5x2>log0.5x,得0<x2<x,故x(x-1)<0,解得0<x<1,故B正確;對于C,由3x2<3x,得x2<x,解得0<x<1,故C對于D,|x(x-1)|=x(1-x),則x(1-x)≥0,解得0≤x≤1,故D錯誤.三、填空題12.(2025·沈陽質測)“sinx=1”的一個充分不必要條件是.

答案x=π2(答案不唯一解析當x=π2時,sinx=1由sinx=1可得x=π2+2kπ,k∈Z,故“sinx=1”的一個充分不必要條件是“x=π213.(2025·南昌質測)已知p:-3≤x≤1,q:x≤a(a為實數).若q的一個充分不必要條件是p,則實數a的取值范圍是.

答案[1,+∞)解析因為q的一個充分不必要條件是p,所以[-3,1]是(-∞,a]的一個真子集,則a≥1,即實數a的取值范圍是[1,+∞).14.為了證明“所有的素數都是奇數”是假命題,只要證明:.

答案存在一個素數不是奇數解析因為命題“所有的素數都是奇數”是假命題,則命題“存在一個素數不