第3節平面向量的數量積及其應用課標要求1.理解平面向量數量積的含義.2.了解平面向量的數量積與投影向量的關系.3.掌握數量積的坐標表達式,會進行平面向量數量積的運算.4.能運用數量積表示兩個向量的夾角,會用數量積判斷兩個平面向量的垂直關系.5.會用向量的方法解決某些簡單的平面幾何問題.【知識梳理】1.平面向量數量積的有關概念(1)向量的夾角:已知兩個非零向量a和b,O是平面上的任意一點,作OA=a,OB=b,則∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫做向量a與b的夾角.(2)數量積的定義:已知兩個非零向量a與b,它們的夾角為θ,我們把數量|a||b|cosθ叫做向量a與b的數量積(或內積),記作a·b,即a·b=|a||b|cosθ.規定:零向量與任一向量的數量積為0,即0·a=0.

(3)投影向量如圖,在平面內任取一點O,作OM=a,ON=b,過點M作直線ON的垂線,垂足為M1,則OM1就是向量a在向量b設與b方向相同的單位向量為e,a與b的夾角為θ,則OM1與e,a,θ之間的關系為OM1=|a|cos2.平面向量數量積的性質及其坐標表示設向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ為向量a,b的夾角.(1)數量積:a·b=|a||b|cosθ=x1x2+y1y2.(2)模:|a|=a·a=(3)夾角:cosθ=a·b|(4)兩非零向量a⊥b的充要條件:a·b=0?x1x2+y1y2=0.(5)|a·b|≤|a||b|(當且僅當a∥b時等號成立)?|x1x2+y1y2|≤x12+3.平面向量數量積的運算律(1)a·b=b·a(交換律).(2)λa·b=λ(a·b)=a·(λb)(結合律).(3)(a+b)·c=a·c+b·c(分配律).4.平面幾何中的向量方法三步曲:(1)用向量表示問題中的幾何元素,將幾何問題轉化為向量問題;(2)通過向量運算,研究幾何元素之間的關系;(3)把運算結果“翻譯”成幾何關系.[常用結論與微點提醒]1.有關向量夾角的兩個結論已知向量a,b(1)若a與b的夾角為銳角,則a·b>0;若a·b>0,則a與b的夾角為銳角或0.(2)若a與b的夾角為鈍角,則a·b<0;若a·b<0,則a與b的夾角為鈍角或π.2.平面向量數量積運算的常用公式(1)(a+b)·(a-b)=a2-b2;(2)(a+b)2=a2+2a·b+b2;(3)(a-b)2=a2-2a·b+b2.【診斷自測】概念思考辨析+教材經典改編1.思考辨析(在括號內打“√”或“×”)(1)兩個向量的夾角的范圍是0,π2.((2)向量a與b的夾角為θ,a在b上的投影向量為(|a|cosθ)bb.((3)兩個向量的數量積是一個實數,向量的加、減、數乘運算的運算結果是向量.()(4)若a·b=a·c(a≠0),則b=c.()答案(1)×(2)√(3)√(4)×解析(1)兩個向量夾角的范圍是[0,π].(4)由a·b=a·c(a≠0)得|a||b|·cos<a,b>=|a||c|·cos<a,c>,所以向量b和c不一定相等.2.(人教A必修二P35例11改編)設a=(5,-7),b=(-6,-4),設a,b的夾角為θ,則cosθ=.

答案-962解析cosθ=a·b|a||b3.(蘇教必修二P47T12改編)已知|a|=3,|b|=4,且a與b不共線,若(a+kb)⊥(a-kb),則實數k=.

答案±3解析由題意知(a+kb)·(a-kb)=a2-k2b2=9-16k2=0,解得k=±344.(北師大必修二P113練習T2(2)改編)已知|a|=6,|b|=4,a與b的夾角為60°,則(2a-b)·(a+3b)=.

答案84解析(2a-b)·(a+3b)=2|a|2+5a·b-3|b|2=2×36+5×6×4×12-3×考點一數量積的計算例1(1)(2025·北京延慶區模擬)已知正方形ABCD的邊長為2,點P滿足AP=12(AC+AD),則AP·AC=(A.4 B.5 C.6 D.8答案C解析以A為坐標原點,建立如圖所示的平面直角坐標系,正方形ABCD的邊長為2,則A(0,0),C(2,2),D(0,2),可得AC=(2,2),AD=(0,2),點P滿足AP=12(AC+AD)=(1,2)所以AP·AC=1×2+2×2=6.(2)(2025·武漢質檢)如圖,B,D是以AC為直徑的圓上的兩點,其中AB=t+1,AD=t+2,則AC·BD=(A.1 B.2 C.t D.2t答案A解析如圖所示,連接BC,CD,則AD⊥CD,AB⊥BC.所以AB·AC=|AB|·|AC|·cos∠BAC=|AB|·(|AC|·cos∠BAC)=|AB|2=t+1.AD·AC=|AD|·|AC|cos∠CAD=|AD|·(|AC|·cos∠CAD)=|AD|2=t+2.因為BD=AD-AB,所以AC·BD=AC·(AD-AB)=AC·AD-AC·AB=t+2-(t+1)=1.思維建模計算平面向量數量積的主要方法(1)利用定義:a·b=|a||b|cos<a,b>.(2)利用坐標運算,若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a·b=x1x2+y1y2.(3)利用基底法求數量積.(4)靈活運用平面向量數量積的幾何意義.訓練1(1)(2025·1月八省聯考)已知向量a=(0,1),b=(1,0),則a·(a-b)=()A.2 B.1 C.0 D.-1答案B解析由已知得,a·(a-b)=(0,1)·(-1,1)=1.(2)(2025·泉州調研)已知正方形ABCD的邊長為2,若BP=PC,則AP·BD=()A.2 B.-2 C.4 D.-4答案B解析以點A為坐標原點建立平面直角坐標系,如圖所示,則B(2,0),D(0,2),C(2,2),由BP=PC可得P為BC的中點,所以P(2,1),則AP=(2,1),又BD=(-2,2),所以AP·BD=2×(-2)+1×2=-2.(3)(2025·寧波調研)已知△ABC的外接圓圓心為O,AO=12(AB+AC),|OA|=|AB|,則AC在BC上的投影向量為(A.-34BCC.-34BC答案D解析因為AO=12(AB+AC)所以△ABC外接圓圓心O為BC的中點,即BC為外接圓的直徑,如圖,又|AB|=|OA|,所以△ABO為等邊三角形,則∠ACB=30°,故|AC|=|BC|cos30°,所以向量AC在向量BC上的投影向量為|AC|cos30°·BC|BC|=|BC|·BC考點二數量積的應用角度1夾角與垂直例2(1)(2024·新高考Ⅰ卷)已知向量a=(0,1),b=(2,x),若b⊥(b-4a),則x=()A.-2 B.-1 C.1 D.2答案D解析法一因為b⊥(b-4a),所以b·(b-4a)=0,即b2=4a·b.因為a=(0,1),b=(2,x),所以b2=4+x2,a·b=x,得4+x2=4x,所以(x-2)2=0,解得x=2,故選D.法二因為a=(0,1),b=(2,x),所以b-4a=(2,x)-4(0,1)=(2,x)-(0,4)=(2,x-4).因為b⊥(b-4a),所以b·(b-4a)=0,所以2×2+x(x-4)=0,所以(x-2)2=0,解得x=2,故選D.(2)(2023·全國甲卷)已知向量a,b,c滿足|a|=|b|=1,|c|=2,且a+b+c=0,則cos<a-c,b-c>=()A.-45 B.-2C.25 D.答案D解析因為向量|a|=|b|=1,|c|=2,且a+b+c=0,所以c=-a-b,等式兩邊同時平方得c2=a2+b2+2a·b,即2=1+1+2a·b,解得a·b=0.法一a-c=a-(-a-b)=2a+b,b-c=b-(-a-b)=a+2b,所以(a-c)·(b-c)=(2a+b)·(a+2b)=2a2+5a·b+2b2=4,且|a-c|=|2a+b|=(2a+b)2|b-c|=|a+2b|=(a+2b)2所以cos<a-c,b-c>=(a-c法二如圖,令向量a,b的起點均為O,終點分別為A,B,以OA,OB分別為x,y軸的正方向建立平面直角坐標系,則a=(1,0),b=(0,1),c=-a-b=(-1,-1),所以a-c=(2,1),b-c=(1,2),則cos<a-c,b-c>=(a-c)·角度2平面向量的模例3(2024·新高考Ⅱ卷)已知向量a,b滿足|a|=1,|a+2b|=2,且(b-2a)⊥b,則|b|=()A.12 B.2C.32答案B解析由(b-2a)⊥b,得(b-2a)·b=b2-2a·b=0,所以b2=2a·b.將|a+2b|=2的兩邊同時平方,得a2+4a·b+4b2=4,即1+2b2+4b2=1+6|b|2=4,解得|b|2=12,所以|b|=22,思維建模1.求平面向量的模的方法(1)公式法:利用|a|=a·a及(a±b)2=|a|2±2a·b+|b|2;(2)幾何法:2.求平面向量的夾角的方法(1)定義法:cosθ=a·b|3.兩個向量垂直的充要條件a⊥b?a·b=0?|a-b|=|a+b|(其中a≠0,b≠0).訓練2(1)(2024·全國甲卷)設向量a=(x+1,x),b=(x,2),則()A.x=-3是a⊥b的必要條件B.x=-3是a∥b的必要條件C.x=0是a⊥b的充分條件D.x=-1+3是a∥b的充分條件答案C解析a⊥b?x2+x+2x=0?x=0或x=-3,所以x=-3是a⊥b的充分條件,x=0是a⊥b的充分條件,故A錯誤,C正確.a∥b?2x+2=x2?x2-2x-2=0?x=1±3,故B,D錯誤.(2)(2025·泰安一模)已知非零向量a,b滿足|a|=223|b|,若(a+b)⊥(3a-2b),則a與b的夾角為(A.π4 B.πC.3π4 D.答案C解析因為(a+b)⊥(3a-2b),所以(a+b)·(3a-2b)=0,則a·b=2|b|2-3|a|2,又|a|=223|b則a·b=2|b|2-3223b2=-23所以cos<a,b>=a·b=-22又0≤<a,b>≤π,所以a與b的夾角為3π4(3)(多選)(2025·長沙模擬)已知向量a,b滿足|a+2b|=|a|,a·b+a2=0,且|a|=2,則()A.|b|=2 B.a+b=0C.|a-2b|=6 D.a·b=4答案ABC解析因為|a+2b|=|a|,所以|a+2b|2=|a|2,即a2+4a·b+4b2=a2,整理可得a·b+b2=0,再由a·b+a2=0,且|a|=2,可得a2=b2=4,所以|b|=2,a·b=-4,A正確,D錯誤;cos<a,b>=a·b|a即向量a,b的夾角<a,b>=π,故向量a,b共線且方向相反,所以a+b=0,B正確;|a-2b|=(a-2b)2=a2-4a考點三平面向量的新定義問題例4(2025·北京人大附中統練)定義平面向量的一種運算a☉b=|a+b|×|a-b|×sin<a,b>,其中<a,b>是a與b的夾角,給出下列命題:①若<a,b>=90°,則a☉b=a2+b2;②若|a|=|b|,則(a+b)☉(a-b)=4a·b;③若|a|=|b|,則a☉b≤2|a|2;④若a=(1,2),b=(-2,2),則(a+b)☉b=10.其中真命題的序號是.

答案①③解析對于①,若<a,b>=90°,則|a+b|=|a-b|,a·b=0,則a☉b=|a+b|×|a-b|=|a+b|2=a2+b2+2a·b=a2+b2,故①正確;對于②,若|a|=|b|,則(a+b)⊥(a-b),則(a+b)與(a-b)的夾角為90°,則(a+b)☉(a-b)=|(a+b)+(a-b)|×|(a+b)-(a-b)|sin90°=4|a||b|,故②錯誤;對于③,若|a|=|b|,則a☉b≤|a+b|×|a-b|=2a2=4a4-4(a·b)2≤對于④,若a=(1,2),b=(-2,2),則a+b=(-1,4),a+2b=(-3,6),則cos<a+b,b>=1022×sin<a+b,b>=334則(a+b)☉b=|a+2b|×|a|×sin<a+b,b>=35×5×334=4534≠10,故④思維建模平面向量背景下的新定義問題,通常基于平面向量的方向性和大小性,引入新的運算規則或概念.解題時,首先要準確理解新定義的本質,明確其涉及的向量運算和性質.接著,將新定義應用到具體的題目情境中,通過向量的加法、減法、數乘、數量積等運算,推導出所需的結論.最終,通過綜合應用平面向量的基礎知識和新定義,解決這類復雜而有趣的數學問題.訓練3(2025·蘇州調研)假設二維空間中有兩個點A(x1,y1),B(x2,y2),O為坐標原點,余弦相似度為向量OA,OB夾角的余弦值,記作cos(A,B),余弦距離為1-cos(A,B).已知P(cosα,sinα),Q(cosβ,sinβ),R(cosα,-sinα),若P,Q的余弦距離為13,tanα·tanβ=17,則Q,R的余弦距離為(A.12 B.1C.14 D.答案A解析由題意得OP=(cosα,sinα),OQ=(cosβ,sinβ),OR=(cosα,-sinα),則cos(P,Q)=OP=cosαcosβ+sinαsinβ=23又tanαtanβ=sinαsinβ∴cosαcosβ=7sinαsinβ,∴sinαsinβ=112,cosαcosβ=7則1-cos(Q,R)=1-cos=1-712-1一、單選題1.(2025·重慶聯考)已知向量a=(m,1),b=(0,3),且a⊥(a-b),則m=()A.2 B.2 C.±2 D.±2答案C解析因為a=(m,1),b=(0,3),所以|a|=m2+1,a·b=m×0+1因為a⊥(a-b),所以a·(a-b)=0,即a2-a·b=m2+1-3=0,解得m=±2.2.(2025·浙江Z20名校聯盟第二次聯考)已知向量a=(-1,1),b=(2,0),向量a在向量b上的投影向量c=()A.(-2,0) B.(2,0) C.(-1,0) D.(1,0)答案C解析因為向量a=(-1,1),b=(2,0),所以向量a在向量b上的投影向量c=a·bb|2·b3.(2025·撫順模擬)已知向量a=(2,1),b=(1,2),若向量c滿足a·c=8,且b∥c,則|c|=()A.25 B.12 C.20 D.23答案A解析由b∥c可設c=λb=(λ,2λ),λ∈R,由a·c=8可得2λ+1×2λ=8,解得λ=2,所以c=(2,4),則|c|=22+44.(2025·蘇錫常鎮調研)已知平面向量a,b,c滿足a+b+c=0,|a|=|b|=1,|c|=3,則a與b的夾角為()A.π4 B.πC.23π D.3答案B解析a+b=-c,所以(a+b)2=c2,所以a2+2a·b+b2=3,所以a·b=12則cos<a,b>=a·b|又<a,b>∈[0,π],所以<a,b>=π35.(2025·皖豫名校聯考)如圖,在四邊形ABCD中,AB∥CD,AB為其外接圓的直徑,且AB=2AD=2,P為邊BC的中點,則AP·BD=()A.-73 B.-2C.-1316 D.-答案D解析由題意,∠BAD=60°,建立平面直角坐標系如圖,則A(0,0),B(2,0),C32,32所以P74,34,所以又BD=-32,32,所以AP·6.在△ABC中,AB=2,BC=1,∠ABC=π3,若點M滿足BM=2MA,則AM·AC=(A.12 B.2C.1 D.4答案C解析在△ABC中,點M滿足BM=2MA,所以AM=-13AC=BC-BA,又AB=2,BC=1,∠ABC=π3所以BA·BC=|BA|·|BC|cos∠ABC=2×1×12=1所以AM·AC=-13BA·(BC-=-13BA·BC+13BA2=7.(2025·西安質檢)在△ABC中,點D在邊AB上,且BD=2DA,點E滿足CD=2CE.若AB=AC=6,AB·AC=6,則|AE|=()A.11 B.23 C.12 D.11答案A解析因為BD=2DA,所以AD=13因為CD=2CE,所以E為CD的中點,則AE=AD+DE=AD+1=AD+12(AC-AD=12AC=12AC+故|AE|=1=1=1=9+1+1=11.8.在△ABC中,已知AB|AB|+AC|AC|·BC=0,且AB|AB|·A.等邊三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.三邊均不相等的三角形答案A解析AB|AB|,AC|AC|AB|AB|+AC|AC∵AB|AB|+AC|AC|·BC=0又AB|AB|·AC∴cos<AB,AC>=AB|AB|·AC則AB與AC的夾角為60°,即∠BAC=60°,可得△ABC是等邊三角形.二、多選題9.(2025·成都診斷)下列說法正確的是()A.對任意向量a,b,都有a·b=b·aB.若a·b=a·c且a≠0,則b=cC.對任意向量a,b,c,都有(a·b)·c=a·(b·c)D.對任意向量a,b,c,都有(a+b)·c=a·c+b·c答案AD解析a·b=|a||b|cos<a,b>,b·a=|a||b|cos<a,b>,可得a·b=b·a,故A正確;由a·b=a·c可得a·(b-c)=0,由a≠0可得b=c或a⊥(b-c),故B錯誤;(a·b)·c=|a||b|cos<a,b>c=λc(λ∈R),a·(b·c)=|c||b|cos<c,b>a=μa(μ∈R),所以(a·b)·c=a·(b·c)不一定成立,故C錯誤;由向量數量積運算的分配律可知D正確.10.已知向量a=(2,1),b=(1,-1),c=(m-2,-n),其中m,n均為正數,且(a-b)∥c,則下列說法正確的是()A.a與b的夾角為鈍角B.向量a在b上的投影向量為22C.2m+n=4D.mn的最大值為2答案CD解析對于A,向量a=(2,1),b=(1,-1),則a·b=2-1=1>0,又a,b不共線,所以a,b的夾角為銳角,故A錯誤;對于B,向量a在b上的投影向量為a·bb·bb=12b對于C,a-b=(1,2),若(a-b)∥c,則-n=2(m-2),變形可得2m+n=4,故C正確;對于D,由2m+n=4,且m,n均為正數,得mn=12(2m·n)≤12當且僅當m=1,n=2時,等號成立,即mn的最大值為2,故D正確.11.(2025·臨汾適應性訓練)設Ox,Oy是平面內相交成60°角的兩條數軸,e1,e2分別是與x軸、y軸正方向同向的單位向量.若OP=xe1+ye2,則把有序實數對(x,y)叫做向量OP在斜坐標系Oxy中的坐標,記作OP=(x,y).則下列說法正確的是()A.若OP=(2,1),則|OP|=7B.若AB=(2,1),BC=-1,-12,則A,B,C.若OP1=(3,2),OP2=(2,-3),D.若OA=(2,0),OB=(0,3),OC=(4,1),則四邊形OACB的面積為7答案ABD解析對于A,由題意得OP=2e1+e2,故OP2=(2e1+e2)2=4e12-+4e1·e=4|e1|2+4|e1|·|e2|cos60°+|e2|2=4+4×1×1×12+1=7故|OP|=7,A正確;對于B,由題意得AB=2e1+e2,BC=-e1-12e2所以AB=-2BC,所以A,B,C三點共線,B正確;對于C,由題意得OP1=3e1+2eOP2=2e1-3e所以OP1·OP2=6e12-5e1=6-5×1×1×12-6=-52≠故OP1與OP2不垂直對于D,因為OA=(2,0),OB=(0,3),OC=(4,1),所以AC=(2,1),BC=(4,-2),AB=(-2,3),|OA|=(2e1|OB|=(3e2所以|AC|=|2e1+e2|=7,|AB|=(-2=4e12-12e|BC|=(4=16=16-8+4=23,在△ABC中,由余弦定理的推論知cos∠BAC=A=7+7-122×7×所以sin∠BAC=1-cos2∠所以四邊形OACB的面積為S△OAB+S△ABC=12×2×3×32+12×7×7×437=三、填空題12.物理學中,如果一個物體受到力的作用,并在力的方向上發生了一段位移,我們就說這個力對物體做了功,功的計算公式:W=F·S(其中W是功,F是力,S是位移).一物體在力F1=(2,4)和F2=(-5,3)的作用下,由點A(1,0)移動到點B(2,4),在這個過程中這兩個力的合力對物體的所做的功等于.

答案25解析因為F1=(2,4),F2=(-5,3),所以F1+F2=(-3,7),又A(1,0),B(2,4),所以AB=(1,4),故W=(F1+F2)·AB=-3+7×4=25.13.(2025·保定聯考)已知平面向量a,b是非零向量,(2a-b)⊥(2a+b),向量b在向量a上的投