第2節平面向量基本定理及坐標表示課標要求1.理解平面向量基本定理及其意義.2.掌握平面向量的正交分解及其坐標表示.3.會用坐標表示平面向量的加法、減法與數乘運算.4.理解用坐標表示的平面向量共線的條件.【知識梳理】1.平面向量的基本定理條件e1,e2是同一平面內的兩個不共線向量結論對于這一平面內的任一向量a,有且只有一對實數λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2基底若e1,e2不共線,我們把{e1,e2}叫做表示這一平面內所有向量的一個基底2.平面向量的正交分解把一個向量分解為兩個互相垂直的向量,叫做把向量作正交分解.3.平面向量的坐標運算(1)向量加法、減法、數乘運算及向量的模設a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2),λa=(λx1,λy1),|a|=x1(2)向量坐標的求法①若向量的起點是坐標原點,則終點坐標即為向量的坐標.②設A(x1,y1),B(x2,y2),則AB=(x2-x1,y2-y1),|AB|=(x4.平面向量共線的坐標表示設a=(x1,y1),b=(x2,y2),向量a,b(b≠0)共線的充要條件是x1y2-x2y1=0.[常用結論與微點提醒]1.平面內不共線向量都可以作為基底,反之亦然.2.若a與b不共線,λa+μb=0,則λ=μ=0.3.向量的坐標與表示向量的有向線段的起點、終點的相對位置有關系.兩個相等的向量,無論起點在什么位置,它們的坐標都是相同的.【診斷自測】概念思考辨析+教材經典改編1.思考辨析(在括號內打“√”或“×”)(1)設a,b是平面內的一個基底,若實數λ1,μ1,λ2,μ2滿足λ1a+μ1b=λ2a+μ2b,則λ1=λ2,μ1=μ2.()(2)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a∥b的充要條件可以表示成x1x2=y(3)平面向量不論經過怎樣的平移變換之后其坐標不變.()答案(1)√(2)×(3)√解析(2)若b=(0,0),則x1x2=2.(人教A必修二P31例7改編)已知a=(4,2),b=(6,y),且a∥b,則y=.

答案3解析因為a∥b,所以4y-2×6=0,解得y=3.3.(人教B必修二P170例5改編)已知平行四邊形ABCD的頂點A(-1,-2),B(3,-1),C(5,6),則頂點D的坐標為.

答案(1,5)解析設D(x,y),則AB=DC,得(3-(-1),-1-(-2))=(4,1)=(5-x,6-y),即4=5-x,1=6-y,解得x4.(北師大必修二P100例1改編)如圖,在?ABCD中,點E,F分別為BC,DC的中點,AB=a,AD=b,則BF=,DE=(用a,b表示).

答案b-12aa-1解析根據題意,得BC=AD=b,CF=-12AB=-1所以BF=BC+CF=b-12a同理DE=DC+CE=AB-12AD=a-1考點一平面向量基本定理的應用例1(1)(2025·漳州質檢)在△ABC中,D是邊BC上一點,且BD=2DC,E是AC的中點,記AC=m,AD=n,則BE=()A.53n-3m B.72n-C.72m-3n D.52m-答案D解析BE=AE-AB=12AC-(AC+=-12AC-=-12AC-3(AD-=52AC-3AD=52m-(2)(2025·河南名校檢測)在△ABC中,BE=12EC,BF=12(BA+BC),點P為AE與BF的交點,AP=λAB+μAC,則λ-μ=答案1解析因為BF=12(BA+BC)所以F為AC的中點,由B,P,F三點共線,可設BP=kBF(0<k<1),即AP-AB=k(AF-AB),整理得AP=kAF+(1-k)AB=(1-k)AB+12kAC因為BE=12所以AE-AB=12AC-即AE=13AC+由A,P,E三點共線,可得AP=mAE=m1=13mAC+23mAB(0<m所以2m3可得AP=12AB+則λ=12,μ=14,λ-μ=思維建模1.應用平面向量基本定理表示向量的實質是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加、減或數乘運算.2.用平面向量基本定理解決問題的一般思路是:先選擇一個基底,并運用該基底將條件和結論表示成向量的形式,再通過向量的運算來解決.注意同一個向量在不同基底下的分解是不同的,但在每個基底下的分解都是唯一的.訓練1(1)(多選)下列命題中正確的是()A.若p=xa+yb,則p與a,b共面B.若p與a,b共面,則存在實數x,y使得p=xa+ybC.若MP=xMA+yMB,則P,M,A,B共面D.若P,M,A,B共面,則存在實數x,y使得MP=xMA+yMB答案AC解析對于B,若a,b共線,p與a,b不共線,則不存在實數x,y使得p=xa+yb,故B錯誤;對于D,若M,A,B共線,P在直線AB外,則不存在實數x,y使得MP=xMA+yMB,故D錯誤;由平面向量基本定理知A,C正確.(2)(2025·南通、如皋診斷)已知△ABC的邊BC的中點為D,點E在△ABC所在平面內,且CD=3CE-2CA.若AC=xAB+yBE,則x+y=()A.5 B.7 C.9 D.11答案D解析∵CD=3CE-2CA,D為BC的中點,∴CE=13CD+23CA=-∵AC=xAB+yBE,∴BE=1yAC-∴BC=BE-CE=1y+23AC∴56BC=1y即56AC-56AB=由平面向量基本定理知,56=1y+23考點二平面向量的坐標運算例2(1)(2025·雅安診斷)已知D,E分別為△ABC的邊AB,AC的中點,若DE=(3,4),B(-2,-3),則點C的坐標為()A.(4,5) B.(1,1)C.(-5,-7) D.(-8,-11)答案A解析因為D,E分別為AB,AC的中點,所以BC=2DE=(6,8),設C(x,y),又B(-2,-3),所以(x+2,y+3)=(6,8),即x+2=6,y(2)如圖,在直角梯形ABCD中,AB∥DC,AD⊥DC,AD=DC=2AB,E為AD的中點,若CA=λCE+μDB(λ,μ∈R),則λ+μ的值為.

答案8解析建立如圖所示的平面直角坐標系,則D(0,0).不妨設AB=1,則CD=AD=2,∴C(2,0),A(0,2),B(1,2),E(0,1),∴CA=(-2,2),CE=(-2,1),DB=(1,2),∵CA=λCE+μDB,∴(-2,2)=λ(-2,1)+μ(1,2),∴-2λ+故λ+μ=85思維建模平面向量坐標運算的技巧(1)向量的坐標運算主要是利用向量加、減、數乘運算的法則來進行求解的,若已知有向線段兩端點的坐標,則應先求向量的坐標.(2)解題過程中,常利用向量相等其坐標相同這一原則,通過列方程(組)來進行求解.訓練2(1)(多選)(2025·亳州調研)已知向量a,b,c滿足c=λa+(1-λ)b(0<λ<1),且c=(1,2),則a,b的坐標可以為()A.a=(1,0),b=(0,2)B.a=(2,0),b=(0,4)C.a=(3,1),b=(-1,3)D.a=(2,1),b=(4,-1)答案BC解析設OA=a,OB=b,OC=c,O為坐標原點,則由c=λa+(1-λ)b(0<λ<1)可知,A,B,C三點共線,且C在A,B兩點之間.選項A,AB=(-1,2),AC=(0,2),AB與AC不平行,A錯誤;選項B,AB=(-2,4),AC=(-1,2),AB與AC平行,且C在A,B兩點之間,B正確;選項C,AB=(-4,2),AC=(-2,1),AB與AC平行,且C在A,B兩點之間,C正確;選項D,AB=(2,-2),AC=(-1,1),AB與AC平行,但C不在A,B兩點之間,D錯誤.(2)已知向量a,b,c在正方形網格中的位置如圖所示,用基底{a,b}表示c,則()A.c=2a-3b B.c=-2a-3bC.c=-3a+2b D.c=3a-2b答案D解析如圖建立平面直角坐標系,設正方形網格的邊長為1,則A(1,0),B(2,1),C(0,4),D(7,1),所以a=(1,1),b=(-2,3),c=(7,-3),設向量c=ma+nb,則c=ma+nb=(m-2n,m+3n)=(7,-3),則m-2n所以c=3a-2b.故選D.考點三平面向量共線的坐標表示角度1利用向量共線求參數例3(2025·杭州調研)已知平面向量a=(2,0),b=(-1,1),且(ma-b)∥(a+b),則m=()A.-1 B.0 C.1 D.1±答案A解析法一平面向量a=(2,0),b=(-1,1),則ma-b=(2m,0)-(-1,1)=(2m+1,-1),a+b=(1,1),(ma-b)∥(a+b),則(2m+1)×1=1×(-1),解得m=-1.法二∵a=(2,0),b=(-1,1),∴a,b不共線,要使得(ma-b)∥(a+b),則只需m1=-11,即m=角度2利用向量共線求向量或點的坐標例4在△ABC中,已知點O(0,0),A(0,5),B(4,3),OC=14OA,OD=12OB,AD與BC交于點M,則點M答案12解析因為點O(0,0),A(0,5),B(4,3),所以點C0,54,同理點D設M的坐標為(x,y),則AM=(x,y-5),而AD=2,-7因為A,M,D三點共線,所以AM與AD共線,所以-72x-2(y-5)=0,即7x+4y而CM=x,CB=4-0,3-54=因為C,M,B三點共線,所以CM與CB共線,所以74x-4y-54=0,即7x-16由7x+4所以點M的坐標為127思維建模1.兩平面向量共線的充要條件有兩種形式:(1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a∥b的充要條件是x1y2-x2y1=0;(2)若a∥b(b≠0),則a=λb.2.向量共線的坐標表示既可以判定兩向量平行,也可以由平行求參數.當兩向量的坐標均非零時,也可以利用坐標對應成比例來求解.訓練3(1)設點A(2,0),B(4,2),若點P在直線AB上,且|AB|=2|AP|,則點P的坐標為()A.(3,1) B.(1,-1)C.(3,1)或(1,-1) D.(3,1)或(1,1)答案C解析∵A(2,0),B(4,2),∴AB=(2,2).∵點P在直線AB上,且|AB|=2|AP|,∴AB=2AP或AB=-2AP,故AP=(1,1)或AP=(-1,-1),故P點坐標為(3,1)或(1,-1).(2)已知向量a=(2,1),b=(1,k).若(a+2b)∥ka,則實數k=.

答案0或1解析a+2b=(4,1+2k),ka=(2k,k),若(a+2b)∥ka,則(1+2k)·2k-4k=0,解得k=0或k=12一、單選題1.已知向量a=(5,2),b=(-4,-3),c=(x,y),若3a-2b+c=0,則c=()A.(-23,-12) B.(23,12)C.(7,0) D.(-7,0)答案A解析由題意可得3a-2b+c=3(5,2)-2(-4,-3)+(x,y)=(23+x,12+y)=(0,0),所以23+x=0,所以c=(-23,-12).2.(2025·青島調研)已知向量a=(-1,2),b=(m,1).若a+2b與2a-b平行,則實數m=()A.-52 B.-C.32 D.答案B解析已知向量a=(-1,2),b=(m,1),得a+2b=(-1,2)+2(m,1)=(2m-1,4),2a-b=2(-1,2)-(m,1)=(-m-2,3).由a+2b與2a-b平行,有3(2m-1)-4(-m-2)=0,解得m=-123.(2025·長沙質檢)設k∈R,下列向量中可與向量q=(1,-1)構成一個基底的是()A.b=(k,k) B.c=(-k,-k)C.d=(k2+1,k2+1) D.e=(k2-1,k2-1)答案C解析對于A,B,若k=0,則b=(0,0),c=(0,0),均不滿足構成基底的條件,所以A,B不符合題意;對于C,因為?k∈R,k2+1≠0,且(k2+1)×(-1)-(k2+1)×1=-2(k2+1)≠0恒成立,所以d與q不共線,滿足構成基底的條件,所以C符合題意;對于D,若k=±1,則e=(0,0),不滿足構成基底的條件,所以D不符合題意.4.(2025·湛江統考)已知向量a=(-1,3),b=(-1,2),c=(2,m),若b∥(2a-c),則m=()A.-1 B.-2 C.1 D.2答案B解析由a=(-1,3),b=(-1,2),c=(2,m),得2a-c=(-4,6-m),因為b∥(2a-c),所以-(6-m)+8=0,解得m=-2.5.(2025·貴陽模擬)如圖,在△ABC中,點D為線段BC的中點,點E是線段AD上靠近D的三等分點,則BE=()A.-23AB+13AC B.C.23AB+13AC答案A解析BE=AE-AB=23AD=23×12(AB+AC)-AB=-236.(2025·蘭州診斷)已知平行四邊形ABCD,若P是邊AD的中點,AQ=3QB,AC與PQ相交于點M,則AMAC=(A.16 B.1C.310 D.答案C解析如圖所示,設AP=a,AQ=b,則AC=2a+43bPQ=b-a.設AM=λAC,PM=μPQ,則AM=2λa+43λb,PM=μb-μa因為AM=AP+PM=a+μb-μa=(1-μ)a+μb,所以2λ=1-μ,43λ=μ所以AM=310AC,即AMAC=|7.(2025·江西部分學校聯考)如圖,在平行四邊形ABCD中,E是對角線AC上靠近點C的三等分點,點F為BE的中點,若AF=xAB+yAD,則x+y=()A.76 B.4C.56 D.答案A解析∵點F為BE的中點,且E是對角線AC上靠近點C的三等分點,∴AF=12AB+12AE=1=12AB+13(AB+AD)=5∴x=56,y=1∴x+y=768.(2025·西安調研)奔馳定理:已知O是△ABC內的一點,△BOC,△AOC,△AOB的面積分別為SA,SB,SC,則有SAOA+SBOB+SCOC=0.設O是銳角三角形ABC內的一點,∠BAC,∠ABC,∠ACB分別是△ABC的三個內角,以下命題錯誤的是()A.若OA+OB+OC=0,則O為△ABC的重心B.若OA+2OB+3OC=0,則SA∶SB∶SC=1∶2∶3C.若O為△ABC(不為直角三角形)的垂心,則tan∠BACOA+tan∠ABCOB+tan∠ACBOC=0D.若|OA|=|OB|=2,∠AOB=5π6,2OA+3OB+4OC=0,則S△ABC=答案D解析對于A,如圖所示,設D為AB的中點,連接OD,則OA+OB=2OD=CO,故C,O,D三點共線,即O在中線CD上,同理可得O在另外兩邊BC,AC的中線上,故O為△ABC的重心,即A正確;對于B,由奔馳定理O是△ABC內的一點,△BOC,△AOC,△AOB的面積分別為SA,SB,SC,則有SAOA+SBOB+SCOC=0及OA+2OB+3OC=0,可得SA∶SB∶SC=1∶2∶3,即B正確;對于C,由四邊形內角和可知,∠BOC+∠BAC=π,則OB·OC=|OB||OC|cos∠BOC=-|OB||OC|cos∠BAC,同理,OB·OA=|OB||OA|cos∠BOA=-|OB||OA|cos∠BCA.因為O為△ABC的垂心,則OB·AC=OB·(OC-OA)=OB·OC-OB·OA=0,所以|OC|cos∠BAC=|OA|cos∠BCA,同理得|OC|cos∠ABC=|OB|cos∠BCA,|OA|cos∠ABC=|OB|cos∠BAC,則|OA|∶|OB|∶|OC|=cos∠BAC∶cos∠ABC∶cos∠BCA,令|OA|=mcos∠BAC,|OB|=mcos∠ABC,|OC|=mcos∠BCA,由SA=12|OB||OC|sin∠BOC則SA=12|OB||OC|sin∠=m22cos∠ABCcos∠BCAsin∠同理,SB=12|OA||OC|sin∠=m22cos∠BACcos∠BCAsin∠SC=12|OA||OB|sin∠=m22cos∠BACcos∠ABCsin∠綜上,SA∶SB∶SC=sin∠BACcos∠BAC∶=tan∠BAC∶tan∠ABC∶tan∠BCA,根據奔馳定理得tan∠BACOA+tan∠ABCOB+tan∠ACBOC=0,即C正確;對于D,由|OA=|OB|=2,∠AOB=5π6可知,SC=12×2×2×sin5π又2OA+3OB+4OC=0,所以SA∶SB∶SC=2∶3∶4,由SC=1可得,SA=12,SB=3所以S△ABC=SA+SB+SC=12+34+1=94,即二、多選題9.已知等邊三角形ABC內接于☉O,D為線段OA的中點,E為BC的中點,則BD=()A.23BA+16BCC.BA+13AE D.2答案AC解析如圖所示,則BD=BA+AD=BA+1=BA+13(AB+BE=BA-13BA+1=23BA+1610.設a是已知的平面向量且a≠0,關于向量a的分解,有如下四個命題(向量b,c和a在同一平面內且兩兩不共線),則真命題是()A.給定向量b,總存在向量c,使a=b+cB.給定向量b和c,總存在實數λ和μ,使a=λb+μcC.給定單位向量b和正數μ,總存在單位向量c和實數λ,使a=λb+μcD.給定正數λ和μ,總存在單位向量b和單位向量c,使a=λb+μc答案AB解析∵向量b,c和a在同一平面內且兩兩不共線,∴b≠0,c≠0,給定向量a和b,只需求得其向量差a-b,即為所求的向量c,故總存在向量c,使a=b+c,故A正確;當向量b,c和a在同一平面內且兩兩不共線時,向量b,c可作基底,由平面向量基本定理可知結論成立,故B正確;取a=(4,4),μ=2,b=(1,0),無論λ取何值,向量λb都平行于x軸,而向量μc的模恒等于2,要使a=λb+μc成立,根據平行四邊形法則,向量μc的縱坐標一定為4,故找不到這樣的單位向量c使等式成立,故C錯誤;因為λ和μ為正數,所以λb和μc代表與原向量同向的且有固定長度的向量,這就使得向量a不一定能用兩個單位向量的組合表示出來,故不一定能使a=λb+μc成立,故D錯誤.故選AB.11.(2025·武漢調研)已知O是△ABC的外心,則下列選項正確的是()A.若AB=2,則AB·AO=2B.若BD=λBA|BA|+BC|BC|且BD=μBA+(1-μ)BC(λ,μC.若2BO=BA+BC,則B為△ABC的垂心D.若∠ABC=π3,OB=mOA+nOC,則m+n的取值范圍為[-2,答案ACD解析對于A,因為AB·AO=|AB|·|AO|·cos∠BAO=|AB|×12|AB|=12|AB|2故A正確;對于B,由BD=μBA+(1-μ)BC,可知A,D,C三點共線,由BD=λBA|BA|+BC|BC|所以BD為△ABC的角平分線,AD與DC不一定相等,故B錯誤;對于C,若2BO=BA+BC,則O是AC的中點,又O是△ABC的外心,所以∠ABC=90°,即B為直角頂點,所以B為△ABC的垂心,故C正確;對于D,因為∠ABC=π3所以∠AOC=2π3,如圖建立平面直角坐標系,設C(r,0),A-12r,32r,B(rcosθ,rsin因為OB=mOA+nOC,所以r得m=233sinθ,n=cosθ+33sinm+n=cosθ+3sinθ=2sinθ+θ∈2π3,2π,θ+π6sinθ+π6則m+n∈[-2,1),故D正確.三、填空題12.(2025·葫蘆島測試)已知點A(-1,1),B(3,2),D(0,5),若BC=3AD,AC與BD交于點M,則點M的坐標為.

答案3解析結合題意,設C(x,y),M(x1,y1),易得BC=(x-3,y-2),AD=(1,4),由BC=3AD,可得(x-3,y-2)=3(1,4),解得x=6,y=14,即C因為BC=3AD,所以△DMA∽△BMC,所以|AM||MC|所以AM=14即(x1+1,y1-1)=14(7,13)=7解得x即點M的坐標為3413.(2025·成都診斷)已知向量AB=(m,2),AC=(1,3),BD=(-4,-2).若B,C,D三點共線,則m=.

答案-1解析因為向量AB=(m,2),AC=(1,3),則BC=AC-AB=(1-m,1),而BD=(-4,-2),又B,C