第第頁(yè)答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《四邊形綜合-解答題》專(zhuān)項(xiàng)檢測(cè)卷(附答案)學(xué)校:___________班級(jí)：___________姓名：___________考號(hào)：___________1．如圖，菱形的邊長(zhǎng)為，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿著線(xiàn)路做勻速運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，沿著線(xiàn)路做勻速運(yùn)動(dòng)．(1)求的長(zhǎng)．(2)已知?jiǎng)狱c(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度為，動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度為，經(jīng)過(guò)12秒后，分別到達(dá)兩點(diǎn)，試判斷的形狀，并說(shuō)明理由．(3)設(shè)問(wèn)題（2）中的動(dòng)點(diǎn)分別從同時(shí)沿原路返回，動(dòng)點(diǎn)的速度不變，動(dòng)點(diǎn)的速度改變?yōu)椋?jīng)過(guò)2秒后，分別到達(dá)兩點(diǎn)，若為直角三角形，試求值．2．如圖，在平行四邊形中，的平分線(xiàn)交于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，以、為鄰邊作平行四邊形．(1)證明平行四邊形是菱形；(2)若，連接、、，求證：是等邊三角形；(3)若，，，是中點(diǎn)，求的長(zhǎng)．3．綜合與探究【初步感知】如圖1，是三邊的中點(diǎn)，則叫作的內(nèi)中點(diǎn)三角形，叫作的外中點(diǎn)三角形．（1）直接寫(xiě)出面積與面積的數(shù)量關(guān)系；（2）在圖2的網(wǎng)格中畫(huà)出的外中點(diǎn)．【類(lèi)比探究】如圖3，是四邊形各邊的中點(diǎn)，則四邊形叫作四邊形的內(nèi)中點(diǎn)四邊形，四邊形叫作四邊形的外中點(diǎn)四邊形．（3）求證：四邊形是平行四邊形；（4）若四邊形的面積為，四邊形面積為，求證：；（5）在圖4的網(wǎng)格中畫(huà)出的一個(gè)外中點(diǎn)四邊形．（要求：都在網(wǎng)格線(xiàn)的交點(diǎn)上）4．定義：對(duì)于一個(gè)四邊形，我們把依次連接它的各邊中點(diǎn)得到的新四邊形叫做原四邊形的“中點(diǎn)四邊形”，如果原四邊形的中點(diǎn)四邊形是個(gè)正方形，我們把這個(gè)原四邊形叫做“中方四邊形”．(1)下列四邊形中一定是“中方四邊形”的是______．A．平行四邊形

B．矩形

C．菱形

D．正方形(2)如圖，已知四邊形是“中方四邊形”，、分別是、的中點(diǎn)．①試探索與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；②若線(xiàn)段的長(zhǎng)度為，則的最小值是______．（不需要解答過(guò)程）5．在四邊形中，，，，，，P，Q同時(shí)沿著四邊形的邊逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，以的速度運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以的速度運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．(1)______；(2)若點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)就停止，點(diǎn)P也隨之停止運(yùn)動(dòng)，用含t的代數(shù)式表示四邊形的面積；(3)若其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)回到其出發(fā)點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，則當(dāng)_____時(shí)，以點(diǎn)P、Q與點(diǎn)A、B、C、D中的任意兩個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形．6．如圖，正方形，點(diǎn)、分別在、上．(1)如圖1，當(dāng)時(shí)．①求證：；②平移圖1中線(xiàn)段，使點(diǎn)與重合，點(diǎn)在延長(zhǎng)線(xiàn)上，連接，取中點(diǎn)，連接，如圖2，求證：；(2)如圖3，若點(diǎn)在上，和相交于點(diǎn)．當(dāng)，邊長(zhǎng)，，求的長(zhǎng)．7．已知，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，四邊形為正方形．(1)若正方形邊長(zhǎng)為6．①如圖1，E，F(xiàn)分別在邊上，于H，且，請(qǐng)直接寫(xiě)出F點(diǎn)的坐標(biāo)．②如圖2，若D為上一點(diǎn)，且，Q為y軸正半軸上一點(diǎn)，且，求點(diǎn)Q坐標(biāo)．(2)若正方形邊長(zhǎng)為4，如圖3，E、F分別在邊上，當(dāng)F為的中點(diǎn)，于H，在直線(xiàn)上E點(diǎn)的兩側(cè)有點(diǎn)D、G，能使線(xiàn)段，，且，求．8．定義：兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做“箏形”．(1)如圖1，在菱形中，E是的中點(diǎn)，連接，將沿翻折到，延長(zhǎng)交于點(diǎn)P，請(qǐng)寫(xiě)出圖中的所有“箏形”；(2)如圖2，將（1）中的“菱形”改為“正方形”其他條件不變，求的值；(3)如圖3，在矩形中，是邊的中點(diǎn)，連接，將沿翻折到，點(diǎn)P是線(xiàn)段上一點(diǎn)，若四邊形是“箏形”，請(qǐng)直接寫(xiě)出的長(zhǎng)．9．平面內(nèi)，在平行四邊形中，，，，點(diǎn)為邊上任意一點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線(xiàn)段，設(shè)．(1)當(dāng)與垂直時(shí)，①尺規(guī)作圖：在圖1中找到點(diǎn)和點(diǎn)（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）；②___________；旋轉(zhuǎn)到所掃過(guò)的面積___________（結(jié)果保留π）；(2)當(dāng)點(diǎn)落在對(duì)角線(xiàn)的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，分別過(guò)點(diǎn)，作直線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足分別為，，如圖2．①求證：；②求的值；(3)連接，在旋轉(zhuǎn)的同時(shí)，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線(xiàn)段，連接，，如圖3．當(dāng)是直角三角形時(shí)，直接寫(xiě)出的值．10．如圖，在矩形中，點(diǎn)為直線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，連接，作等腰直角三角形，使，．

(1)如圖1，若，，，求四邊形的面積；(2)如圖2，若點(diǎn)為線(xiàn)段的中點(diǎn)，且，連接，試探究線(xiàn)段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；(3)如圖3，連接，若，．請(qǐng)思考是否存在最小值，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出的最小值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．11．（1）如圖①，四邊形是矩形，點(diǎn)E是左側(cè)一點(diǎn)，作點(diǎn)E關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)F，作點(diǎn)F關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)G，連接、、，且請(qǐng)你判斷點(diǎn)A、點(diǎn)E、點(diǎn)G是否共線(xiàn)？回答：；（填：“共線(xiàn)”或“不共線(xiàn)”）（2）如圖②，四邊形是矩形，點(diǎn)E是左側(cè)一點(diǎn)，作點(diǎn)E關(guān)于對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)F，作點(diǎn)F關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)G，連接、、、、、，交于點(diǎn)H，且①當(dāng)?shù)亩葦?shù)為多少時(shí)，？請(qǐng)說(shuō)明理由；②當(dāng)?shù)亩葦?shù)為多少時(shí)，是直角三角形？請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）如圖③，矩形是的對(duì)角線(xiàn)，直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，且點(diǎn)E是直線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，作點(diǎn)E關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)F，作點(diǎn)F關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)G，連接、．當(dāng)為等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的度數(shù)．12．如圖1，矩形中，，，點(diǎn)E為上一定點(diǎn)，點(diǎn)F為延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，且，點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，沿邊向點(diǎn)B以的速度運(yùn)動(dòng)，連結(jié)，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為，的面積為，當(dāng)時(shí)，的面積關(guān)于時(shí)間的函數(shù)圖象如圖2所示，連結(jié)，交于點(diǎn)H．(1)t的取值范圍為_(kāi)_______，________；(2)如圖3，將沿線(xiàn)段進(jìn)行翻折，與的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)M，連結(jié)，當(dāng)a為何值時(shí)，四邊形為菱形？并求出此時(shí)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t；(3)如圖4，當(dāng)點(diǎn)P出發(fā)后，邊上另一動(dòng)點(diǎn)Q從E點(diǎn)出發(fā)，沿邊向點(diǎn)D以的速度運(yùn)動(dòng)，如果P，Q兩點(diǎn)中的任意一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)后，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)，連結(jié)，若，請(qǐng)問(wèn)能否構(gòu)成直角三角形？若能，請(qǐng)求出點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．13．綜合與實(shí)踐【問(wèn)題情境】我們定義：如圖（a），在中，把繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接．當(dāng)時(shí)，我們稱(chēng)是的“旋補(bǔ)三角形”，的邊上的中線(xiàn)叫做的“旋補(bǔ)中線(xiàn)”，點(diǎn)叫做“旋補(bǔ)中心”．【特例感知】（1）在圖（b）和圖（c）中，是的“旋補(bǔ)三角形”，是的“旋補(bǔ)中線(xiàn)”．①如圖（b），當(dāng)為等邊三角形時(shí)，與的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_________；②如圖（c），當(dāng)，時(shí)，則長(zhǎng)為_(kāi)_________．【猜想論證】（2）如圖（a），當(dāng)為任意三角形時(shí)，猜想與的數(shù)量關(guān)系，并給予證明．【拓展應(yīng)用】（3）如圖（d），在四邊形中，，，，，．在四邊形內(nèi)部是否存在點(diǎn)，使是的“旋補(bǔ)三角形”？若存在，給予證明，并求出的“旋補(bǔ)中線(xiàn)”長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)明理由．14．我們定義：對(duì)角互補(bǔ)且有一組鄰邊相等的四邊形叫做至善四邊形．如圖1，且，則四邊形是至善四邊形．(1)下列四邊形一定是至善四邊形的有__________．①平行四邊形；②矩形；③菱形：④正方形；(2)如圖2，四邊形為至善四邊形，，，，求的長(zhǎng)及的度數(shù)．(3)如圖3，正方形中，為中點(diǎn)，在右邊作等邊，為中點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，求線(xiàn)段與的數(shù)量關(guān)系．參考答案1．(1)(2)是直角三角形，理由見(jiàn)解析(3)的值為或或．【分析】本題是四邊形綜合題，考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，含30度角的直角三角形，利用分類(lèi)討論和數(shù)形結(jié)合的思想解決問(wèn)題是關(guān)鍵．（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)，證明是等邊三角形，即可求出的長(zhǎng)．（2）由題意可知，動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程為，動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程為，從而得出點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)是中點(diǎn)，再結(jié)合等邊三角形三線(xiàn)合一的性質(zhì)，即可求解；（3）由題意可知，動(dòng)點(diǎn)的速度為，動(dòng)點(diǎn)的速度為，秒后，動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程為，動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程為，則，，分兩種情況討論：①當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，且點(diǎn)在上時(shí)；②當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，且點(diǎn)在上時(shí)，利用含30度角的直角三角形的特征分別求解即可．【詳解】（1）解：四邊形是菱形，，，是等邊三角形，；（2）解：是直角三角形，理由如下：由題意可知，動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度為，動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度為，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為12秒，動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程為，動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程為，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿著線(xiàn)路做勻速運(yùn)動(dòng)，且，動(dòng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)，即點(diǎn)與點(diǎn)重合，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，沿著線(xiàn)路做勻速運(yùn)動(dòng)，且，動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離為，動(dòng)點(diǎn)到達(dá)中點(diǎn)，即點(diǎn)是中點(diǎn)，是等邊三角形，點(diǎn)是中點(diǎn)，，是直角三角形；（3）解：是等邊三角形，，由題意可知，動(dòng)點(diǎn)的速度為，動(dòng)點(diǎn)的速度為，秒后，動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程為，動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程為，從沿原路返回，，，①如圖，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，且點(diǎn)在上時(shí)，則，，為直角三角形，，不能為，，，，即，解得：；②當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，且點(diǎn)在上時(shí)，則，為直角三角形，若，如圖，，，，即，解得：；若，如圖，此時(shí)，，，，，，綜上可知，若為直角三角形，的值為或或．2．(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析(3)【分析】（1）根據(jù)角平分線(xiàn)的知識(shí)，則，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，則，，則，，等量代換，等角對(duì)等邊，則，根據(jù)菱形的判定和性質(zhì)，即可；（2）根據(jù)四邊形是平行四邊形，，求出，，根據(jù)菱形的性質(zhì)，則是等邊三角形，得到，根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)，，則，根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)，得，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)，得到，，，最后根據(jù)等邊三角形的判定和性質(zhì)，即可．（3）連接，，，根據(jù)，矩形的判定，正方形的判定，則四邊形是正方形，根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)，則，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)，則，，，推出是等腰直角三角形，根據(jù)勾股定理，即可．【詳解】（1）解：證明如下：∵平分，∴，∵四邊形平行四邊形，∴，，∴，，∴，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴平行四邊形是菱形．（2）解：證明如下：∵四邊形是平行四邊形，∴，，，∵，∴，，由（1）得，四邊形是菱形，∴，，∴是等邊三角形，∴，，∴，∵，∴，∴，∵為的角平分線(xiàn)，∴，∵，∴，∴，∴，∴∴，∴，，∴，∵，∴，∴是等邊三角形．（3）解：連接，，，∵，∴四邊形是矩形∴，∴，∵四邊形是菱形，∴四邊形是正方形，∵平分，∴，∴，∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴，∴，，在和中，∴，∴，，∴，∴是等腰直角三角形，∵，，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形，菱形，全等三角形，等邊三角形的知識(shí)，解題的關(guān)鍵平行四邊形的判定和性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，即可．3．（1）（2）見(jiàn)解析（3）見(jiàn)解析（4）見(jiàn)解析（5）見(jiàn)解析【分析】（1）證明，即可由相似三角形的性質(zhì)求解；（2）取格點(diǎn)P、M、N，連接，使B、C、A分別是的中點(diǎn)即可；（3）連接，根據(jù)三角形中位線(xiàn)的性質(zhì)得出，，，．則，．即可由平行四邊形的判定定理得出結(jié)論；（4）方法一：連接，證明，得同理，，，則，即．方法二：連接分別交于點(diǎn)；過(guò)A作于點(diǎn)，交于點(diǎn)．證明，四邊形為平行四邊形．則．所以．．則．（5）取格點(diǎn)P、Q、M、N，連接，使B、C、D、A分別是的中點(diǎn)即可．【詳解】解：（1）∵是三邊的中點(diǎn)，∴，∴，∴，∴；（2）如圖所示，即為所求；（3）如圖，連接，分別是的中點(diǎn)，，．同理：，．，．四邊形是平行四邊形．（4）方法一：連接，，．又為中點(diǎn)，．，即．同理，，，，即．方法二：連接分別交于點(diǎn)；過(guò)A作于點(diǎn)，交于點(diǎn)．，．又為中點(diǎn)，．，．又，，四邊形為平行四邊形．．．同理：．．（5）如圖所示，四邊形即為所求．（畫(huà)出一種即可）【點(diǎn)睛】本題考查三角形的中位線(xiàn)的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，中點(diǎn)四邊形，平行四邊形的判定，三角形的面積等知識(shí)，熟練掌握三角形的中位線(xiàn)的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．4．(1)D(2)①，見(jiàn)解析；②【分析】本題考查了三角形的中位線(xiàn)的性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，理解“中方四邊形”的定義并運(yùn)用是本題的關(guān)鍵．（1）由正方形對(duì)角線(xiàn)相等且互相垂直可得答案；（2）①如圖，記、的中點(diǎn)分別為、，可得四邊形是正方形，再根據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)與三角形的中位線(xiàn)的性質(zhì)即可證得結(jié)論．②令與的交點(diǎn)為，連接、，當(dāng)點(diǎn)在上(即、、共線(xiàn))時(shí)，最小，最小值為的長(zhǎng)，得到，，再根據(jù)①可知，從而計(jì)算的最小值，進(jìn)而求解；【詳解】（1）解：∵在平行四邊形、矩形、菱形、正方形中，正方形的對(duì)角線(xiàn)相等且互相垂直，∴一定是“中方四邊形”的是正方形；故選：D；（2）解：①如圖，記、的中點(diǎn)分別為、，連接，，，∵四邊形是“中方四邊形”，，分別是，的中點(diǎn)，∴四邊形是正方形，，，，，分別是，的中點(diǎn)，，；②令與的交點(diǎn)為，連接、；由①可知，；當(dāng)點(diǎn)在上(即、、共線(xiàn))時(shí)，最小，最小值為的長(zhǎng)，的最小值，由題意可知；為正方形；，，，，，分別是，的中點(diǎn)，，，，的最小值，即時(shí)，最小，即最小；線(xiàn)段的長(zhǎng)度為，則；故；故答案為：5．(1)20(2)或(3)當(dāng)或或或時(shí)，以點(diǎn)、與點(diǎn)、、、中的任意兩個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形【分析】（1）過(guò)點(diǎn)D作交于點(diǎn)E，證出四邊形為矩形，得出，，根據(jù)勾股定理即可求出．（2）若點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)就停止，點(diǎn)P也隨之停止運(yùn)動(dòng)，分為當(dāng)點(diǎn)P在上運(yùn)動(dòng)，即時(shí)，運(yùn)用求解，和當(dāng)點(diǎn)P在上運(yùn)動(dòng)，即時(shí)，運(yùn)用即可求解；（3）分為①當(dāng)時(shí)，②當(dāng)時(shí)，③當(dāng)時(shí)，④當(dāng)時(shí)，分別畫(huà)圖求解即可計(jì)算；【詳解】（1）解：過(guò)點(diǎn)D作交于點(diǎn)E，∵，，∴，則四邊形為矩形，∴，∴，∴．故答案為：20．（2）若點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)就停止，點(diǎn)P也隨之停止運(yùn)動(dòng)，如圖1，當(dāng)點(diǎn)P在上運(yùn)動(dòng)，即時(shí)，則，；如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在上運(yùn)動(dòng)，即時(shí)，則，；綜上，或；（3）如圖，①當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，四邊形是平行四邊形；②當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，四邊形為平行四邊形；③當(dāng)時(shí)，四邊形是平行四邊形，，此時(shí)；④當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，四邊形為平行四邊形；綜上所述，當(dāng)或或或時(shí)，以點(diǎn)、與點(diǎn)、、、中的任意兩個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形．【點(diǎn)睛】此題是四邊形綜合題，主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)和判定，勾股定理等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，解本題的關(guān)鍵是分類(lèi)討論的思想解決問(wèn)題，是一道中考常考題．6．(1)①見(jiàn)解析；②見(jiàn)解析；(2)．【分析】（1）①如圖1，可證得四邊形是平行四邊形，進(jìn)而可證，即可證得結(jié)論；②在上截取，如圖2，則是等腰直角三角形，，由，利用全等三角形性質(zhì)和正方形性質(zhì)即可得出結(jié)論；（2）如圖3，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，則四邊形是平行四邊形，作，交延長(zhǎng)線(xiàn)于，利用證明，設(shè)，則，運(yùn)用勾股定理建立方程求解即可．【詳解】（1）證明：①過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，四邊形是正方形，，，，四邊形是平行四邊形，，，，，，，在和中，，，，，；②在上截取，如圖2，則是等腰直角三角形，，由（1）知，，，，，，，，，即；（2）解：如圖3，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，則四邊形是平行四邊形，，，，，，，，作，交延長(zhǎng)線(xiàn)于，在和中，，，，，，，，，在和中，，，，，設(shè)，則，在中，，，解得：，．【點(diǎn)睛】本題考查四邊形的綜合應(yīng)用，掌握正方形性質(zhì)，等腰直角三角形判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，全等三角形判定和性質(zhì)，勾股定理等，添加輔助線(xiàn)構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．7．(1)①；②(2)【分析】（1）①通過(guò)證明，求出，即可求點(diǎn)的坐標(biāo)；②過(guò)點(diǎn)作交軸于點(diǎn)，可證明，連接，可證明，設(shè)，則，，在中由勾股定理求出，即可求；（2）在中，求出，，再由，可得，連接，，證明，分別得到，，則，再證明，可求，，推導(dǎo)出，在中，由勾股定理求出，在中，由勾股定理求出．【詳解】（1）①，，，，，，，，,，；②如圖2，過(guò)點(diǎn)作交軸于點(diǎn)，，，，，，，，，連接，，，又，，，，，，設(shè)，則，，在中，，解得，，；（2）為的中點(diǎn)，，，在中，，，，，，，，連接，，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，在中，，在中，．【點(diǎn)睛】本題考查四邊形的綜合應(yīng)用，熟練掌握正方形的性質(zhì)，三角形全等的判定及性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．8．(1)(2)(3)【分析】（1）由折疊的性質(zhì)得到，即四邊形是“箏形”；再根據(jù)菱形的性質(zhì)結(jié)合折疊的性質(zhì)得到，連接，由E是的中點(diǎn)，得到，推出，求出，得到，即四邊形是“箏形”；（2）同理（1）可證四邊形是“箏形”，設(shè)，則正方形邊長(zhǎng)為，利用勾股定理求出，連接，證明是直角三角形，利用正切的定義可得，求出，勾股定理求出，即可解答；（3）延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，同理（1）可證四邊形是“箏形”，當(dāng)重合時(shí)，四邊形是“箏形”，同理（2）得是直角三角形，，，求出，勾股定理求出，即可得到此時(shí)的長(zhǎng)．【詳解】（1）解：∵四邊形是菱形，∴，即四邊形是“箏形”；由折疊的性質(zhì)得：，即四邊形是“箏形”；由折疊的性質(zhì)得：，∵四邊形是菱形，∴，∴，∵，∴，連接，∵E是的中點(diǎn)，∴，∴，∴，即，∴，即四邊形是“箏形”；綜上，圖中的“箏形”有；（2）解：同理（1）得：四邊形是“箏形”，設(shè)，則，∵四邊形是正方形，∴，∴，連接，∵四邊形是“箏形”，∴，∵，∴，∴，由折疊的性質(zhì)得：，∵，即，∴是直角三角形，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴；（3）解：延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，同理（1）可證四邊形是“箏形”，當(dāng)重合時(shí)，四邊形是“箏形”，同理（2）得是直角三角形，，∴，∵在矩形中，是邊的中點(diǎn)，∴，∴，∴，∴，∴，∴此時(shí)．【點(diǎn)睛】本題考查四邊形綜合題，涉及菱形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理，正確作出輔助線(xiàn)，理解“箏形”的定義是解題的關(guān)鍵．9．(1)①見(jiàn)解析；②(2)①見(jiàn)解析；②(3)6或【分析】（1）①根據(jù)作垂線(xiàn)的尺規(guī)作圖方法作出過(guò)點(diǎn)C且垂直于的垂線(xiàn)，即可得到點(diǎn)P．以點(diǎn)P為圓心，的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，即為所求．②在中，通過(guò)解直角三角形可求出，根據(jù)扇形的面積公式可求出旋轉(zhuǎn)到所掃過(guò)的面積；（2）①利用直角互余求證，進(jìn)而通過(guò)“”即可證明；②利用列式求解即可；（3）分別討論，，三種情況，特別主要旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，利用再結(jié)合圖形性質(zhì)求解．【詳解】（1）解：①所求圖形，如圖所示．②∵四邊形是平行四邊形，∴，∵，∴，∴旋轉(zhuǎn)到所掃過(guò)扇形的面積為；（2）①證明：由旋轉(zhuǎn)可知，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴；②解：由（1）得，，則，由①知，∴，∵，∴，，∵，∴，∴，即，解得：；（3）由旋轉(zhuǎn)得，，，∴可看作繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，∴，，∵中，，∴，①當(dāng)時(shí)，∵，可知點(diǎn)在直線(xiàn)上，如圖：由（2）得，故的值為；②當(dāng)時(shí)，∵，∴點(diǎn)在直線(xiàn)上，∵繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)不在直線(xiàn)上，所以不存在；③當(dāng)時(shí)，如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，∴，四邊形為矩形，∴，，，∵，∴，即，∵，∴，同理，∴，，，∵，∴，∴，，∵，∴，，要使，只需，∵，，∴，即，化簡(jiǎn)得：，解得：，綜上所述，的值為6或．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形與幾何變換綜合，涉及平行四邊形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)，全等的性質(zhì)與判定，相似的判定與性質(zhì)，勾股定理及判定直角三角形，三角函數(shù)，弧長(zhǎng)公式，尺規(guī)作圖——作垂線(xiàn)，作線(xiàn)段等于已知線(xiàn)段等，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．10．(1)(2)，證明見(jiàn)解析(3)【分析】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)、矩形的判定及性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)，會(huì)作出適當(dāng)?shù)妮o助線(xiàn)靈活構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．（1）通過(guò)已知條件，易求，，根據(jù)勾股定理得，，利用梯形面積公式即可求解；（2）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，作于點(diǎn)，易證：，得，，再證明四邊形是矩形，進(jìn)而證明為等腰直角三角形，即可證得；（3）在的延長(zhǎng)線(xiàn)上截取，連接，在上截取，連接，設(shè)，，，先證，得，得出點(diǎn)軌跡為過(guò)中點(diǎn)，與夾角為的直線(xiàn)上，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，當(dāng)取最小值時(shí)，，，三點(diǎn)共線(xiàn)，由勾股定理可得，最小值為．【詳解】（1）解：，，，四邊形為矩形，，，又，．在中，，，，根據(jù)勾股定理得，，，；（2），理由如下：如圖所示，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，作于點(diǎn)．，，，，，，，，，，．點(diǎn)為線(xiàn)段的中點(diǎn)，．，四邊形是矩形，，，，，為等腰直角三角形，；（3）如圖所示，在的延長(zhǎng)線(xiàn)上截取，連接，在上截取，連接，設(shè)，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，點(diǎn)軌跡為如圖過(guò)中點(diǎn)，與夾角為的直線(xiàn)上，如圖所示，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，，當(dāng)取最小值時(shí)，，，三點(diǎn)共線(xiàn)，最小值為，延長(zhǎng)交直線(xiàn)于點(diǎn)，連接，，，，，，，由勾股定理可得，最小值．11．（1）共線(xiàn)（2）①當(dāng)時(shí)，，理由見(jiàn)解析②當(dāng)時(shí)，是直角三角形，理由見(jiàn)解析（3）或【分析】（1）根據(jù)四邊形是矩形，得到；根據(jù)折疊的性質(zhì)，得，結(jié)合，得到，于是得到，，判定共線(xiàn)解答即可．（2）①根據(jù)折疊的性質(zhì)，得，得到，根據(jù)（1）得，點(diǎn)A、點(diǎn)E、點(diǎn)G三點(diǎn)共線(xiàn)，得到繼而得到即，結(jié)合，得到，設(shè)與的交點(diǎn)為M，根據(jù)折疊，得到，繼而得到．②根據(jù)折疊的性質(zhì)，得，，結(jié)合得到，根據(jù)，得，，根據(jù)（1）得到，繼而得到．（3）分點(diǎn)E在射線(xiàn)上，兩種情況，利用三角函數(shù)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，解答即可．【詳解】（1）解：∵四邊形是矩形，∴；根據(jù)折疊的性質(zhì)，得，∵，∴，∴，∴點(diǎn)A、點(diǎn)E、點(diǎn)G三點(diǎn)共線(xiàn)，故答案為：共線(xiàn)．（2）解：①根據(jù)折疊的性質(zhì)，得，∴，根據(jù)（1）得，點(diǎn)A、點(diǎn)E、點(diǎn)G三點(diǎn)共線(xiàn)，∴，∴即，∵，∴，設(shè)與的交點(diǎn)為M，根據(jù)折疊，得到，∴．②根據(jù)折疊的性質(zhì)，得，，∴都是銳角，∴，∵∴，∴，，根據(jù)（1）得到，∴．（3）解：∵四邊形是矩形，∴，，∵∴∴，∴，∴，∵∴，∴，根據(jù)對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，得，∵，∴，∴，∴點(diǎn)B、點(diǎn)E、點(diǎn)G三點(diǎn)共線(xiàn)，∴，當(dāng)點(diǎn)E在射線(xiàn)上時(shí)，∵為等腰三角形，∴為等邊三角形，∴，根據(jù)折疊的性質(zhì)，得，∴，∴，∵，∴，∴，當(dāng)點(diǎn)E在射線(xiàn)上時(shí)，根據(jù)折疊的性質(zhì)，得，∵為等腰三角形，∴，∴，∵，∴為等邊三角形，∴，∴，綜上所述，或．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角函數(shù)的應(yīng)用，三角形外角性質(zhì)，熟練掌握矩形的性質(zhì)，三角函數(shù)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．12．(1)，1(2)(3)或【分析】（1）根據(jù)列出與時(shí)間的關(guān)系可以確定的范圍，根據(jù)時(shí)，面積為1，即可求出．（2）只要證明即可解決問(wèn)題．（3）①若為直角三角形，，得，求出，再由，得列出方程即可解決．②若，如圖4中，作于，類(lèi)似①利用相似三角形性質(zhì)列出方程即可解決問(wèn)題．【詳解】（1）解：，，，由圖象可知，時(shí)，，，，故答案為：，1；（2）解：如圖3中，四邊形是菱形，，，，，，，，，．，；（3）解：①若為直角，，，，．，，，，，，，；②若，如圖4中，作于，同理可證，，，，，，，，，，或舍棄），或時(shí)，能構(gòu)成直角三角形．【點(diǎn)睛】本題考查四邊形綜合題、函數(shù)圖像、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形，利用相似三角形的性質(zhì)，列出方程解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．13．（1）①；②；（2），證明見(jiàn)解析；（3）存在，證明見(jiàn)解析，【分析】（1）①證明是含有角的直角三角形，可得，即可得解；②證明，根據(jù)直角三角形斜邊中線(xiàn)定理即可得解；（2）結(jié)論：．如圖，延長(zhǎng)到，使得，連接，，證明四邊形是平行四邊形，證明，即可得證；（3）存在．如圖，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線(xiàn)于，作于，作線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)交于，交于，連接、、、，作的中線(xiàn)，連接交于，證明，，再證明，即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）①∵是的“旋補(bǔ)三角形”，是的“旋補(bǔ)中線(xiàn)”，∴，，，，∴，∵是等邊三角形，∴，，∴，，∴，∴，故答案為：；②∵是的“旋補(bǔ)三角形”，∴，，，∴，∵，，是的“旋補(bǔ)中線(xiàn)”，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，故答案為：；（2）結(jié)論：．證明：如圖，延長(zhǎng)到，使得，連接，，∴，∵是的“旋補(bǔ)三角形”，是的“旋補(bǔ)中線(xiàn)”，∴，，，，∴四邊形是平行四邊形，，∴，，∴，在和中，，∴，∴，∴；（3）在四邊形內(nèi)部存在點(diǎn)，使是的“旋補(bǔ)三角形”．證明：如圖，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線(xiàn)于，作于，作線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)交于，交于，連接、、、，作的中線(xiàn)，連接交于，∴，∵在四邊形中，，，，，，∴，，設(shè)，則，在中，，∴，