第第頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁中考數學總復習《銳角三角函數》專項檢測卷(附答案)學校:___________班級：___________姓名：___________考號：___________1．我軍艦在點A的北偏東方向上的點C處，發現一艘靠近我內海的不明軍艦，立即通知我軍在點B的執行任務的軍艦進行跟蹤伴行．已知點A在點B的南偏西的方向上，點Ｃ在點B的北偏西，點A，C之間相距海里，求點B，C之間的距離．（結果保留海里）參考數據：，，2．在中，，，將線段繞點逆時針旋轉，得到線段，連接，過點作的垂線，交于點，交直線于點，連接．(1)如圖1，當時，①說明線段與的數量關系，并證明；②探究線段，，之間的數量關系，并證明．(2)如圖2，當，時，求線段的長．(3)在線段旋轉的過程中，當時，的面積為，求線段的長．3．定義：只有一組鄰邊相等且互相垂直的四邊形叫做等直四邊形．理解：（1）如圖1，在等直四邊形中，，，若，求證：；（2）如圖2，在四邊形中，，，，求證：四邊形是等直四邊形；探究：（3）如圖3，在中，圓內接四邊形是等直四邊形，，，點P為上一點，點Q為上一點，且，連接，點M為的中點，連接交于點E，交于點F，若，，，求的長．4．問題背景：已知點A是半徑為r的圓O上的定點，連接，將線段繞點O逆時針方向旋轉得到，連接，過點A作圓O的切線l，在直線l上取點C，使得為銳角．初步感知：（1）如圖1，當時，________；問題探究：（2）以線段為對角線作矩形，使得邊過點E，連接，對角線、相交于點F．①如圖2，當時，求證：不論在給定的范圍內如何變化，總是成立．②如圖3，當，時，請補全圖形，并求出及的值．5．如圖，平面直角坐標系中，四邊形為矩形，點、的坐標為、，動點、分別從、同時出發，都以每秒1個單位的速度運動，其中點沿向終點運動，點沿向終點運動，過點作，交于點，連接，已知動點運動了秒．(1)______；______；（用含的代數式表示）(2)用含的代數式表示點的坐標．(3)是否存在的值，使以、、為頂點的三角形與相似？若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由．6．已知，如圖，點在上，；(1)求的度數，(2)若，，求的長，(3)若，求．7．如圖1，在中，，平分交于點D，點E是線段上一點，連接、．(1)求證：；(2)過點D作于點F，取的中點H，過點H作，交于點G，交于點M，①如圖2，若，求證：；②如圖3，若，，求的長．8．如圖，在中，，，點為中點，點為邊上一動點，點為射線上一動點（點不與點重合），且．(1)當時，連接，求的余切值；(2)當點在線段上時，設，，求關于的函數關系式，并寫出的取值范圍；(3)連接，若為等腰三角形，求的長．9．如圖在四邊形中，，動點M從B點出發沿線段以每秒2個單位長度的速度向終點C運動；動點N同時從C點出發沿線段以每秒1個單位長度的速度向終點D運動．設運動的時間為t秒．

(1)的長為____________；(2)當時，求t的值；(3)試探究：t為何值時，為等腰三角形；(4)直接寫出是銳角三角形時t持續的時長．10．如圖，中，，，為點在射線上，點在射線上，，將線段繞點逆時針旋轉，點落在點處，連接．(1)求證四邊形是平行四邊形；(2)設，四邊形的面積是，關于的函數圖像如圖所示，點是函數圖像上一點①；②過點在上方作線段，使得，且（尺規作圖）；③連接，說明點是定點；④點在點左側的函數圖像上，點在點右側的函數圖像上，且直線與軸構成的銳角的正切值是，求的值．11．如圖，，點射線上，且滿足，

(1)尺規作圖：作的平分線，交射線于點；（保留作圖痕跡，不要求寫出具體做法）(2)連接，判斷四邊形的形狀，并說明理由；(3)已知于點，連接交于點，連接．若，請直接寫出的長．12．如圖，在中，，，．點D是中點．點P從點A出發，沿方向以每秒1個單位長度的速度向終點C運動，點Q從點A出發，以每秒2個單位長度的速度沿折線向終點C運動，連結，取的中點E，連結，P，Q兩點同時出發，設點P運動的時間為t秒．（）(1)求線段的長．(2)當點Q在上運動時，求的值；(3)當DE與的直角邊平行時，求的長．(4)若點P從點C沿CA方向以每秒1個單位長度的速度向終點A運動，其它條件不變，當點Q在上運動，與一邊垂直時，直接寫出t的值．13．科技社團選擇學校游泳池進行一次光的折射實驗，如圖，光線自點處發出，經水面點折射到池底點處．已知與水平線的夾角，點到水面的距離m，點處水深為，到池壁的水平距離，點在同一條豎直線上，所有點都在同一豎直平面內．記入射角為，折射角為，求的值（精確到，參考數據：，，）．14．如圖，已知拋物線經過、兩點，與x軸的另一個交點為，頂點為，連接，點為拋物線上一動點．(1)求拋物線的表達式．(2)若點在直線的下方運動時，過點作交于點E，過點作y軸的平行線交直線于點．求周長的最大值及此時點的坐標．(3)在該拋物線上是否存在點，使得若存在，求出所有點的坐標；若不存在，請說明理由．15．如圖，在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，直線與x軸交于點A，與y軸交于點B，過點B作交x軸于點C．(1)求點C的坐標；(2)點D為線段的中點，點E為線段的延長線上一點，連接，設點E的橫坐標為t，的面積為S，求S與t之間的函數關系式（不要求寫出自變量t的取值范圍）；(3)在（2）的條件下，過點B作，垂足為點F，點G為線段的中點，連接，且．過點E作交x軸于點H，點M在線段上，連接，過點作交x軸于點P，連接，若；求點M的坐標．參考答案1．點B，C之間的距離為海里【分析】本題考查了方位角問題，掌握以上知識是解答本題的關鍵；作于點D，根據題意可得，，然后在中，可得，最后在中，根據三角函數即可求解；【詳解】作于點D，如圖：，由題意知，，，在中，，，∴（海里），在中，，，∴（海里），答：點，之間的距離為海里；2．(1)①，證明見解析；②，證明見解析；(2)(3)【分析】（1）①由題意可知，垂直平分，利用垂直平分線的性質，可得；②作于點，交于點，先證明為等邊三角形，不妨設，，則，可利用勾股定理和解直角三角形，分別表示出，，，，從而得出三者之間關系；（2）先利用勾股定理求得，再證明，從而得到，由（1）可知，，，，，接著在中，利用算得，得到；（3）由（1）可知，時，，同理可證，時，，由（1）可知，設，，則，，，，過點作，先利用勾股定理，表示出，接著利用，以及，算得、，最后得出；當時，同理可證是等邊三角形，先算出，過點作于，同理可算得，通過，可知不符合題意，綜上可得出答案．【詳解】（1）解：①，證明：將線段繞點逆時針旋轉，得到線段，，又，垂直平分，；②，證明：作于點，交于點，如圖所示，則，，由①可知，，，，，，，，，，，，由①可知，為等邊三角形，；不妨設，，則在和中，，，，，，在中，，，，，；（2）解：作于點，如圖所示：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，由（1）可知，，，，，，在中，，，，；（3）解：由（1）可知，時，，同理可證，時，，如下圖所示：由（1）可知，設，，則，，，，過點作，如下圖所示：，，，，，當時，，的面積為，，，聯立，解得，此時、重合，、、三點共線，如下圖所示：；當時，如下圖所示：同理可證是等邊三角形，，，，，，，，過點作于，如圖所示：同理可證，，的面積為，，不符合題意；綜上：線段的長為．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質，等邊三角形的判定與性質，解直角三角形的應用，勾股定理，全等三角形的判定與性質，30度所對的直角邊等于斜邊的一半，線段的垂直平分線，熟練掌握以上知識點數形結合，作出合適的輔助線是解題的關鍵．3．（1）詳見解析（2）詳見解析（2）【分析】（1）利用證明即可得到答案；（2）延長至K，使，先證明，證明，從而得，根據，即可得出結論；（3）通過構造輔助線證明，得，設設，，得，通過得出m，n的關系，連接交于R，連接，通過圓周角定理得出，在中理由勾股定理和三角函數即可得出答案．【詳解】（1）證明：根據題意得，在等直四邊形中，，，又∵，，∴，∴．（2）證明：延長至K，使，連接，∵，，∴，∴，，∵，，∴，∴，∴，∵，∴四邊形是等直四邊形．（3）解：∵點M為中點，∴，∴，∴，∵，∴，∴是圓O的直徑，∴，∴，∴，延長至點N使，連接，則，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，設，，∴，則，∵，∴，∴，∴或（舍），∴，連接交于R，連接，，∵，∴，∴，∴，∵為圓直徑，∴，設，則，，在中，，∵，∴，∴，，∴，∴，∴．【點睛】本題是一道圓的綜合題，考查了全等三角形的判定與性質、全等三角形的構造、圓的有關概念及性質、圓周角定理及其推論、三角函數、一元二次方程、勾股定理、綜合性很強，正確做出輔助線是解題關鍵．4．（1）；（2）見解析；（3）①見解析；②圖見解析，，【分析】本題主要考查了圓的綜合題以及切線的性質，銳角三角函數，全等的判定和性質，相似的判定和性質等，熟練掌握相關知識點是解題關鍵．（1）根據等腰的角度和切線的性質即可求出；（2）因為，且，要證，實際要證，根據我們證線段相等的思路：（1）同一個三角形證等腰（2）不同三角形證全等，可證即可；（3）由得，再作，證得到，通過設邊長，再利用勾股定理，建立勾股方程即可找到線段之間的關系．【詳解】（1）且，是等邊三角形，，直線是圓的切線，為切點，，即，，故答案為：；（2）證明：四邊形是矩形，，，，，，，，，在和中，，，，，．即無論在給定的范圍內如何變化，總成立．（3）①補全圖形如圖，是切線，，，，設，則，，，，，，即點在線段上，．②：由，得，又，，，．5．(1)，(2)(3)存在，或見解析【分析】（1）由點、的坐標為、，動點、分別從、同時出發，都以每秒1個單位的速度運動，得，，得到，，解答即可．（2）延長交于點G，利用矩形的判定和性質，結合三角函數得，根據點的坐標的意義，描述即可．（3）分和兩種情況解答即可．【詳解】（1）解：∵點、的坐標為、，動點、分別從、同時出發，都以每秒1個單位的速度運動，∴，，，∴，故答案為：，．（2）解：延長交于點G，∵矩形，，∴，∴矩形，矩形，∴，∴，∴，∵，∴，∴點．（3）解：存在，理由如下：根據問2證明，得，，∴，當時，得，∴，解得；當時，得，∴，解得；綜上所述，當或時，結論成立．【點睛】本題考查了矩形的判定和性質，勾股定理，三角函數的應用，三角形相似的判定和性質，熟練掌握三角函數，三角形相似是解題的關鍵．6．(1)；(2)；(3)．【分析】（1）由三角形全等的性質得到，，再進一步得到，得出，再由即可求解；（2）先證明，得到，再由，即可求解；（3）根據，設，，得到，再得到，由，得到，即可求解．【詳解】（1）解：∵，，，，，，∵，，，∴，在中，，∴，；（2）解：∵，，∴，∴，在中，，又∵，，∴；（3）解：，設，，，，∵∴，，，∵，∴，．【點睛】本題考查了全等三角形的性質，相似三角形的判定與性質，勾股定理，銳角三角形函數等知識，掌握相關知識是解題的關鍵．7．(1)證明見解析(2)①證明見解析②9【分析】（1）利用等腰三角形三線合一的性質得到，平分，故是的垂直平分線，進而通過垂直平分線的性質即可證得．（2）①根據題目中的提示構造三角形中位線：連接，再通過等角的三角函數值相等得到三角形邊的比例關系，進而化比例式為等積式即可得證．②連接，．先利用等腰三角形的性質及平行線的性質定理等證得，利用在直角三角形中邊的比例關系得到，根據勾股定理構建關于的方程進而求得的值，再根據在直角三角形中邊的比例關系得到，根據勾股定理構建關于的方程，即可求得的值．【詳解】（1）證明：，平分，且是的中點，直線是線段的垂直平分線，．（2）①證明：連接，如圖2．，是的中點，中位線，，．，，，．，，，．②解：連接，如圖3．，，．，．，H是的中點，．，，，，．連結．，H是的中點，．．．．．．，．．【點睛】本題考查了等腰三角形三線合一的性質，垂直平分線的性質，三角函數等，能夠根據題目構造輔助線，綜合利用多個知識點，通過線段之間的比例及勾股定理建立方程求解是本題的關鍵．8．(1)(2)(3)或【分析】（）先根據勾股定理求出的長，再由相似三角形的性質求出的長，利用等腰直角三角形的性質求出的長，最后由銳角三角函數的定義即可求出的余切值；（）過點作于點，由平行線的性質及等腰三角形的性質可求出的表達式，再由相似三角形的判定定理求出，根據相似三角形的性質可寫出關于的函數關系式；（）先分析出為等腰三角形時的兩種情況，再根據題意畫出圖形，當時，證明，得到，再根據等腰三角形三線合一得到，從而得到與重合，進而得出的長；當時，先判斷出點的位置，再根據相似三角形的性質及判定定理解答即可求解．【詳解】（1）解：連接，∵，，∴，，∵點為中點，∴，∵，，∴，，∴，為等腰直角三角形，∴，，∴在中，；（2）解：過點作于點，∵，∴，∴，∵，∴，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴；（3）解：∵，，∴，∴若為等腰三角形，只有或兩種可能．①當時，如圖①，∵，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∵，，∴，∵，∴，∴此時與重合，∴；②當時，點在的延長線上，過點作于點，如圖②，∵，，∴，∵，∴是直角三角形，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴；綜上所述，的長為或．【點睛】本題考查了銳角三角函數，等腰直角三角形的判定與性質，勾股定理，余角性質，等腰三角形的性質，相似三角形的判定與性質，正確作出輔助線是解題的關鍵．9．(1)(2)(3)或或(4)秒【分析】（1）作，可推出四邊形是矩形得分別在直角三角形求出即可求解；（2）作可得四邊形是平行四邊形，推出，；結合可得，推出，即可求解；（3）分類討論時時，三種情況即可求解；（4）求出兩種臨界狀態、下的的值即可求解；【詳解】（1）解：作，如圖所示：

則，∵，∴，∴四邊形是矩形，∴∵，∴，，∵，∴，∴，∴，∴（2）解：作交于點G，如圖所示：

∵，∴四邊形是平行四邊形，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，解得：（3）解：時：

即：，解得：；時：作，

則，∵，∴，∴，即：，解得：；時：作，

則，∵，∴，∴，即：；解得：；綜上所述：當或或時，為等腰三角形（4）解：由（1）可知：，當時，如圖所示：

，解得：；當時，如圖所示：

，解得：；∵點M從點B運動到圖6中點M的位置的過程中；點M從圖6中點M的位置運動到圖7中點M的位置的過程中，是銳角三角形；點M從圖7中點M的位置繼續向點C運動時，，∴是銳角三角形時t持續的時長為：秒【點睛】本題考查了幾何動點問題，涉及了相似三角形的性質與判定，解直角三角形，矩形的性質與判定，平行四邊形的性質與判定，勾股定理，等腰三角形的定義和性質等等，利用分類討論的所學求解是解題的關鍵．10．(1)見解析(2)①；②圖見解析；③見解析；④【分析】（1）根據直角三角形的性質及旋轉的性質可知，再利用平行線的性質可知，最后利用平行四邊形的判定即可解答；（2）①根據平行四邊形的面積公式可知，再根據等腰直角三角形的性質可知進而即可解答；②根據線段垂直平分線的性質及尺規作圖法即可解答；③連接，證明，則，，則，可以看作繞點B逆時針旋轉得到的，即可證明結論成立；④根據直角三角形的判定及平行線的判定可知，再利用函數的性質即可解答．【詳解】（1）解：∵，∴，∵將線段繞點逆時針旋轉，∴，，∵，∴，∵，∴，∴四邊形是平行四邊形；（2）解：由（）可知四邊形是平行四邊形，過點作于點，∴，，∵，，∴四邊形是矩形，∴，，∵，∴，∵，∴是等腰直角三角形，∴，∵四邊形的面積是，∴，∵是函函數圖象上一點，∴，∴，故答案為；②如圖所示，線段即為所求，③連接，∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，，∴，∵∴，又∵∴∴，，∴，∴可以看作繞點B逆時針旋轉得到的，∴點是定點；④過點作軸的垂線，過點作于點，∴，∴是直角三角形，，∴，∴，∵點在點左側的函數圖像上，點在點右側的函數圖像上，∴，，∴，∵直線與軸構成的銳角的正切值是，∴，由①可知，∴，∴，，∴，解得：【點睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質，直角三角形的判定與性質，函數的性質，矩形的判定與性質，銳角三角函數，尺規作圖法，圖形的旋轉、全等三角形的判定和性質、平行線的性質，掌握函數與幾何圖形的關系是解題的關鍵．11．(1)見解析(2)四邊形為菱形，理由見解析(3)【分析】本題主要考查菱形的判定及性質、作角平分線、銳角三角函數：（1）以點為圓心，以適當長度為半徑畫弧，交于點，交于點，分別以點，為圓心，以大于長度為半徑畫弧，兩弧在內部交于一點，畫射線，射線即為的平分線，射線與射線的交點即為點；（2）證得，得到，進而得到，可證得四邊形為平行四邊形，結合，即可求得答案；（3）可求得，，可知．【詳解】（1）以點為圓心，以適當長度為半徑畫弧，交于點，交于點，分別以點，為圓心，以大于長度為半徑畫弧，兩弧在內部交于一點，畫射線，射線即為的平分線，射線與射線的交點即為點．

（2）四邊形為菱形，理由如下：∵平分，∴．∵，∴．∴．∴．又，∴．又，∴四邊形為平行四邊形．又，∴四邊形為菱形．（3）如圖所示．

∵，，∴為等邊三角形．∴．∵四邊形為菱形，∴，．∴．∵∴．12．(1)；(2)；(3)的長為或5；(4)當與一邊垂直時t的值為或．【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質，銳角三角函數，勾股定理，三角形中位線定理等知識，掌握相關知識是解題的關鍵．（1）直接用勾股定理即可求解；（2）先求出，再求出，即可求；（3）分情況討論：當時，①過P作于點F，過E作于點G，②當時，點Q與B重合，求解即可；（4）分兩種情況，當時，，當時，，分別求解即可．【詳解】（1）解：中，，，，；（2）解：∵，∴，∴，，∴，∴；（3）解：分情況討論：①如圖1，當時，過P作于點F，過E作于點G，∵，∴，∴，∴，∵點E為中點，，∴，∴，∵，，∴，∴，即，解得：，∴；②當時，如圖2，點Q與B重合，∴；綜上所述，的長為或5；（4）解：當與一邊垂直時t的值為或，當時，如下圖，則，∵，∴，∴，∵，解得；當時，如圖，則，∵，∴，∴，∵，解得；∵，∴與邊不垂直，綜上所述，當與一邊垂直時t的值為或．13．【分析】本題考查了解直角三角形，勾股定理，三角函數，過點E作于，則，，由題意可得，，，，解求出、，可求出，再由勾股定理可得，進而得到，即可求解，正確作出輔助線是解題的關鍵．【詳解】解：過點E作于，則，，由題意可得，，，，在中，，，∴，，∴，∴在，，∴，∴．14．(1)(2)周長最大為，此時點坐標為(3)存在，點的坐標為或【分析】（1）利用待定系數法求解即可；（2）延長交軸于點，作軸于點，根據拋物線的解析式可得到，，進而求出直線的解析式為，設，則，得到，證明，得到，由，，可推出，即可求解；（3）分兩種情況討論：①當點在上方時，過點作交拋物線于點，則，利用待定系數法求出直線的解析式為，進而可求出直線的解析式為，聯立，即可求解；②當點在下方時，作交軸于點，連接交拋物線于點，可得到是直角三角形，且，，由，，知是等腰直角三角形，得到，進而得到也是等腰直角三角形，推出，求出直線的解析式為，聯立，即可求解．【詳解】（1）解：將、代入拋物線中得：，解得：，拋物線的表達式為：；（2）在中，令，則，解得：或，，又，頂點，設直線的解析式為，將，代入得：，解得：，直線的解析式為，設，軸，，，如圖，延長