2024北京重點校高一（下）期末數學匯編

平面向量的應用（選擇題）

一、單選題

1.（2024北京通州高一下期末）在三角形ABC中，角A氏。所對的邊分別為〃力,。，已知

A=3，a=l,b=6,貝!]5=（）

6

71-兀_,兀_d3兀__兀_p_2兀

At.—B.—C.一或——D.一或——

344433

JT

2.（2024北京101中學高一下期末）在△ABC中，角A3,C所對的邊分別為已知A=§,b=2,

③恒；④2；⑤3.其中能使得△ABC存在且唯一確定的是（

給出下列五個〃的值：①五；②百；

2

A.①④B.②③C.④⑤D.②④⑤

3.（2024北京北師大附中高一下期末）已知在AABC中，B=|,AC=V3,設左e[0,2],記

的最大值為了（左），則f伏）的最小值為（）

A.V3B.2C.2/D.2r

4.（2024北京北師大附中高一下期末）在A/IBC中，flsinC+acosC—b—s/2c=0,則A=（）

7i7i2兀37r

A.-B.—C.—D.—

4334

5.（2024北京北師大附中高一下期末）在ATIBC中，A+C=2Bb?=ac,則A/IBC的形狀是（）

A.直角三角形B.等腰直角三角形

C.等邊三角形D.鈍角三角形

3冗

6.（2024北京順義高一下期末）在A4BC中，已知sin3=A=y,a=6，貝（）

8R66

Ac.gD.更

5555

7.（2024北京懷柔高一下期末）在A45c中，角A,B,C所對的邊分別為〃，瓦。，若a=8,Z?=5,cosA

則角3為（）

71-兀兀5兀712兀

As.—B.—C.一和—D.一和—

636633

h+c

8.（2024北京懷柔高一下期末）已知在A/SC中，cosA+l=—,則判斷△ZBC的形狀（）

C

A.銳角三角形B.鈍角三角形

C.直角三角形D.等腰三角形或直角三角形

9.（2024北京101中學高一下期末）在ATIBC中，若c=4,b-a=l,cosC=--,貝心也4為（）

4

7T

10.（2024北京順義高一下期末）如圖，在扇形OMN中，半徑OM=1,圓心角=B是MN上

的動點（點B不與M、N及MN的中點重合），矩形ABC。內接于扇形。MN，且

OA^OD./BOM=a,設矩形ABCD的面積S與a的關系為S=/（0,則/（a）最大值為（）

A.V2-1B.2-72C.正D.1

42

11.（2024北京順義高一下期末）一個人騎自行車由A地出發向東騎行了xkm到達B地，然后由B地向北

偏西60。方向騎行了3圓m到達C地，此時這個人由A地到C地位移的大小為3km,那么式的值為（）

A.3B.6C.3或6D.36

12.（2024北京延慶高一下期末）在ATIBC中，若a=2,c=J萬，cosC=-1,則6=（）

A.3B.—C.4D.5

3

TT

13.（2024北京海淀高一下期末）在公相。中，已知a=2,A=§.則下列說法正確的是（）

A.當〃=1時，A4BC是銳角三角形B.當匕=拽時，A4BC是直角三角形

3

35

C.當6=］時，△陛C是鈍角二角形D.當b=］時，C是等腰三角形

14.（2024北京房山高一下期末）在AylBC中，ZB=60°,ZC=45°,AC=娓,那么AB等于（）

A.6B.73C.2D.2#>

15.（2024北京大興高一下期末）如圖，在測量河對岸的塔高A8時，測量者選取了與塔底8在同一水平

面內的兩個測量基點C與￡>,并測得NBDC=120,NBCD=15,CD=20,在點C處測得塔頂A的仰角為

60°,則塔高AB=（）

A

A.20A/2B.20^/3

c.30V2D.30G

1=3,b=4,cosB=g,貝!JZA=（

16.（2024北京昌平高一下期末）在A4BC中，

,兀c萬71_p,5兀7T_p.37r

A.—B.—C.一或——D.一或——

646644

hc

17.（2024北京東城高一下期末）在△相。中，、=三，則43=（）

cosBsinC

,71一萬71-兀

A.—B.—C.-D.-

6432

4

18.（2024北京西城高一下期末）在公相。中，tz=2,Z?=3,cosB=—,則sinA=（:

A.1B.23c4

C.

5555

19.（2024北京房山高一下期末）如圖，一輛汽車在一條水平的公路上由正東向正西方向行駛，到A處時

測得公路北側一山頂。在西偏北30。的方向上（即N54C=30。）.行駛300m后到達3處，測得此山頂在

西偏北75。的方向上，仰角為30。，則此山頂。相對公路所在平面的高度DC=（）.

A.lOO^mB.100mC.50"mD.50立m

TT57r

20.（2024北京朝陽高一下期末）在△相。中，a=2,ZA=j,ZB=—,則。=（

A.迪B.亞C./D.76

33

參考答案

1.C

【分析】由得B>A,再由正弦定理計算即可.

【詳解】由題意，A=^,a=l,b=y/2,

6

因為所以

由正弦定理得工b

sinAsinB

即.bsinA血"I6,

smB=--------=--------=——

a12

因為6?0,兀），

所以8或邛.

故選：C.

2.D

【分析】利用三角形的圖形性質來判斷唯一解的充要條件解題即可.

【詳解】

C

A

b/IA

Z___I

A

根據已知4=V，b=2,可知三角形AB邊上的高/z=bsinA=2x走=VL

32

所以要使得△ABC存在且唯一確定的解，則a=g，或a22,

故有②④⑤滿足,

故選：D.

3.B

【分析】根據給定條件，利用正弦定理、輔助角公式，結合正弦函數的性質求出再求出最小值.

【詳解】在△ABC中，令內角A,B,C所對邊分別為。，4c,

a_c_b_y/3_2

由正弦定理得sin）—sin。—sin3一.兀一，則Ja=2sinA,c=2sinC

sin—

3

9jr9jr

而A+C=T,貝!]AB+h8C=2sinC+2左sinA=2sin（w-A）+2左sinA

=(1+2k)sinA+A/3cosA=^/(1+2Z:)2+3sin(A+cp)，由左￡[。,2],得1+24G[1,5],

/02亢27r

銳角。由tan9=-------確定，X0<A<--,貝U0<A+0<—^-+夕,

1+2上33

因此當A+夕后時，AB+hBC取得最大值"(1+2少+3,即小)=4+2少+3,

顯然函數/(Q在［0,2］上單調遞增，所以f(k)min=/(0)=2.

故選：B

_____b

【點睛】結論點睛：asinx+bcosx=J/+/sinQ+oXabw0),其中tane=1

4.D

【分析】根據給定條件，利用正弦定理邊化角，再利用和角的正弦化簡求解即可.

【詳解】在5c中，由QsinC+acosC-b-A/^c=0及正弦定理，

sinAsinC+sinAcosC-sinB-^2sinC=0，

即sinAsinC+sinAcosC-sin(A+C)-0sinC=0,

整理得sinAsinC-cosAsinC-0sinC=O，fffisinC>0,

_TTJTTTjTT

因此sinA—cosA=,即sin(A—:)=1,由。VAVTI,得一■-<A——<—,

4444

則=所以A=學.

424

故選：D

5.C

【分析】根據給定條件，求出B,再利用余弦定理推理判斷即得.

-TT

【詳解】在△ABC中，A+C=2B,則5=

由余弦定理得/=/+<?-2accosB,BPb2=a2+c2—ac而廿二々。,

于是〃2+，一lac=(〃-=0,即4=c,

所以△ABC是等邊三角形.

故選：C

6.C

【分析】由正弦定理求解即可.

b八7QsinB"義56

【詳解】由正弦定理，一可知，b=———=―r^-=-

smAsinBsinA^35

~2

故選：C

7.A

【分析】根據題意，由正弦定理代入計算，結合三角形的大邊對大角，即可求解.

【詳解】因為Q=8,力=5,cosA=：,貝ljsinA=J1—cos?A=',

5x-

由正弦定理可得「；=」；則.「,sinA__5

sinAsmBsinB=------

a82

Se(O,7i),所以8=1或

oo

又bva,所以3<A,即8為銳角，所以3=g.

o

故選：A

8.C

【分析】利用余弦定理可得答案.

【詳解】由余弦定理得cosA+l="+c一一"+1=處￡,

2bcc

所以〃+c2—儲+2Z?C=2Z?(Z?+C),

可得，="+〃，所以VABC是直角三角形.

故選:C.

9.B

【分析】利用余弦定理和已知聯立求解可得。，然后利用平方關系求出sin。，結合正弦定理可得.

15

【詳解】由余弦定理得/+/+—=0一。廠9+―。6=16,即。6=6,

2v72

\b—a=1

聯立u,解得，=2力=3,

[ab7=o

因為cosC=-工，CG(0,TI),所以sinC=Jl—cos?。=Jl—工,

4V164

由正弦定理可得..asinCX4V15.

smA=-----=-----=---

c48

故選：B

10.A

【分析】根據給定條件，利用正弦定理求出A民。并求出函數/(。)，再利用三角恒等變換，正弦函數

性質求出最大值.

3冗7T元

【詳解】依題意，在VA03中，ZAOB=a,ZOAB=—,ZOBA=一一a(0<a<-),

444

ABOAOB_五

由正弦定理得sin。—./兀一.3兀一,即A5=0sina,OA=V^sin(f-0，

sin(—a)sm——4

44

S=f(a)=AB?AD=0sina?2sin(--a)=2A/2sina(^^cosa-皂sina)

=2sinacosa-2sin2a=sinla+cos2a-1=y/2sin(2a+—)-1,

4

而+W＜號，因此當2a+￡=T，即a=g時，/(?)_=^-1,

4444Zo

故選：A

【點睛】思路點睛：幾何圖形中的面積最值問題，解題關鍵是借助正余弦定理及三角形面積公式求出角的

函數，結合三角恒等變換和三角函數性質求出最值.

11.C

【分析】根據給定條件，作出圖形，利用余弦定理列式求解即得.

【詳解】在AABC中，AB=尤,2C=3A/J,AC=3,NA3C=30,

由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB-BCcosZABC,即9=Y+27-2x-3m■—,

2

整理得x?—9x+18=0,解得x=3或尤=6.

故選：C

12.A

【分析】根據題意利用余弦定理求解即可.

【詳解】在VABC中，a=2,c=yfn,cosC=-1,

則由余弦定理得c2=a2+b2-labcosC,17=4+b?—46x,

13

整理得3必+48—39=0,解得〃=3或。=一~—(舍去).

故選：A

13.B

【分析】根據邊長應用正弦定理計算分別判斷各個選項.

2__1.”也」

【詳解】對于A:因為6=1由正弦定理國一而psiw一彳＜],

不

57c

當兀時，VABC是鈍角三角形，

6

當"V，A=7r-A-B)H，VABC是鈍角三角形,A選項錯誤；

_逑

對于B:因為6=或，由之=*,sinB=l,B=：,

3V3sinB2

~T

所以△ABC是直角三角形,B選項正確;

3

,32??o3^1

對于C:因為6=子由無=麻,sinB=、>5

~2

當時，C=兀-A-B<g,VABC是銳角三角形,C選項錯誤；

622

5

52Q,5y/3TT

對于D:因為b=w，由K=—^,sinB=-^-〈可,6<a,3<A<w，

3，3sinB1223

-75__V69

cosB=Vl-sin2B=

144-IF

空△+叵義同=5舟34

sinC=sin（B+A）=sinBcosA+cosBsinA=

12212224

因為BHCAHC,所以VABC不是等腰三角形,D選項錯誤;

故選：B.

14.C

【分析】在AABC中，由正弦定理求解即可.

ACAn

【詳解】在AABC中，由正弦定理得7=丹;,

sinBsinC

所以竺_,解得鉆=2.

sin60sin45

故選：C.

15.C

【分析】先根據正弦定理求得BC,進而在中RCABC,利用AB=BCtan/ACB求解.

【詳解】在中△38,ZBDC=120，ZBCD=15,CD=20,

貝UNC8￡>=180°-120—15°=45°,

BCCD

由正弦定理得

sinZBDC-sinZCBD'

-sin1200=-^=rx^-=1046

BC=———sinZBDC=

所以sinZCBDsin45!也2

在Rt^ABC中，ZACB=60°,

所以AB=BCtanZACB=10^tan600=10#x宕=3072.

故選：C.

16.B

【分析】根據條件，利用余弦定理得到c=l+20，再由cosA=US,得到cosA=克，即可求出結

2bc2

果.

【詳解】因為。=3,6=4,cosB=~,由余弦定理Z?="+c2—2accos3,

得到16=9+02-2X3CX；,即02—2c—7=0,解得c=l+2點，

^22_2