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文檔簡介
2024北京重點校高一(下)期末數學匯編
平面向量的應用(選擇題)
一、單選題
1.(2024北京通州高一下期末)在三角形ABC中,角A氏。所對的邊分別為〃力,。,已知
A=3,a=l,b=6,貝!]5=()
6
71-兀_,兀_d3兀__兀_p_2兀
At.—B.—C.一或——D.一或——
344433
JT
2.(2024北京101中學高一下期末)在△ABC中,角A3,C所對的邊分別為已知A=§,b=2,
③恒;④2;⑤3.其中能使得△ABC存在且唯一確定的是(
給出下列五個〃的值:①五;②百;
2
A.①④B.②③C.④⑤D.②④⑤
3.(2024北京北師大附中高一下期末)已知在AABC中,B=|,AC=V3,設左e[0,2],記
的最大值為了(左),則f伏)的最小值為()
A.V3B.2C.2/D.2r
4.(2024北京北師大附中高一下期末)在A/IBC中,flsinC+acosC—b—s/2c=0,則A=()
7i7i2兀37r
A.-B.—C.—D.—
4334
5.(2024北京北師大附中高一下期末)在ATIBC中,A+C=2Bb?=ac,則A/IBC的形狀是()
A.直角三角形B.等腰直角三角形
C.等邊三角形D.鈍角三角形
3冗
6.(2024北京順義高一下期末)在A4BC中,已知sin3=A=y,a=6,貝()
8R66
Ac.gD.更
5555
7.(2024北京懷柔高一下期末)在A45c中,角A,B,C所對的邊分別為〃,瓦。,若a=8,Z?=5,cosA
則角3為()
71-兀兀5兀712兀
As.—B.—C.一和—D.一和—
636633
h+c
8.(2024北京懷柔高一下期末)已知在A/SC中,cosA+l=—,則判斷△ZBC的形狀()
C
A.銳角三角形B.鈍角三角形
C.直角三角形D.等腰三角形或直角三角形
9.(2024北京101中學高一下期末)在ATIBC中,若c=4,b-a=l,cosC=--,貝心也4為()
4
7T
10.(2024北京順義高一下期末)如圖,在扇形OMN中,半徑OM=1,圓心角=B是MN上
的動點(點B不與M、N及MN的中點重合),矩形ABC。內接于扇形。MN,且
OA^OD./BOM=a,設矩形ABCD的面積S與a的關系為S=/(0,則/(a)最大值為()
A.V2-1B.2-72C.正D.1
42
11.(2024北京順義高一下期末)一個人騎自行車由A地出發向東騎行了xkm到達B地,然后由B地向北
偏西60。方向騎行了3圓m到達C地,此時這個人由A地到C地位移的大小為3km,那么式的值為()
A.3B.6C.3或6D.36
12.(2024北京延慶高一下期末)在ATIBC中,若a=2,c=J萬,cosC=-1,則6=()
A.3B.—C.4D.5
3
TT
13.(2024北京海淀高一下期末)在公相。中,已知a=2,A=§.則下列說法正確的是()
A.當〃=1時,A4BC是銳角三角形B.當匕=拽時,A4BC是直角三角形
3
35
C.當6=]時,△陛C是鈍角二角形D.當b=]時,C是等腰三角形
14.(2024北京房山高一下期末)在AylBC中,ZB=60°,ZC=45°,AC=娓,那么AB等于()
A.6B.73C.2D.2#>
15.(2024北京大興高一下期末)如圖,在測量河對岸的塔高A8時,測量者選取了與塔底8在同一水平
面內的兩個測量基點C與£>,并測得NBDC=120,NBCD=15,CD=20,在點C處測得塔頂A的仰角為
60°,則塔高AB=()
A
A.20A/2B.20^/3
c.30V2D.30G
1=3,b=4,cosB=g,貝!JZA=(
16.(2024北京昌平高一下期末)在A4BC中,
,兀c萬71_p,5兀7T_p.37r
A.—B.—C.一或——D.一或——
646644
hc
17.(2024北京東城高一下期末)在△相。中,、=三,則43=()
cosBsinC
,71一萬71-兀
A.—B.—C.-D.-
6432
4
18.(2024北京西城高一下期末)在公相。中,tz=2,Z?=3,cosB=—,則sinA=(:
A.1B.23c4
C.
5555
19.(2024北京房山高一下期末)如圖,一輛汽車在一條水平的公路上由正東向正西方向行駛,到A處時
測得公路北側一山頂。在西偏北30。的方向上(即N54C=30。).行駛300m后到達3處,測得此山頂在
西偏北75。的方向上,仰角為30。,則此山頂。相對公路所在平面的高度DC=().
A.lOO^mB.100mC.50"mD.50立m
TT57r
20.(2024北京朝陽高一下期末)在△相。中,a=2,ZA=j,ZB=—,則。=(
A.迪B.亞C./D.76
33
參考答案
1.C
【分析】由得B>A,再由正弦定理計算即可.
【詳解】由題意,A=^,a=l,b=y/2,
6
因為所以
由正弦定理得工b
sinAsinB
即.bsinA血"I6,
smB=--------=--------=——
a12
因為6?0,兀),
所以8或邛.
故選:C.
2.D
【分析】利用三角形的圖形性質來判斷唯一解的充要條件解題即可.
【詳解】
C
A
b/IA
Z___I
A
根據已知4=V,b=2,可知三角形AB邊上的高/z=bsinA=2x走=VL
32
所以要使得△ABC存在且唯一確定的解,則a=g,或a22,
故有②④⑤滿足,
故選:D.
3.B
【分析】根據給定條件,利用正弦定理、輔助角公式,結合正弦函數的性質求出再求出最小值.
【詳解】在△ABC中,令內角A,B,C所對邊分別為。,4c,
a_c_b_y/3_2
由正弦定理得sin)—sin。—sin3一.兀一,則Ja=2sinA,c=2sinC
sin—
3
9jr9jr
而A+C=T,貝!]AB+h8C=2sinC+2左sinA=2sin(w-A)+2左sinA
=(1+2k)sinA+A/3cosA=^/(1+2Z:)2+3sin(A+cp),由左£[。,2],得1+24G[1,5],
/02亢27r
銳角。由tan9=-------確定,X0<A<--,貝U0<A+0<—^-+夕,
1+2上33
因此當A+夕后時,AB+hBC取得最大值"(1+2少+3,即小)=4+2少+3,
顯然函數/(Q在[0,2]上單調遞增,所以f(k)min=/(0)=2.
故選:B
_____b
【點睛】結論點睛:asinx+bcosx=J/+/sinQ+oXabw0),其中tane=1
4.D
【分析】根據給定條件,利用正弦定理邊化角,再利用和角的正弦化簡求解即可.
【詳解】在5c中,由QsinC+acosC-b-A/^c=0及正弦定理,
sinAsinC+sinAcosC-sinB-^2sinC=0,
即sinAsinC+sinAcosC-sin(A+C)-0sinC=0,
整理得sinAsinC-cosAsinC-0sinC=O,fffisinC>0,
_TTJTTTjTT
因此sinA—cosA=,即sin(A—:)=1,由。VAVTI,得一■-<A——<—,
4444
則=所以A=學.
424
故選:D
5.C
【分析】根據給定條件,求出B,再利用余弦定理推理判斷即得.
-TT
【詳解】在△ABC中,A+C=2B,則5=
由余弦定理得/=/+<?-2accosB,BPb2=a2+c2—ac而廿二々。,
于是〃2+,一lac=(〃-=0,即4=c,
所以△ABC是等邊三角形.
故選:C
6.C
【分析】由正弦定理求解即可.
b八7QsinB"義56
【詳解】由正弦定理,一可知,b=———=―r^-=-
smAsinBsinA^35
~2
故選:C
7.A
【分析】根據題意,由正弦定理代入計算,結合三角形的大邊對大角,即可求解.
【詳解】因為Q=8,力=5,cosA=:,貝ljsinA=J1—cos?A=',
5x-
由正弦定理可得「;=」;則.「,sinA__5
sinAsmBsinB=------
a82
Se(O,7i),所以8=1或
oo
又bva,所以3<A,即8為銳角,所以3=g.
o
故選:A
8.C
【分析】利用余弦定理可得答案.
【詳解】由余弦定理得cosA+l="+c一一"+1=處£,
2bcc
所以〃+c2—儲+2Z?C=2Z?(Z?+C),
可得,="+〃,所以VABC是直角三角形.
故選:C.
9.B
【分析】利用余弦定理和已知聯立求解可得。,然后利用平方關系求出sin。,結合正弦定理可得.
15
【詳解】由余弦定理得/+/+—=0一。廠9+―。6=16,即。6=6,
2v72
\b—a=1
聯立u,解得,=2力=3,
[ab7=o
因為cosC=-工,CG(0,TI),所以sinC=Jl—cos?。=Jl—工,
4V164
由正弦定理可得..asinCX4V15.
smA=-----=-----=---
c48
故選:B
10.A
【分析】根據給定條件,利用正弦定理求出A民。并求出函數/(。),再利用三角恒等變換,正弦函數
性質求出最大值.
3冗7T元
【詳解】依題意,在VA03中,ZAOB=a,ZOAB=—,ZOBA=一一a(0<a<-),
444
ABOAOB_五
由正弦定理得sin。—./兀一.3兀一,即A5=0sina,OA=V^sin(f-0,
sin(—a)sm——4
44
S=f(a)=AB?AD=0sina?2sin(--a)=2A/2sina(^^cosa-皂sina)
=2sinacosa-2sin2a=sinla+cos2a-1=y/2sin(2a+—)-1,
4
而+W<號,因此當2a+£=T,即a=g時,/(?)_=^-1,
4444Zo
故選:A
【點睛】思路點睛:幾何圖形中的面積最值問題,解題關鍵是借助正余弦定理及三角形面積公式求出角的
函數,結合三角恒等變換和三角函數性質求出最值.
11.C
【分析】根據給定條件,作出圖形,利用余弦定理列式求解即得.
【詳解】在AABC中,AB=尤,2C=3A/J,AC=3,NA3C=30,
由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB-BCcosZABC,即9=Y+27-2x-3m■—,
2
整理得x?—9x+18=0,解得x=3或尤=6.
故選:C
12.A
【分析】根據題意利用余弦定理求解即可.
【詳解】在VABC中,a=2,c=yfn,cosC=-1,
則由余弦定理得c2=a2+b2-labcosC,17=4+b?—46x,
13
整理得3必+48—39=0,解得〃=3或。=一~—(舍去).
故選:A
13.B
【分析】根據邊長應用正弦定理計算分別判斷各個選項.
2__1.”也」
【詳解】對于A:因為6=1由正弦定理國一而psiw一彳<],
不
57c
當兀時,VABC是鈍角三角形,
6
當"V,A=7r-A-B)H,VABC是鈍角三角形,A選項錯誤;
_逑
對于B:因為6=或,由之=*,sinB=l,B=:,
3V3sinB2
~T
所以△ABC是直角三角形,B選項正確;
3
,32??o3^1
對于C:因為6=子由無=麻,sinB=、>5
~2
當時,C=兀-A-B<g,VABC是銳角三角形,C選項錯誤;
622
5
52Q,5y/3TT
對于D:因為b=w,由K=—^,sinB=-^-〈可,6<a,3<A<w,
3,3sinB1223
-75__V69
cosB=Vl-sin2B=
144-IF
空△+叵義同=5舟34
sinC=sin(B+A)=sinBcosA+cosBsinA=
12212224
因為BHCAHC,所以VABC不是等腰三角形,D選項錯誤;
故選:B.
14.C
【分析】在AABC中,由正弦定理求解即可.
ACAn
【詳解】在AABC中,由正弦定理得7=丹;,
sinBsinC
所以竺_,解得鉆=2.
sin60sin45
故選:C.
15.C
【分析】先根據正弦定理求得BC,進而在中RCABC,利用AB=BCtan/ACB求解.
【詳解】在中△38,ZBDC=120,ZBCD=15,CD=20,
貝UNC8£>=180°-120—15°=45°,
BCCD
由正弦定理得
sinZBDC-sinZCBD'
-sin1200=-^=rx^-=1046
BC=———sinZBDC=
所以sinZCBDsin45!也2
在Rt^ABC中,ZACB=60°,
所以AB=BCtanZACB=10^tan600=10#x宕=3072.
故選:C.
16.B
【分析】根據條件,利用余弦定理得到c=l+20,再由cosA=US,得到cosA=克,即可求出結
2bc2
果.
【詳解】因為。=3,6=4,cosB=~,由余弦定理Z?="+c2—2accos3,
得到16=9+02-2X3CX;,即02—2c—7=0,解得c=l+2點,
^22_2
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