2024北京重點校高二（下）期末數學匯編

等比數列

一、單選題

1.（2024北京延慶高二下期末）設｛%｝是公比為q（qw-l）的無窮等比數列，S”為其前幾項和，^>0,

則“q〉0”是“S”存在最小值”的（)

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

2.（2024北京海淀高二下期末）若等比數列｛4｝的前〃項和S〃=2〃-1,則公比4=（）

1

A-—2B.——C.2D.-2

2

3.（2024北京房山高二下期末）已知數列｛4｝滿足=-2〃〃，且4=1,則“3二（）

A-zB.4C.-3D.-8

4.（2024北京石景山高二下期末）已知數列｛〃〃｝是等比數列，其前〃項和為S”，貝廠S〃+2=S1是

應"=0”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

5.（2024北京房山高二下期末）已知數列A：1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,.,其中第一項是2。,接

下來的兩項是2°,2、再接下來的三項是2。,212。，依此類推.S,是數列A的前〃項和，若S,=21reN*）,

則〃的值可以等于（）

A.16B.95C.189D.330

6.（2024北京順義高二下期末）對于數列｛4｝,若存在">0,使得對任意〃eN*,有

|%-聞+|%-%|++h+l-an\<M,則稱｛%｝為“有界變差數列”.給出以下四個結論：

①若等差數列｛%｝為“有界變差數列"，則｛%｝的公差d等于0；

②若各項均為正數的等比數列｛%｝為“有界變差數列”，則其公比q的取值范圍是（0,1）；

③若數列｛%｝是“有界變差數列"，｛%｝滿足％=5,則｛斗％｝是“有界變差數列”；

④若數列｛斗｝是“有界變差數列"，｛券｝滿足笫=2"，則是“有界變差數列”；

其中所有正確結論的個數是（）

A.1B.2C.3D.4

7.（2024北京順義高二下期末）碳14是透過宇宙射線撞擊空氣中的氮14原子所產生.碳14原子經過P

衰變轉變為氮原子.由于其半衰期達5730年，經常用于考古年代鑒定.半衰期（Half-life）是指放射性元素

的原子核有半數發生衰變時所需要的時間.對北京人遺址中某塊化石鑒定時，碳14含量約為原來的1%,則

這塊化石距今約為（）（參考數據：1g2。0.3010）

A.40萬年B.20萬年C.4萬年D.2萬年

8.（2024北京懷柔高二下期末）若｛%｝是公比為4的等比數列，其前九項和為S,，>0,則“0<q<l"

是“S,單調遞增”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

⑵北京懷柔高二下期末）等比數列;'-

9.241,2,T',則數列的第七項為（）

A.32B.-32C.64D.-64

10.（2024北京西城高二下期末）設等比數列｛%｝的前w項和為S“，若%=-1,32品,=3電，貝ij%=

0ID-2

11.（2024北京西城高二下期末）在等比數列｛%｝中，若。1=1,%=4,則出。3=（）

A.4B.6C.2D.±6

12.（2024北京大興高二下期末）已知等比數列｛""｝的前”項和為S“，公比為4,且52<0,貝U（）

A.數列｛邑｝是遞增數列B.數列｛S,J是遞減數列

C.數列｛邑“｝是遞增數列D.數歹!]｛%,｝是遞減數列

13.（2024北京大興高二下期末）若數列1,a/,c,9是等比數列，則實數6的值為（）

A.-3B.3

C.-9D.9

14.（2024?北京昌平?二模）已知數列｛““｝滿足,V〃eN*,一3=-1，%=、，，該數列的前〃

項和為S“，則下列論斷中錯誤的是（）

A.“31=1B.02024=—1

C.三非零常數T,使得。5D.VaWN*，者B有S2n=-2

15.（2024北京西城高二下期末）在數列｛風｝中，%=2,若存在常數C（CHO）,使得對于任意的正整

數m,n等式am+n=a,n+ca”成立，則()

A.符合條件的數列｛4｝有無數個B.存在符合條件的遞減數列｛。,｝

C.存在符合條件的等比數列｛q｝D.存在正整數M當">N時，an>2024

16.（2024北京西城高二下期末）設等比數列｛為｝的前〃項和為九則”｛凡｝是遞增數歹!J”是“｛S〃｝是遞增

數歹！J”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

二、填空題

17.（2024北京石景山高二下期末）已知數歹|｛見+1｝是等比數列，且為=3,%=1，則4=.

18.（2024北京海淀高二下期末）已知數列｛4+1｝是公比為2的等比數列，若4=0,則

%+4++.

19.（2024北京順義高二下期末）已知各項均為正數的等比數列｛%｝,q=；，%=2,則%=；

｛a,,｝前幾項積1的最小值為.

20.（2024北京懷柔高二下期末）分形幾何學是一門以不規則幾何形態為研究對象的幾何學，分形幾何具

有自身相似性，從它的任何一個局部經過放大，都可以得到一個和整體全等的圖形.例如圖（1）是一個

邊長為1的正三角形，將每邊3等分，以中間一段為邊向外作正三角形，并擦去中間一段，得到圖

（2）,如此繼續下去，得到圖（3）,則第三個圖形的邊數；第〃個圖形的周長.

（1）（2）（3）

21.（2024北京延慶高二下期末）己知數列｛%｝是各項均為正數的等比數列，Sn為其前n項和，

4%=16,$3=14,則％=；記T”=a1a2a.（n=1,2,）,若存在%eN*使得Tn最大，

則?0的值為.

三、解答題

22.（2024北京房山高二下期末）若數列｛（｝滿足：對任意〃eN*,都有。⑷一京則稱｛%｝是“P數

列”.

⑴若%=2〃-1,b.=2"T,判斷｛%｝,是否是“尸數列”;

（2）已知伍〃｝是等差數列，4=2,其前〃項和記為S.，若｛見｝是“尸數列”，且S“<3/+2〃恒成立，求公差

d的取值范圍；

（3）已知伍“｝是各項均為正整數的等比數列，4=1,記2=&,C,,=%旦，若｛""｝是"產數列”，電｝不是“P數

3n

列“，｛%｝是“P數列”，求數列｛”“｝的通項公式.

23.（2024北京石景山高二下期末）若數列｛%｝對任意的〃eN*,均滿足凡+2-。用>，則稱WJ為

“速增數列”.

（1）已知數列｛%｝是首項為1公比為3的等比數列，判斷數列｛%｝是否為“速增數列”？說明理由；

（2）若數列｛"｝為“速增數列”，且任意項deZ（〃wN*）,4=1,4=3,4=2024,求正整數上的最大值.

24.（2024北京西城高二下期末）設數列｛4｝的前“項和為S",4=1,且對于任意weN*都有

=%T成立*

（1）寫出。2，%的值，并求數列｛g｝的通項公式；

(2)若等差數列｛2｝的首項4=-54,公差”=詈，求數列也｝的前—項和T.的最小值.

25.(2024北京順義高二下期末)已知各項均為正數的等比數列｛%｝滿足q=8,2?&=4,設2=log".

⑴證明：數列也｝是等差數列；

(2)記數列｛2｝的前〃項和為S”,求的最大值.

26.(2024北京懷柔高二下期末)已知等差數列｛。“｝的前〃項和為5“，且g=1。，邑=18.

(1)求等差數列｛4｝的通項公式；

(2)若各項均為正數的數列也J其前〃項和為7.，再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為

已知，設cn=a“+b”,求數列也｝的通項公式和數列｛%｝的前〃項和M,.

條件①：T?=3"-l；

h

條件②：4=2,^=3；

b?

條件③：且“eZ都有照=履「％|成立，bt=2,b3=S3.

27.(2024北京懷柔高二下期末)已知數集4=｛%,外,,a?｝<an,n>2),若對任意的

i,j(1<Z<J<?),與2兩數中至少有一個屬于A,則稱數集A具有性質P.

%

⑴分別判斷數集左｛1,2,4｝與數集C=｛1,3,5,7｝是否具有性質P,并說明理由；

(2)若數集A具有性質P.

①當”=3時，證明q=1,且％,%,生成等比數列；

②證明：at+a2+一+一+一).

28.(2024北京昌平高二下期末)已知無窮數列｛4｝,給出以下定義：對于任意的〃eN*,都有

an+an+2>2an+l,則稱數列｛%｝為“T數列”；特別地，對于任意的〃eN*,都有。，+*>2%,則稱數列

｛%｝為“嚴格T數列”.

⑴已知數列｛%｝,他,｝的前〃項和分別為4，Bn,且%=2〃-1,￡=-2"T,試判斷數列｛A｝,數列也｝

是否為“T數列”，并說明理由；

(2)證明：數列｛%｝為“T數列”的充要條件是“對于任意的Z,機，“eN*,當％<加<”時，有

(n-mj-k)a”N(〃一^)aJ；

(3)已知數列也｝為“嚴格T數列”，且對任意的weN*,b,eZ,〃=-8,%8=-8.求數列｛%｝的最小項的

最大值.

29.(2024北京昌平高二下期末)已知等比數列｛4｝為遞增數列，其前〃項和為S,,々=9,邑=39.

(1)求數列｛%｝的通項公式；

(2)若數歹U｛a“-2｝是首項為1,公差為3的等差數列，求數列｛〃｝的通項公式及前〃項和加

參考答案

1.A

【分析】假設4>0,借助等比數列的性質可得其充分性，舉出反例可得其必要性不成立，即可得解.

【詳解】若4>。，由4>0,則S“+「S"=%M=ad>。，

故S“必有最小值H=%,故“4>0”是“S”存在最小值，，的充分條件；

故“q>0”不是“S”存在最小直，的必要條件；

即“4>0”是“S”存在最小值”的充分而不必要條件.

故選：A.

2.C

【分析】根據S“，依次求出％,出，依題即可求得公比.

【詳解】由S“=2"-l,〃=1時，%=1,

"=2時，由％+%=1+%=2"—1解得，a2=2,

依題意，q="=2.

ax

故選：C.

3.B

【分析】利用等比數列概念及通項可得結果.

【詳解】由。用=-2%可得也=-2為定值，

an

又4=1,所以｛4｝是以q=1為首項，公比4=-2的等比數歹（],

/.%=%q2=4,

故選：B

4.C

【分析】在已知條件下，s“+2=s"，邑”=0都與4=-1等價，由此即可得解.

OS〃+2-S〃=a,+2+%+i=Q〃+

【詳解】Sn+2=Sni（l+9）=0,

4[1一（一1）2"]

而an+\NO,所以九2=s“=q=TnS2“=0,充分性成立;

1一（一1）

反過來若一1-q一Unq=T,若q=l,則一定有邑.=2wq?0,

qwl

所以，<7=-1,故S“+2=邑+。“+1+。“+2=5”，必要性成立；

也就是說，已知數列｛%｝是等比數列,則“S,+2=S,”是“5筋=。”的充分必要條件.

故選：C.

5.B

【分析】將數列分組，使每組第一項均為1,第一組：2°，第二組：2°,2,,第三組：2。,大22,……，第

左組：2°,21,222一，根據等比例數列前〃項和公式對選項逐一驗證即可.

【詳解】將數列分組，使每組第一項均為1,即：

第一組：2°

第二組：2°,2】

第三組:2°,2',22

第％組：2°,2',22,,2-

根據等比例數列前〃項公式，得每組和分別為：21-1,22-1,,2k-l,

每組含有的項數分別為N=l+2+3++上+也

2

所以SN=21_]+22_]++2「_]=2(：一；)_k=21M_2_k=2z_(k+2)

若S"="(feN*),即2小一(笈+2)=2，?eN*),

將選項A代入，若力=16,貝蛛=5,即k為前5組與第6組的第1個數的和,

此時5|6=26-(5+2)+1=2'，/eN*無解；

同理若"=95,貝株=13,此時595=2”—(13+2)+1+2+4+8=214,即n四eN*,符合題意；

同理若〃=189,貝|%=18,止匕時$89=百9。_218=219_(19+2)_218=218_22=2',/eN*無解；

同理若a=33。，貝!|左=25,此時S330=2“一(25+2)+1+2+4+8+16=2*+4=2',teN*無解；

綜上可知，n—95,

故選：B

【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵在于找出數列的規律，對該數列進行分組，利用等比數列前九項和公式構

造方程，即可求解.

6.C

【分析】對于①，利用反證法即可判斷；對于②，討論4=1和0<q<l,4>1,并結合等比數列求和及性

質即可判斷；對于③④，證明若｛%｝,｛%｝均為有界變差數列，且%2%>。，則土是有界變差數列,

yn\

即可判斷.

【詳解】對于①，假設｛%｝的公差/不等于。，貝應-「4=心

故㈤—01|+|oj—(z2|+L+|a?+1—aj=〃同,

所以不存在Af>0,使得對任意〃wN*,有同一力+砥一閡+L+|a“+i-aj,

所以若等差數列｛q｝為“有界變差數列"，則｛%｝的公差〃等于0,故正確①；

對于②，因為｛4｝的各項均為正數，所以色>0,q>。,

|%+1一%|=|q0一％」=%|4一1|，

當4=1時，|/+1-%|=°，2鼠+1一⑷=。，

k=l

任取M>0即可，所以｛風｝為有界變差數列.

當什1時，^\ak+1-ak\=(ai+a2+L+a?)|g-l|=

k=l1-4

若0<"1,則—4-,

令M=q即可，所以｛%｝為有界變差數列，

若4>i,則

當"-時，％(q"-1)—>+oo,

顯然不存在符合條件的M,故｛凡｝不是有界變差數列.

綜上，q的取值范圍是(0』，故②錯誤；

先證明若｛七｝,｛%｝均為有界變差數列，且%?%>0,則匕>是有界變差數歹！J.

1為,

由有界變差數列的定義可知，

n

Z民+1一”=k2Tli+|X3—%|+L+上+1-%|<必,

k=\

n

+\yn+1-yn\<M2.

k=\

因為I%”|一歸K氏+1-h-占）+（退-吃）+（/+i-%

〈民―xJ+上—引+L+\xn+l-xn\<Mi,

所以k+i|VM+hJm

「無用"-3%+J|x“+J用一%為+1+3+1%一%+13+1I

I

帆+工舊|

無“)-i+i(y“+i<氏+]一％|]

yi(斗+i

n++

Xl-Xn

<n+

.yf

2鼠+1-司（竭+|占泛瓦+|-外(監,

因此f4+1%

<)=1+k=l〈必+

4=1%+1%%%

所以是有界變差數列.

1

對于③，易知。<%VM,設Z"=一,則%％=—,且z.N4>0,

Zn

由前面結論知是有界變差數列，即｛七%｝是“有界變差數列”，故正確③;

對于④，因為％=2〃，所以％2%>0,

所以是有界變差數列，故④正確.

故所有正確結論的個數是3.

故選:C.

【點睛】關鍵點點睛：對于③④，先證明若｛%｝,｛笫｝均為有界變差數列，且%2%>0,則是有界

變差數列.

7.C

【分析】根據題意，發現是一個等比數列，然后利用等比數列求出第〃個半衰期結束時碳14含量為

【詳解】設第〃個半衰期結束時，碳14含量為q

由題意可得，第一個半衰期結束時，碳14含量為第二個半衰期結束時，碳14含量為%=：，

11

以此類推，｛%｝為以首項q=5,公比為4=］的等比數歹U,

所以，第〃個半衰期結束時，碳14含量為%=

lgio2

n=log110一2=———?6.64

=1%,解得

211-0.301

2

所以這塊化石距今約為57305730x6.64=38047.2年，即約為4萬年.

故選：C.

8.A

【分析】結合等比數列性質判斷“。<4<1”和“S“單調遞增”之間的邏輯關系，即可得答案.

【詳解】由題意可知他“｝是公比為q的等比數列，

當外>0,0<4<1時，則,，"一“"),

1-(?

由于0<礦<1,且/隨〃的增大而減小，故s”單調遞增，

當4>0,4=1時，5"="%也單調遞增，推不出。<4<1,

故"0<q<1”是“5“單調遞增”的充分而不必要條件，

故選：A

9.A

【分析】觀察等比數列的前幾項，確定該數列的首項和公比，由此確定第7項.

【詳解】設該等比數列為｛4｝,數列｛%｝的公比為4,

由已矢口，”1=],%=—1,

所以q=-2,

所以數列｛4｝的通項公式為4=；義(-2產，

所以%=gx(-2)6=32.

故選：A.

10.C

【分析】設公比，將等式運用公式化簡求出明再代入通項公式即可求得.

【詳解】設等比數列｛%｝的公比為4,由32sHi=3電可知#1(否則320%=155%不成立)，

1-/7101-/751

貝U有32x-^-=31x—,化簡得，32(1+/)=31,解得，q=-：,

1-q1-q2

于是，&=q/=_(一/=.

故選：C.

11.A

【分析】應用等比數列通項公式性質求解即可.

【詳解】因為｛%｝是等比數列，所以a?%=%%=1x4=4.

故選：A.

12.D

【分析】利用作差法及等比數列通項公式得到S2〃+2-5“<0,即可判斷c、D,利用特殊值判斷A、B.

【詳解】因為等比數列｛4｝的前〃項和為工，公比為4,顯然9。。，

右$2＜。，即％+的＜。，所以$2.+2—S2rt=%,+2+”2〃+1=(4+%)4＜。，

所以｛$2〃｝是遞減數列，故C錯誤、D正確；

若4=1,q=-2,則%=(-2廣，滿足4+%=-1＜。，

但是Sn+l-S?=an=1x(—2片,則也｝不具有單調性，故A、B錯誤.

故選：D.

13.B

【分析】根據等比中項的性質計算可得.

【詳解】因為數列1M,4G9是等比數列，

所以匕2=1乂9,解得6=3或/?=—3,

當b=—3時，不滿足1x6=故舍去；

當6=3時，經檢驗符合題意，所以6=3.

故選:B

14.C

【分析】由已知的=%?8i=l可得A正確；由已知遞推關系化簡

?2024=?261012=?1012=?2506=?506=?2?53=?253=?464-3=-1可得B正確；由已知遞推關系總結數列的規律,

再用反證法得到C錯誤；由已知遞推關系找到前?項和的規律再結合等比數列的前〃項和可得D正確.

【詳解】對于A,因為。4.一1=1，所以％=。4?81=1，故A正確；

對于B,因為。4"一3="，a2n=an＞

所以。2024=創。12=4012=2506="506=02做53=°253="464-3=-1，故B正確；

對于C,由/“一3=-1可得4=%=%=="，

由。4.一1=1可得生=%==一=1，

由ain=4可得4=°2=44=%=%0=,=-1，

而“3=%=%2=。24==晨所以4戶。，

設存在非零常數T,V〃eN*,使得q+7=”.，

則〃T+T—ClT—20T=＞%=0,矛盾，

所以不存在非零常數T,V〃￡N*,使得4+7=。〃，故C錯誤；

對于D,當〃=1時，％=其=%+%=-1+(—1)=-2,

當〃=2時，5*22=S4=ax+a2+a3+a4=—1—1+1—1=—2,

即〃=2時，有相鄰兩項。3+4的和為零,

即有接下來22T=2個項和為零；

當〃=3時，

S吩—*S*g=%+%+/+%+〃5+〃6+%+〃8=—1—1+1—1—1+1+1—1=—2,

即〃=3時，有相鄰兩項。3+“4的和與相鄰四項。5+4+。7+。8為零，

即有接下來2.+2*=6個項和為零;

當〃22時,*+4“.2+%+4“=。4“一2+4"=°，

所以邑”=q+。2+。3++%=-2+0=-2,故D正確.

故選：C.

【點睛】關鍵點點睛：本題D選項關鍵在于能理解邑“=-2的意義，即表示數列中前兩項和-2為外的3到

4項，5到8項，9到16項和分別為零.

15.D

【分析】賦值可得氏+i=4+??”=4,+，％，然后分c=l,cwl討論可得%=2”，然后逐一判斷即可.

【詳解】因為對于任意的正整數"等式冊+,=(+”,成立，4=2,

所以4+1=%+can,a?,+1=am+ca,,

所以0用=%+叫=%+嗎，整理得=(0—1)4=2(c-l),

若crl,則4,=2為常數列，又cwO,此時不滿足%+“=盤+外；

若c=l,則有。用=。，+2,即a“+j-a“=2,

此時數列｛。“｝是以2為首項和公差的等差數列，所以4=2.

對于A,滿足條件的數列只有一個：a“=2n,A錯誤；

對于B,a?=2n,數列單調遞增，B錯誤；

對于C,an=2n,該數列不是等比數列，C錯誤；

對于D,當凡=2〃時，顯然存在正整數N,當“>N時，an>2024,D正確.

故選：D

【點睛】關鍵點點睛：解決本題的關鍵在于通過賦值得%=%+/=見+叫，然后分c=l，cwl即可求

出通項，然后可解.

16.D

【分析】根據等比數列遞增數列分類得出水0,1%>0或卬*國演邪/遞增得出4加最后根據既不充分

也不必要條件判斷即可.

【詳解】｛%｝是等比數列是遞增數列，則4〈0,1吊>。或4>0應>1,

母｝是遞增數列，S?-S?_1=an=a?->。,即得％>0,4>0；

“｛4｝是等比數列是遞增數列”是“｛S“｝是遞增數列”既不充分也不必要條件.

故選：D.

17.0

〃4+14a+1

【分析】根據等比數列的定義得到七=七，然后利用已知項的值即可得到結果.

%+1〃5+1〃4+1%+1。2+14+1

【詳解】由｛4+1｝是等比數列,知

。3+1%+1%+1%+1%+1%+1

所以%=“5+l-l=|^(a3+l)T=1^(a3+l)T=1^|，(l+l)T=°.

故答案為：0.

18.T-n-\

【分析】將4+/++風化為（4+1）+（g+1）++（見+1）-“，然后利用等比數的求和公式求解即可.

【詳解】因為4=。，所以4+1=1,

因為數列包+1）是公比為2的等比數列，

所以4+%+?+an

—(4+1)+(生+1)+++1)—〃

1—2〃

—n

1-2

=2n-n-l.

故答案為：2n-n-1

19.8—/0.015625

64

【分析】根據題意結合等比數列通項公式可得4,4,進而可得。“,由，令4,21,運算求解即可得T“的最小

值.

【詳解】設等比數列｛%｝的公比為4>0,

21

a3=a1q=-

由題意可得：2,解得8,

4c

a5=axq=2[4=2

可得/=：X2"T=2"-4,所以a7=23=8；

O

令%=2"f1,解得〃“，

所以，的最小值為T=T==-x-x-=77,

3484264

故答案為：8；—.

20.483x[g）

【分析】根據己知，結合圖形，尋找規律，再利用等比數列的通項公式求解.

【詳解】由題知，下個圖形的邊長是上一個圖形的g,邊數是上一個圖形4倍,

因為第1個圖形的邊數3,所以第2個圖形的邊數12,第3個圖形的邊數48.

設第〃個圖形的周長為久，則周長之間的關系為a=gx46,i(“N2),

n-1

所以數列｛2｝是首先為3,公比為g的等比數列，所以b“=3x4

4n—1

故答案為：48；3x

21.43或4

a,-a.=16%=2f%=8

【分析】由已知利用等比數列的性質可求的=4,又S3=14,可得g,解得%=8或

4+%=1。“3=2

即可求得。2,分類討論可求“的值，即可求解數列的各項，即可求解.

【詳解】等比數列｛%｝中，公比4>0;由49=16=靖，所以。2=4,又邑=14,

為“二16〃1=8

所以?…解得或

%二Xa3=2

a,=2

若0時，可得4=2,貝Ij%=49=2x2=4,

%=8

且生,出，…，4的值為2,4,8,16,…，可知數列｛%,｝單調遞增，且各項均大于1,

n

所以不會存在o使得6,,■?，％1a的乘積最大(舍去);

4=811

若c時，可得q=7，貝ij%=qq=8x7=4,

〃3—222

且。1，。2,一"的的值為8,4,2,1,不二，...,

24

可知數列｛%｝單調遞減，從第5項起各項小于1且為正數,

前4項均為正數且大于等于1,

所以存在%=3或%=4,使得8x4x2xl的乘積最大,

綜上，可得”。的一個可能值是3或4.

故答案為：4；3或4

22.⑴數列｛%｝是“尸數列”；數列也｝不是“P數列”；

⑵。，6]

(3)%=3"一或%=4i

【分析】(1)直接根據“P數列”的定義進行判斷即可；

(2)由｛七｝是等差數列結合(??)是“P數列”可知公差d>l,結合等差數列求和公式用含d的式子表示

S,,進一步結合5'<3〃2+2〃恒成立即可求解；

(3)由“尸數列”｛4｝的每一項(a“=0i)均為正整數，可得4>1且qeN*,進一步可得。向單調遞

增,故將任意性問題轉換為4-％,打-優與1比較大小關系可得4的范圍，結合qeN*,g=3或q=4,注

意此時我們還要分情況驗證｛g｝是否是“戶數列”，從而即可得解.

【詳解】（1）對于數列｛%｝而言，若％=2〃-1,貝但用-4=2〃+1-（2〃—1）=2>1,

所以數列｛?｝是“尸數列”；

對于數列｛2｝而言，若a=2"L貝他-々=2-1=1,則數列也｝不是“尸數列”；

（2）因為等差數列｛。“｝是“尸數列”，所以其公差d>L

因為4=2,所以s=2〃+&zDd,

2

由題意，得2"+山Rd<3"2+2”對任意的〃eN*恒成立，

2

即（〃-1）“<6"對任意的〃eN*恒成立.

當”=1時，（〃-l）d<6〃恒成立，故d>l；

當“22時，對任意的〃?N*恒成立，即

〃〈包;對任意的〃eN*恒成立，

n-\

-=6+—^—>6,所以

n—\n—1

所以d的取值范圍是（1,6].

（3）設等比數列｛a,｝的公比為q,因為％=1,所以凡=g"T,

因為“尸數列”｛%｝的每一項均為正整數，由>1得%+1>4，

所以4>1且qeN*,

因為-。〃=q〃i（^—1）>0,

所以4+2—%=q〉i,所以4+「為單調遞增，

aa

n+l~n

所以在數列｛%-4｝中，“％-”為最小項，

而"去,從而在數歹U｛%-〃,｝中，%出=119'為最小項.

因為｛4｝是“尸數列”，則只需電-%>1，所以q>2,

因為數列也｝不是“尸數列”，則與-偽言昔W1,所以”4,

因為數列｛見｝的每一項均為正整數，即qeN*,所以4=3或g=4,

（1）當4=3時，a"=3"L貝卜"=至，

n

八「3〃+i3〃°〃2M-1

^D=c-c=-------=3?,

nn+lnn+Yn〃（孔+1）

又。o=3〃+1------------------3〃.2"]=NL.4/+2>0

n+n（力+l）（〃+2）〃（幾+1）n+1〃（〃+2）'

所以｛2｝為遞增數列,

Q3

XDI=C2-C1=--3=->1,

所以對于任意的“eN*,都有2>1,即c用一意

所以數列｛%｝為“尸數列”，符合題意.

（2）同理可知，當4=4時，氏=4"一，則c"=一

4n+14〃,3n-l

c葭=-----------=4“?----------,

〃n+1nn(n+l)'

所以｛〃,｝為遞增數列，

又￡>1=。2—9=8-4=4>1,

所以對于任意的“eN*,都有2>1,即c用一%>1,

所以數列｛g｝為“尸數列”，符合題意.

綜上,%=3"一或%=4。

【點睛】關鍵點點睛：第三問的關鍵是首先將恒成立任意性問題轉換為仿與1比較大小得出4

的值，回過頭去檢驗g是否滿足題意即可順利得解.

23.⑴數列也｝是“速增數列”,理由見解析

（2）63

【分析】（1）根據“速增數列”的定義判斷即可；

⑵根據數列｛2｝為“速增數列”，得d=20242多辿可得的答案

【詳解】（1）數列｛〃“｝是“速增數列”，理由如下：

1+

由冊=3"-,貝IJ??+2-a?+l=3"'-3"=2x3",

%-a”=3"-3"T=2x3"T,

2

因為2x3">2x32=§x3",故an+2-an+l>an+l-an,

所以數列｛叫是“速增數列”；

（2）數列作“｝為“速增數列"，4=1,d=3,4=2024,

任意項6.eZ（〃eN*）,

Z22時，4=2024=（4-々T）+（4T-4_2）+■+（&-4）+々

Nk+k—1++3+2+1,

口門左（左+i）

即2024>-^——L,keZ,

2

當左=63時，+D=2016,當上=64時，"（%+1）=2080,

22

故正整數k的最大值為63.

【點睛】關鍵點點睛：根據“速增數列''的定義，緊緊圍繞不等式。“+2-。用>。用-%進行，當上22時，利

用累加法的思想確定是解題的關鍵.

24.⑴%=2"一

（2）-64

【分析】（1）應用〃W2,a“=計算求解后可表示通項公式；

（2）先求出通項公式再根據通項判斷正負，最后應用等差數列前〃項和求解確定最值即可.

【詳解】（1）當〃=1時，S1=%-1=>。2=2,

當〃22時,an=Sn—Sn_x=an+i-an,

所以又&=2,

a”4

所以巴包=2,所以a“=qx2"T=2i

an

（2）因為4=-S4=-%+1=-24+1=-15,d==29

所以2=4+（〃—l）d=2〃—17,

因為〃<8,2<0,n>9,Z?n>0,

所以Tn的最小值為4=8.15T）=_64.

2

25.（1）證明見解析

（2）6

【分析】（1）由等比數列的基本量法，求出基本量，從而求得｛4｝通項公式，再求得也J通項公式，從而

得證.

（2）從二次函數的角度理解，求得S”的最大值.

【詳解】（1）設等比數列｛%｝的公比為%

???數列｛%｝是等比數列，且4>。，則夕>。，

??a?'。4=〃3=4,??〃3=2,??"3=a1,q=2

4

又0t=8,.,?[=；,an=ax-q"T=2-"

/.&?=log2an=4-77

?'?2+1一包=[4一九+1]—（4一〃）=T

數列也J是等差數列，首項4=3,公差d=-L

(2)由(1)知，bn=4-n

n(4+2)-127■

s?=——n+—n

222

7

二對稱軸w=5,又“eN*,所以〃取3或4

?*.n=3或4時，S"最大，最大值為6.

26.⑴。“=2〃+2

(2)2=2-3"T,M?=M(H+3)+3"-1

【分析】(1)設出首項和公差，建立方程求解基本量，求出通項公式即可.

(2)條件①利用數列前〃項和和通項公式的關系求出a=23一，再利用分組求和法求和即可，條件②利

用等比數列的定義求出么=2-3"T,再利用分組求和法求和即可，條件③設出首項和公比，求出

bn=2-3"T,再利用分組求和法求和即可.

【詳解】(1)已知等差數列｛4｝中，滿足4=1。a=18.

設首項為％,公差為d,

a4=+3d=10刀'二4

得到S=3q+3d=18'解得

3d=2

/.an=2n+2

(2)選條件①

，=3"-1..?.當”=1時，b}=3-1=2,

當〃22時，bf=(3"-l)-(3n-1-l)=2-,

當“=1時，4=2-3°=2,.?.2=2-3"T

%=23

1

bn2-3"-，

?..{2}是以2為首項，3為公比的等比數列，

設％=。”+勿=(2〃+2)+2.37的前〃項和為加"，

M?=4+2-3°+6+2-3+8+2-32+-+(2?+2)+2-3"-1

=(4+6+8++2?!+2)+2(3°+3+32+33++3”-)

=業生到+2XT=〃(“+3)+3I

21-3

選條件②

b

々=2,彳4=3,二也,}是以2為首項，3為公比的等比數歹！J,

.也=2?3"T，設c,=。“+勿=(2”+2)+2?3”T的前〃項和為此，

=4+2-3°+6+2-3+8+2-32++(2/1+2)+2-3"-1

=(4+6+8++2M+2)+2(3°+3+32+33++3"-)

n[4+(2n+2)l1一3〃”

=-t------------^+2x------=n(n+3)+3n-l.

21-3

選條件③

N22且都有^=勿―/用成立，.??｛〃｝是等比數列，且設公比為4,

伍=2

b,=2,仄=S3,,

[b3=S3=bxq~=18

cf=9,q=±3(負根舍去)，

???｛2｝是以2為首項，3為公比的等比數列，

2=2?3"T,設%=凡+bn=(2n+2)+2?的前〃項和為Mn,

=4+2-3°+6+2-3+8+2-32++(2n+2)+2-3"-1

=(4+6+8++2n+2)+2(3°+3+3a+33++3"-1)

n[4+(2n+2)l1-3"

=」-----4+2X——=^+3)+3"-1.

21-3