高考全國一數學試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.在下列各數中，有理數是：（）

A.$\sqrt{3}$

B.$\pi$

C.$\frac{1}{2}$

D.$-\sqrt{2}$

2.若$a^2+b^2=1$，則下列不等式成立的是：（）

A.$a>1$

B.$b>1$

C.$a^2+b^2>1$

D.$a^2+b^2<1$

3.若$|a|=|b|$，則下列結論正確的是：（）

A.$a=b$

B.$a=-b$

C.$a\neqb$

D.以上都不對

4.已知$a>0$，$b<0$，則下列不等式成立的是：（）

A.$a+b>0$

B.$a-b>0$

C.$-a+b>0$

D.$-a-b>0$

5.已知$ab=1$，則下列等式成立的是：（）

A.$a^2+b^2=2$

B.$a^2-b^2=2$

C.$a^2+b^2=1$

D.$a^2-b^2=1$

6.已知$x^2+y^2=1$，則下列結論正確的是：（）

A.$x>1$

B.$y>1$

C.$x^2+y^2>1$

D.$x^2+y^2<1$

7.已知$a>0$，$b>0$，則下列不等式成立的是：（）

A.$a+b>2\sqrt{ab}$

B.$a-b>2\sqrt{ab}$

C.$a+b<2\sqrt{ab}$

D.$a-b<2\sqrt{ab}$

8.若$|a|=|b|$，則下列結論正確的是：（）

A.$a=b$

B.$a=-b$

C.$a\neqb$

D.以上都不對

9.已知$a^2+b^2=1$，則下列等式成立的是：（）

A.$a^2+b^2=2$

B.$a^2-b^2=2$

C.$a^2+b^2=1$

D.$a^2-b^2=1$

10.已知$x^2+y^2=1$，則下列結論正確的是：（）

A.$x>1$

B.$y>1$

C.$x^2+y^2>1$

D.$x^2+y^2<1$

二、多項選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數中，是奇函數的是：（）

A.$f(x)=x^3$

B.$f(x)=\sinx$

C.$f(x)=|x|$

D.$f(x)=\sqrt{x}$

2.若函數$f(x)=ax^2+bx+c$的圖像開口向上，則下列結論正確的是：（）

A.$a>0$

B.$b^2-4ac>0$

C.$b^2-4ac<0$

D.$f(0)>0$

3.已知數列$\{a_n\}$是等差數列，若$a_1=3$，$d=2$，則下列數列也是等差數列的是：（）

A.$\{2a_n\}$

B.$\{a_n+1\}$

C.$\{a_n-1\}$

D.$\{a_n^2\}$

4.下列數列中，是等比數列的是：（）

A.$\{2^n\}$

B.$\{\frac{1}{2^n}\}$

C.$\{n^2\}$

D.$\{\frac{1}{n^2}\}$

5.若$A$是$m\timesn$矩陣，$B$是$n\timesp$矩陣，則下列結論正確的是：（）

A.$AB$是$m\timesp$矩陣

B.$BA$是$n\timesm$矩陣

C.$A^T$是$n\timesm$矩陣

D.$B^T$是$m\timesn$矩陣

三、填空題（每題4分，共20分）

1.已知函數$f(x)=2x-1$，若$f(2)=3$，則函數的圖像是一條______線。

2.在等差數列$\{a_n\}$中，若$a_1=1$，$d=3$，則第10項$a_{10}=\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。

3.等比數列$\{a_n\}$的前三項分別是$2$，$6$，$18$，則公比$q=\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。

4.已知矩陣$A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$，則$A^T=\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。

5.若方程$ax^2+bx+c=0$的判別式$\Delta=b^2-4ac$，則當$\Delta=0$時，方程有兩個______根。

四、計算題（每題10分，共50分）

1.計算下列函數的導數：

設函數$f(x)=3x^4-2x^3+x^2-5x+1$，求$f'(x)$。

2.解下列不等式：

解不等式$2x-3<5x+2$。

3.求下列數列的第$n$項：

已知數列$\{a_n\}$是等差數列，且$a_1=3$，$a_5=19$，求$a_n$。

4.求下列數列的前$n$項和：

已知數列$\{a_n\}$是等比數列，且$a_1=2$，$q=\frac{1}{2}$，求$S_n$。

5.解下列方程組：

解方程組$\begin{cases}2x+3y=8\\x-y=1\end{cases}$。

6.計算下列三角函數的值：

設$\alpha$是第二象限的角，$\sin\alpha=\frac{3}{5}$，求$\cos\alpha$和$\tan\alpha$。

7.求下列函數的極值：

設函數$f(x)=x^3-6x^2+9x$，求$f(x)$的極大值和極小值。

8.計算行列式：

計算行列式$\begin{vmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{vmatrix}$。

9.求曲線的切線方程：

設曲線$y=x^2-4x+3$，求在點$(2,-1)$處的切線方程。

10.求函數的定義域：

設函數$f(x)=\frac{\sqrt{x-1}}{x^2+1}$，求$f(x)$的定義域。

本專業課理論基礎試卷答案及知識點總結如下：

一、選擇題（每題1分，共10分）

1.C

2.C

3.D

4.D

5.C

6.D

7.A

8.D

9.A

10.B

二、多項選擇題（每題4分，共20分）

1.A,B,D

2.A,C,D

3.A,B,C

4.A,B

5.A,B

三、填空題（每題4分，共20分）

1.直線

2.31

3.2

4.$\begin{pmatrix}1&3\\2&4\end{pmatrix}$

5.相等

四、計算題（每題10分，共50分）

1.解：$f'(x)=12x^3-6x^2+2x-5$。

2.解：$2x-3<5x+2$，移項得$-3x<5$，即$x>-\frac{5}{3}$。

3.解：$a_n=a_1+(n-1)d=3+(n-1)\times3=3n$。

4.解：$S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}=\frac{2(1-(\frac{1}{2})^n)}{1-\frac{1}{2}}=4(1-(\frac{1}{2})^n)$。

5.解：$\begin{cases}2x+3y=8\\x-y=1\end{cases}$，解得$x=3,y=2$。

6.解：$\cos\alpha=-\sqrt{1-\sin^2\alpha}=-\sqrt{1-(\frac{3}{5})^2}=-\frac{4}{5}$，$\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{\frac{3}{5}}{-\frac{4}{5}}=-\frac{3}{4}$。

7.解：$f'(x)=3x^2-12x+9$，令$f'(x)=0$，得$x=1$，$f(1)=4$，極大值為4；$f''(x)=6x-12$，令$f''(x)=0$，得$x=2$，$f(2)=-1$，極小值為-1。

8.解：$\begin{vmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{vmatrix}=1\times(5\times9-6\times8)-2\times(4\times9-6\times7)+3\times(4\times8-5\times7)=1$。

9.解：$y'=2x-4$，在點$(2,-1)$處，$y'=0$，切線方程為$y-(-1)=0\cdot(x-2)$，即$y=-1$。

10.解：$x-1\geq0$，$x^2+1>0$，解得$x\geq1$，所以定義域為$[1,+\infty)$。

知識點總結：

1.函數及其導數：考察學生對函數及其導數的基本概念、導數的計算方法以及應用。

2.不等式：考察學生對不等式的解法、不等式組的解法以及不等式的應用。

3.數列：考察學生對數列的基本概念、等差數列和等比數列的性質以及數列的應用。

4.矩陣：考察學生對矩陣的基本概念、矩陣的運算以及矩陣的應用。

5.三角函數：考察學生對三角函數的基本概念、三角函數的圖像和性質以及三角函數的應用。

6.極值：考察學生對極值的基本概念、極值的求解方法以及極值的應用。

7.行列式：考察學生對行列式的計算方法以及行列式的應用。

8.曲線的切線：考察學生對切線的定義、切線的計算方法以及切線的應用。

9.函數的定義