24.3正多邊形和圓情境引入實(shí)際生活中，經(jīng)常遇到畫正多邊形的問題，比如畫一個(gè)六角螺帽的平面圖，畫一個(gè)五角星等，這些問題都與等分圓周有關(guān).要制造如下圖中的零件，也需要等分圓周.引入新知已知⊙O的半徑為2cm，畫圓的內(nèi)接正三角形．O問題2：正三角形、正方形、正五邊形、正六邊形…正n邊形都是軸對稱圖形嗎？都是中心對稱圖形嗎？總結(jié)：正n邊形都是軸對稱圖形，都有n條對稱軸，只有邊數(shù)為偶數(shù)的正多邊形才是中心對稱圖形.第二步交流預(yù)習(xí)環(huán)節(jié)2:師友釋疑溫馨提示：學(xué)友先回答，師傅再補(bǔ)充，對師友存在的共性問題進(jìn)行重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)問題1：怎樣把一個(gè)圓進(jìn)行四等分？依次連接各等分點(diǎn)，得到一個(gè)什么圖形？ABCD·第二步互助探究環(huán)節(jié)1:師友探究問題2：把⊙O進(jìn)行五等分,依次連接各等分點(diǎn)得到五邊形ABCDE

.這個(gè)五邊形是正五邊形嗎？說說你的理由。如果六、七…等分？如果將圓ｎ等分呢？·AEDCBO溫馨提示：學(xué)友主講,師傅補(bǔ)充和糾正,其他師友進(jìn)行答疑或點(diǎn)評問題3：什么是正多邊形的中心？什么是正多邊形的半徑、中心角、邊心距？請舉例說明。問題4：n邊形的內(nèi)角和的計(jì)算公式？正n邊形的一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是多少度？中心角是多少度？中心角與外角有什么關(guān)系？結(jié)論：將一個(gè)圓分成ｎ等份，依次連接各分點(diǎn)得到一個(gè)正ｎ邊形．OCDABM半徑R圓心角弦心距r弦a圓心類比學(xué)習(xí)圓內(nèi)接正多邊形外接圓的圓心正多邊形的中心外接圓的半徑正多邊形的半徑每一條邊所對的圓心角正多邊形的中心角每一條邊所對應(yīng)的弦心距正多邊形的邊心距第二步互助探究溫馨提示：類比圓的有關(guān)概念學(xué)習(xí)正多邊形的相關(guān)概念,師傅指導(dǎo)和糾正。環(huán)節(jié)2:教師講解

操作并觀察:當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),

n=3時(shí),有三條對稱軸

n=5時(shí),有五條對稱軸

n=7時(shí),有七條對稱軸

一個(gè)正n邊形,當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),它有n條對稱軸,各邊的垂直平分線都是它們的對稱軸.操作并觀察:當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),

n=4時(shí),有四條對稱軸

n=6時(shí),有六條對稱軸

n=8時(shí),有八條對稱軸

一個(gè)正n邊形,當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),它有n條對稱軸,過相對兩內(nèi)角的頂點(diǎn)的直線,或一邊的垂直平分線都是它們的對稱軸.正n邊形是中心對稱圖形嗎?問題2:

一個(gè)正n邊形,當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),正n邊形不是中心對稱圖形;

一個(gè)正n邊形,當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),正n邊形是中心對稱圖形.對稱中心是它的兩條對稱軸的交點(diǎn).例2

如圖29-5-4，△ABC為⊙O的內(nèi)接正三角形．如果的⊙O半徑為r，求這個(gè)正三角形的邊長和邊心距．解：如圖29-5-5，連接OB，過點(diǎn)O作OD⊥BC，垂足為D.在Rt△OBD中，∵∠OBD=30°，OB=r，∴OD=，BD=，BC=2BD=.即這個(gè)正三角形的邊長為

,邊心距為.正多邊形邊數(shù)邊長半徑邊心距中心角346知識點(diǎn)正多邊形的有關(guān)計(jì)算

【例題】如圖24-3-1，已知正六邊形ABCDEF的半徑R＝4cm，求這個(gè)正六邊形的中心角α，邊長a，周長P及面積S.

圖24-3-1中心EDCBAO半徑中心角邊心距正多邊形中的有關(guān)概念：F既是外接圓的圓心，也是內(nèi)切圓的圓心.正n邊形的一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是____________;中心角是___________;正多邊形的中心角與外角的大小關(guān)系是________.中心角與內(nèi)角互補(bǔ).相等想一想：EDCBAOF

有一個(gè)亭子,它的地基半徑為4m的正六邊形,求地基的周長和面積(精確到0.1m2).因此，亭子地基的周長l=4×6=24(m).解:如圖由于ABCDEF是正六邊形,所以它的中心角等于，△OBC是等邊三角形，從而正六邊形的邊長等于它的半徑.例變式

例1中的亭子地基如果是正八邊形,其他條件不變.(1)用適當(dāng)?shù)墓ぞ咴谌鐖D24-3-4所示的圓中畫出正八邊形;解:(1)如圖所示,正八邊形ABCDEFGH即為所求.圖24-3-4(2)求出地基的中心角和面積.(結(jié)果保留根號)

學(xué)

方法

新知講解

用尺規(guī)等分圓：用尺規(guī)作圖的方法等分圓周，然后依次連接圓上各分點(diǎn)得到正多邊形，這種方法有局限性，不是任意正多邊形都能用此法作圖，這種方法從理論上講是一種準(zhǔn)確方法．課堂練習(xí)1.下列圓的內(nèi)接正多邊形中，一條邊所對的圓心角最大的圖形是()A.正三角形 B.正方形C.正五邊形 D.正六邊形A

C課堂練習(xí)3．正三角形的邊心距、半徑和高的比為()A．1∶2∶B．1::3C．