1菱形的性質與判定第1課時菱形的定義及其性質過教材要點概覽1.菱形的定義有一組鄰邊

的平行四邊形叫做菱形.如圖所示,已知四邊形ABCD是平行四邊形,且

(或BC=CD等),則平行四邊形ABCD是

.

第一章特殊平行四邊形相等AB=BC菱形2.菱形的性質菱形是

圖形,有兩條對稱軸,它的對角線所在的直線就是對稱軸.如圖所示,菱形ABCD的對稱軸是直線

和直線

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軸對稱ACBD3.菱形邊的性質對邊平行,四條邊

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如圖所示,在菱形ABCD中,AD∥BC,AB∥DC,

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都相等AB=BC=CD=AD4.菱形角的性質對角相等,鄰角互補.在菱形ABCD中,∠A=∠C,∠B=∠D,∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°等.5.菱形對角線的性質對角線互相平分且互相

.如圖所示,在菱形ABCD中,OA=OC且OB=OD,

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垂直AC⊥BD精講練新知探究探究點一菱形的定義及對稱性例1如圖所示,在四邊形ABCD中,對角線AC,BD交于點O,OA=OC,OB=OD.當AB

BC時,四邊形ABCD是菱形.

=鞏固訓練1.下列圖形中既是軸對稱圖形,又是中心對稱圖形的是()A.等腰三角形 B.平行四邊形C.等腰梯形

D.菱形D探究點二菱形的邊、角的性質例2如圖所示,在菱形ABCD中,AE⊥BC于點E,AF⊥CD于點F,連接EF.(1)求證:AE=AF;(1)證明:∵四邊形ABCD是菱形,∴AB=AD,∠B=∠D.又∵AE⊥BC于點E,AF⊥CD于點F,∴∠AEB=∠AFD=90°.在△ABE與△ADF中,∵∠B=∠D,∠AEB=∠AFD,AB=AD,∴△ABE≌△ADF(AAS).∴AE=AF.(2)若∠B=60°,求∠AEF的度數.(2)解:∵四邊形ABCD是菱形,∴∠B+∠BAD=180°.而∠B=60°,∴∠BAD=120°.又∵∠AEB=90°,∠B=60°,∴∠BAE=30°.由(1)知△ABE≌△ADF,∴∠BAE=∠DAF=30°.∴∠EAF=120°-30°-30°=60°.∴△AEF是等邊三角形.∴∠AEF=60°.方法點撥證明菱形中的線段相等,首先要考慮線段所在的三角形全等,利用菱形邊的關系和角的關系證明,全等三角形的判定是結合全等三角形的性質證明線段和角相等的重要工具.在判定三角形全等時,關鍵是選擇恰當的判定條件.鞏固訓練2.如圖所示,菱形OABC的邊OA在平面直角坐標系中的x軸上,∠AOC=60°,OA=4,則點C的坐標為()A3.如圖所示,在菱形ABCD中,∠D=110°,則∠BAC的度數為

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35°4.如圖所示,在菱形ABCD中,E,F是對角線AC上的兩點,連接DE,DF,∠ADF=∠CDE.求證:AE=CF.證明:∵四邊形ABCD是菱形,∴DA=DC.∴∠DAC=∠DCA.∵∠ADF=∠CDE,∴∠ADF-∠EDF=∠CDE-∠EDF.∴∠ADE=∠CDF.在△DAE和△DCF中,∵∠DAE=∠DCF,DA=DC,∠ADE=∠CDF,∴△DAE≌△DCF.∴AE=CF.探究點三菱形對角線的性質例3如圖所示,在菱形ABCD中,∠ACD=30°,BD=8,求AC的長.鞏固訓練5.如圖所示,四邊形ABCD是菱形,對角線AC,BD相交于點O,AC=2cm,BD=4cm,則這個菱形的周長是

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6.如圖所示,四邊形ABCD是菱形,對角線AC,BD相交于點O,且AB=2.(1)求菱形ABCD的周長;解:(1)∵四邊形ABCD是菱形,AB=2,∴AD=BC=CD=AB=2,∴菱形的周長為4AB=4×2=8.(2)若AC=2,求BD的長.基礎鞏固練011.菱形不具備的性質是()A.四條邊都相等 B.對角線一定相等C.對角線平分內角 D.是中心對稱圖形2.若菱形的周長為8,高為1,則菱形兩鄰角的度數比為()A.3∶1 B.4∶1 C.5∶1 D.6∶1BC1菱形的性質與判定第1課時菱形的定義及其性質第一章特殊平行四邊形3.如圖所示,菱形ABCD的對角線交點與坐標原點O重合,點A的坐標為(-2,5),則點C的坐標是()A.(5,-2) B.(2,-5)C.(2,5) D.(-2,-5)B4.如圖所示,在菱形ABCD中,對角線AC,BD相交于點O,點E為CD的中點.若OE=3,則菱形ABCD的周長為()A.6 B.12 C.24 D.485.如圖所示,在?ABCD中,因為BC=CD,所以?ABCD是菱形.這里判定的依據是

.C有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形6.如圖所示,在菱形ABCD中,AC,BD相交于點O,E為AB的中點,DE⊥AB.(1)求∠DAB的度數;解:(1)∵四邊形ABCD是菱形,∴AD=AB,AO=CO,AC⊥BD,BO=DO.∵E為AB的中點,DE⊥AB,∴AD=BD.∴AD=AB=DB.∴△ABD是等邊三角形.∴∠DAB=60°.能力提升練027.如圖所示,菱形ABCD的對角線AC,BD相交于點O,過點D作DH⊥AB于點H,若OA=4,OB=3,則DH的長為()B8.如圖所示,在菱形ABCD中,∠BCD=50°,BC的垂直平分線交對角線AC于點F,垂足為E,連接BF,DF,則∠DFC的度數是

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130°10.如圖所示,在菱形ABCD中,對角線AC,BD相交于點O,過點D作對角線BD的垂線交BA的延長線于點E.(1)求證:四邊形ACDE是平行四邊形;(1)證明:∵四邊形ABCD是菱形,∴AB∥CD,AC⊥BD,∴AE∥CD,∠AOB=90°.∵DE⊥BD,即∠EDB=90°,∴∠AOB=∠EDB,∴DE∥AC,∴四邊形ACDE是平行四邊形.(2)若DE=8,AE=5,求菱形ABCD的面積.素養培優練0311.如圖所示,已知菱形ABCD的對角線交于點O,∠BAD=45°,DE⊥BC于點E,交AC于點F,G是BC的中點,連接FG,CM⊥CD交FG的延長線于點M.求證:CM+2BE=AB.證明:連接BF,如圖所示.∵四邊形ABCD是菱形,∴AC⊥BD.∴∠DOC=90°.∵DE⊥BC,∴∠DEC=∠DEB=90°,∴∠DOC=∠DEC.又∵∠OFD=∠EFC,∴∠BDE=∠FCE.∵∠DEC=90°,∠BCD=∠BAD=45°,∴DE=CE.∴△BDE≌△FCE(ASA).∴BE=EF.∴△BEF是等腰直角三角形.∴∠FBE=45°.又∵CM⊥DC,∴∠DCM=90°.∴∠ECM=90°-∠DCE=45°.∴∠FB