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文檔簡介
1LinearProgrammingNewWordsCarpenterRevenueLumberGeometricallyTableauQuadrantConvexPolygonGeorgeBernardDantzig(November8,1914–May13,2005)wasanAmericanmathematicalscientistwhomadeimportantcontributionstooperationsresearch,computerscience,economics,andstatistics.Dantzigisknownforhisdevelopmentofthesimplexalgorithm,analgorithmforsolvinglinearprogrammingproblems,andhisworkwithlinearprogramming.Instatistics,Dantzigsolvedtwoopenproblemsinstatisticaltheory,whichhehadmistakenforhomeworkafterarrivinglatetoalecture.4美國數學家,美國科學院院士。線性規劃的奠基人。1914年11月8日生于美國俄勒岡州波特蘭市。1946年在伯克利加利福尼亞大學數學系獲哲學博士學位。1947年丹齊克在總結前人工作的基礎上創立了線性規劃,并提出了解決線性規劃問題的單純形法。1937~1939年任美國勞工統計局統計員,1941~1952年任美國空軍司令部數學顧問、戰斗分析部和統計管理部主任。1952~1960年任美國蘭德公司數學研究員,1960~1966年任伯克利加利福尼亞大學教授和運籌學中心主任。1966年后任斯坦福大學運籌學和計算機科學教授。1971年當選為美國科學院院士。1975年獲美國科學獎章和諾伊曼理論獎金。GeorgeBernardDantzig(1914~2005)
5康托羅維奇,Л.В.
蘇聯經濟學家,蘇聯科學院院士,最優計劃理論的創始人。1912年生,1930年畢業于列寧格勒大學物理數學系,1935年獲數學博士學位。1964年被選為蘇聯科學院院士。因提出資源最大限度分配理論,1975年與美籍荷蘭學者T.C.庫普曼斯一起獲得諾貝爾經濟學獎金。
康托羅維奇的主要貢獻是把線性規劃用于經濟管理,創立了最優計劃理論。對有效利用資源和提高企業經濟效益起了重大作用。他還提出經濟效果的概念和衡量經濟效果的統一指標體系,作為經濟決策的定量依據,來選擇最合理的社會生產結構。主要著作有《生產組織與計劃的數學方法》(1939)、《資源最優利用的經濟計算》(1959)、《最優計劃的動態模型》(1964)等。
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佳林·庫普曼斯(1910年—1985年),美國人
,1910年8月28日生于荷蘭,1940年離開荷蘭移居美國。1975年,他和康托羅維奇同時獲得諾貝爾經濟學獎。線性規劃經濟分析法的創立者。
7馮?諾依曼(匈牙利語:NeumannJános;英語:JohnvonNeumann,1903年12月28日-1957年2月8日)是出生于匈牙利的美國籍猶太人數學家,現代電子計算機創始人之一。他在計算機科學、經濟、物理學中的量子力學及幾乎所有數學領域都作過重大貢獻。
馮?諾伊曼從小就顯示出數學天才,關于他的童年有不少傳說。大多數的傳說都講到馮?諾伊曼自童年起在吸收知識和解題方面就具有驚人的速度。六歲時他能心算做八位數乘除法,八歲時掌握微積分,十二歲就讀懂領會了波萊爾的大作《函數論》要義。
馮?諾伊曼記憶力驚人,讀書過目成涌,自幼愛好歷史學,他的歷史知識堪稱淵博,宛如百科全書。
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他的父親由于考慮到經濟上原因,請人勸阻年方17的馮?諾依曼不要專攻數學,后來父子倆達成協議,馮?諾依曼便去攻讀化學。其后的四年間,馮?諾依曼在布達佩斯大學注冊為數學方面的學生,但并不聽課,只是每年按時參加考試。1926年他在蘇黎世的獲得化學方面的大學畢業學位,他也獲得了布達佩斯大學數學博士學位。
當他結束學生時代的時候,他已經漫步在數學、物理、化學三個領域的某些前沿。
1926年春,馮?諾依曼到哥廷根大學任希爾伯特的助手。
中學時,他的老師認為按傳統的辦法教馮?諾依曼中學數學課程將是毫無意義的,他接受了大學教師的單獨的數學訓練。1921年,已被大家當作數學家了。他的第一篇論文是和菲克特合寫的,那時他還不到18歲。l933年擔任普林斯頓高級研究院教授,當時高級研究院聘有六名教授,其中就包括愛因斯坦,而年僅30歲的馮?諾依曼是他們當中最年輕的一位。
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馮?諾伊曼是二十世紀最重要的數學家之一,在純粹數學和應用數學方面都有杰出的貢獻。他研究希爾伯特空間上線性自伴算子譜理論,為量子力學打下數學基礎;運用緊致群解決了希爾伯特第五問題;他和默里創造了算子環理論,即現在所謂的馮?諾伊曼代數。1940年以后,馮?諾伊曼轉向應用數學。在力學、經濟學、數值分析和電子計算機方面作出了卓越貢獻。第二次世界大戰時馮?諾伊曼因戰事需要建立沖擊波理論和湍流理論,發展了流體力學;從1942年起,他同莫根施特恩合作,寫作《博弈論和經濟行為》一書,使他成為數理經濟學的奠基人之一。
馮?諾伊曼對世界上第一臺電子計算機ENIAC的設計有決定性的影響,被稱為“計算機之父”。他是現代數值分析——計算數學的締造者之一。
10OptimizationModeling
BasicconceptsGeometricsolutions
AlgebraicsolutionsTheSimplexmethod11
BasicconceptsOptimize12OptimizeDecisionvariablesXObjectivefunctionsConstraintExample:
DeterminingaproductionscheduleAcarpentermakestablesandbookcases.Howmanyofeachtypeoffurnitureheshouldmakeeachweek---maximizeshisprofitsItcosts$5and$7toproducetablesandbookcases,respectively.Revenues:
DeterminingaproductionscheduleVariationtothepreviousscenario.UNITPROFIT$25and$30pertableandbookcase,respectively.Upto690board-feetoflumberweeklyUpto120hroflabor20board-feetoflumberand5hr---table30board-feetoflumberand4hr---bookcase
ClassificationUnconstrainedConstrainedLinearprogramNonlinearprogramDynamicprogramStochasticprogramIntegerprogram16GeometricsolutionsO51015x1x1=4x25101AB(2,5)C▽Z5x1+x2=1530x1+20x2=1605x1+2x2=5x1=0,x2=1z=3Example:Solve012341234x1x2O-1-2(1)(2)(3)ThesimplexmethodThetypicalformoflinearprogrammingTheoptimalityconditionsThesimplexmethodTheBigMmethodandtheTwo-PhaseMethodThesimplextableauinmatrixformExercises
TheStandardFormofLP1.Definition
StandardForm
----AnLPissaidtobeinstandardformifitsallconstraintareequationsandallvariablesarenonnegative
Thesimplexmethod
TheabbreviatedformThesimplexmethodLet
ThevectorformThesimplexmethodLet
ThematrixformThesimplexmethod2.HowtoConvertanLPtoStandardForm
i)IfconstraintiofanLPisa“≤”constraint,weconvertittoanequalityconstraintbyaddingaslackvariable
sitotheithconstraintandaddingthesignrestrictionsi≥0.ii)IftheithconstraintofanLPisa“≥”constraint,itcanbeconvertedtoanequalityconstraintbysubtractinganexcessvariable
eifromtheithconstraintandaddingthesignrestrictionei≥0.
iv)Iftheobjectivefunctionisaminimizationproblem,i.e.minz=CX,Let
w=-z,wesolvethenewLPproblemmaxw=-CX.iii)Ifavariablexiisunrestrictedinsign(urs),Let,whereTheSimplexAlgorithmExample1
TheSimplexAlgorithmExample2
TheSimplexAlgorithm1.BasicandnonbasicvariableThePreviewofSimplexAlgorithmAX=b---mlinearequationsinnvariables(m<n)BasicSolution---ThesolutiontoAX=bobtainedbysettingn-mvariablesequaltozeroandsolvingforthevaluesoftheremainingmvariables
Note:
Thisassumesthatsettingthen-mvariablesequaltozeroyieldsuniquevaluesfortheremainingmvariablesor,equivalently,thecolumnsfortheremainingmvariablesarelinearlyindependent.Rank(A)=m
TheSimplexAlgorithm
----Thesetofn-mvariables(thenonbasicvariables,orNBV)whicharesetequaltozerotofindabasicsolutiontoAX=bNonbasicVariable-----Thesetoftheremainingn-(n-m)=mvariables(thebasicvariables,orBV)BasicVariableExample1.Findallthebasicsolutionstothefollowingsystemoftwoequationsinthreevariables:
BVNBVBasicSolution{x1,x2}{x3}(2,1,0){x1,x3}{x2}(3,0,-1){x2,x3}{x1}(0,3,2)
TheSimplexAlgorithmBasicFeasibleSolution(orbfs)-----AbasicsolutioninwhichallvariablesarenonnegativetoAX=bExample2
FindallthebasicfeasiblesolutionstothefollowingLP:
TheSimplexAlgorithmSolution:NBVBVBasicSolutionBasicFeasibleSolution{x1,x2}{x3,x4,x5}(0,0,100,80,40)Yes{x1,x3}{x2,x4,x5}(0,100,0,-20,40)No{x1,x4}{x2,x3,x5}(0,80,20,0,40)Yes{x1,x5}{x2
x3,x4}Nosolution-
{x2,x3}{x1,x4,x5}(50,0,0,30,-10)No{x2,x4}{x1,x3,x5}(80,0,-60,0,-40)No{x2,x5}{x2,x3,x4}(40,0,20,40,0)Yes{x3,x4}{x1,x2,x5}(20,60,0,0,20)Yes{x3,x5}{x1,x2,x4}(40,20,0,20,0)Yes{x4,x5}{x1,x2,x3}(40,40,-20,0,0)NoTheSimplexAlgorithmTherelationshipbetweenLP’ssolutions
TheSimplexAlgorithmFeasibleSolutionBFSBSInfeasibleSolution2.SomeBasicTheories
ConvexSet-----AsubsetSofRnsatisfyingthatifforanytwopointsxandyofSthelinesegmentjoiningxandygivenbyz=tx+(1-t)y,for0≤t≤1alsobelongstoSNote:
Inotherwords,asetofpointsSisaconvexsetifthelinesegmentjoininganypairofpointsinSiswhollycontainedinS.
TheSimplexAlgorithmExtremePoint----ApointzofaconvexsetSsuchthatifzisexpressedasaconvexcombinationoftwopointsxandyofS,i.e.,ifz=tx+(1-t)y,forsome0<t<1,thenx=y.Note:
Inotherwords,foranyconvexsetS,apointPinSisanextremepointifeachlinesegmentthatliescompletelyinSandcontainsthepointP,wherePisanendpointofthelinesegment.
AEBCDA
BCTheSimplexAlgorithmTheorem1.
Thefeasibleregionforanylinearprogrammingproblemisaconvexset.Theorem2.ForanLP,thereisauniqueextremepointoftheLP’sfeasibleregioncorrespondingtoeachbfs.Also,thereisatleastonebfscorrespondingtoeachextremepointofthefeasibleregion.
Theorem3.IfanLPhasanoptimalsolution,theremustbeanextremepointofthefeasibleregionthatisoptimal.
TheSimplexAlgorithm一、LP問題及其數學模型例1
某工廠可生產甲、乙兩種產品,需消耗煤、電、油三種資源,有關單耗數據如表,試擬定使總收入最大的生產計劃。127單價300103油20054電36049煤資源限制乙甲產品資源甲乙資源限制煤94360電45200油310300單價712產品資源線性規劃模型三要素:(1)決策變量設甲產品生產x1,乙產品生產x2(2)目標函數
MaxZ=7x1+12x2(3)約束條件9x1+4x2≤3604x1+5x2≤2003x1+10x2≤300x1,x2≥0s.t.返回SubjectTo,意為“使其滿足”2.LP解的幾種情況(1)唯一解(2)多重最優解(3)無可行解注:出現(3)、(4)情況時,建模有問題(4)無有限最優解圖解法的結論:線性規劃的可行域是凸集
線性規劃的最優解若存在,必能在可行域的在極點獲得若在兩個極點同時獲得,則有無窮多最優解凸集不是凸集極點三、線性規劃應用舉例
例1(下料問題)某工廠要做100套鋼架,每套用長為2.9m,2.1m,1.5m的圓鋼各一根。已知原料每根長7.4m,問:應如何下料,可使所用原料最???
例1(下料問題)某工廠要做100套鋼架,每套用長為2.9m,2.1m,1.5m的圓鋼各一根。已知原料每根長7.4m,問:應如何下料,可使所用原料最省?方案2.92.11.5余料7.4m2.9m2.1m1.5m2010.1Ⅰ1200.3Ⅱ1110.9Ⅲ1030Ⅳ0301.1Ⅴ0220.2Ⅵ0130.8Ⅶ0041.4Ⅷ5010302x1+x2+x3+x4=1002x2+x3+3x5+2x6+x7=100x1+x3+3x4+2x6+3x7+4x8=100x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8≥0設x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8分別為上述8種方案下料的原材料根數,建立如下的LP模型:最優解為:
x1=10,x2=50,x3=0,x4=30,x5=0,x6=0,x7=0,x8=0minZ=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8s.t.余料1.52.12.9方案2010.1Ⅰ1200.3Ⅱ1110.9Ⅲ1030Ⅳ0301.1Ⅴ0220.2Ⅵ0130.8Ⅶ0041.4Ⅷ一、線性規劃的標準型MaxZ=c1x1+c2x2+…+cnxn
a11x1+a12x2+…+a1nxn
=b1…………am1x1+am2x2+…+amnxn
=bmx1,x2,…,xn≥0s.t.1、標準形式MaxZ=CXAX=bX≥0s.t.注:標準型中要求bi≥0§2單純形法矩陣表示其中:C=(c1,c2,…,cn)
為價格系數X=(x1,x2,…,xn)T
為決策向量
A=(aij)m×n
為技術系數
b=(b1,b2,…,bm)T
為資源系數1)Min型目標函數加負號
因為,求一個函數的極小點,等價于求該函數的負函數的極大點。注意:Min型化為Max型求解后,最優解不變,但最優值差負號。
2、非標準型標準型2)約束條件例如:9x1+4x2≤3609x1+4x2+x3=360松弛變量
“≤”型約束,加松弛變量;
“≥”型約束,減松弛變量;2、非標準型標準型3)自由變量xk進行變量替換:例、將如下問題化為標準型第二個約束減松弛變量解:令、第一個約束加松弛變量、、標準型例、研究約束集合基本解的個數≤令x2=x3=0,得基本解X1=(1/2,0,0)T,對應于A點;1/211/3ABCx2x3x1令x1=x3=0,得基本解X2=(0,1,0)T,對應于B點;令x1=x2=0,得基本解X3=(0,0,1/3)T,對應于C點;基可行解例、研究約束集合基本解的個數≤令x1=0,得基本解X1=(0,3,2,-1)T;令x2=0,得基本解X2=(3,0,1,-8)T;令x3=0,得基本解X3=(2,1,0,5)T,對應于F點;畫出可行域12341234ABCDEF0x1x2標準化令x4=0,得基本解X4=(1/3,8/3,5/3,0)T,對應于D點;三、單純形法的基本方法基本方法:確定初始基可行解檢驗是否最優?轉到另一更好的基可行解停YN方法前提:模型化為標準型1.初始可行基B0的確定若A中含有I:B0=I若A中不含I:人工變量法2.最優性檢驗矩陣分塊把目標函數用非基變量表示:∴檢驗數向量,記為σ。當σ≤0時,當前解為最優解。方法:(1)計算每個xj的檢驗數(2)若所有σj
≤0,則當前解為最優;否則,至少有σk
>0,轉3。3.換基迭代(基變換)(1)進基:取對應的Pk進基。(2)出基:取對應的Pl進基。得新基,轉2。注:出基變量的選取為了保證新的基可行。σ的計算:XBCBB-1bx1x2x3x4x5θσ四、單純形法的實現——單純形表例:煤電油例MaxZ=7x1+12x29x1+4x2≤3604x1+5x2≤2003x1+10x2≤300x1,x2≥0s.t.MaxZ=7x1+12x29x1+4x2+x3=3604x1+5x2+x4=2003x1+10x2+x5=300x1,…,x5≥0s.t.化為標準型x3x4x5000360200300943451010001000112000單純形表:7σθx5x4x3x2x1B-1bCBXB四、單純形法的實現——單純形表例:煤電油例MaxZ=7x1+12x29x1+4x2≤3604x1+5x2≤2003x1+10x2≤300x1,x2≥0s.t.MaxZ=7x1+12x29x1+4x2+x3=3604x1+5x2+x4=2003x1+10x2+x5=300x1,…,x5≥0s.t.化為標準型x3x4x5000360200300943451010001000112000單純形表:790θ的計算:4030σθx5x4x3x2x1B-1bCBXB四、單純形法的實現——單純形表例:煤電油例MaxZ=7x1+12x29x1+4x2≤3604x1+5x2≤2003x1+10x2≤300x1,x2≥0s.t.MaxZ=7x1+12x29x1+4x2+x3=3604x1+5x2+x4=2003x1+10x2+x5=300x1,…,x5≥0s.t.化為標準型x3x4x5000360200300943451010001000112000單純形表:7904030[]樞紐元素σθx5x4x3x2x1B-1bCBXBx3x4x5000360200300943451010001000112000單純形表:7904030[]x3x4x20012300.31000.1σ以10為主元進行初等行變換502.5001-0.52407.8010-0.43.4000-1.2即:σθx5x4x3x2x1B-1bCBXBx3x4x5000360200300943451010001000112000單純形表:7904030[]x3x4x20012300.31000.1σ以10為主元進行初等行變換502.5001-0.52407.8010-0.43.4000-1.2即:30.820100σθx5x4x3x2x1B-1bCBXBx3x4x5000360200300943451010001000112000單純形表:7904030[]x3x4x20012300.31000.1σ以10為主元進行初等行變換502.5001-0.52407.8010-0.43.4000-1.230.820100[]x3x1x2071224010-0.120.16σ201000.4-0.284001-3.121.16000-1.36-0.52σσθx5x4x3x2x1B-1bCBXBx3x4x5000360200300943451010001000112000單純形表:7904030[]x3x4x20012300.31000.1502.5001-0.52407.8010-0.43.4000-1.230.820100[]以為主元進行初等行變換2.5x3x1x2071224010-0.120.16σ201000.4-0.284001-3.121.16000-1.36-0.52σσθx5x4x3x2x1B-1bCBXBx3x4x5000360200300943451010001000112000單純形表:7904030[]x3x4x20012300.31000.1502.5001-0.52407.8010-0.43.4000-1.230.820100[]∴X*=(20,24,84,0,0)TZ*=428例:用單純形法求解MinS=-x1+2x2x1-x2≥
-2x1+2x2≤6x1,x2≥0s.t.化為標準型MaxS′=x1-2x2-x1+x2+x3=
2x1+2x2+x4=
6x1,…,x4≥0s.t.XBCBB-1bx1x2x3x4θx302-1110不考慮x406[1]2016σ1-200x3080311x1161201σ0-40-1∴X*=(6,0,8,0)TZ*=-6例:用單純形法求解MaxZ=5x1+3x2+2x3+4x45x1+x2+x3+8x4=102x1+4x2+3x3+2x4=10x1,x2,x3,x4≥0s.t.MaxZ=5x1+3x2+2x3+4x45x1+x2+x3+8x4=102x1+4x2+3x3+2x4=10x1,…,x6≥0s.t.+x5
+x6-Mx5-Mx6?五、人工變量法(大M法)1問題:MaxZ=CXAX=bX≥0s.t.設問題:,A中不含I(Ⅰ)增加人工變量X人=(xn+1,……,xn+m)T,X人在目標函數中的系數為-M(M為充分大正數)。于是原問題化為:2方法:MaxZ=CX-MX人AX+IX人=bX,X人≥0s.t.(Ⅱ)單純形法求解(Ⅱ),若最優基變量中不含X人,則所得解的前n個分量即為X*否則,(Ⅰ)無解。3結論:例:用單純形法求解MaxZ=5x1+3x2+2x3+4x45x1+x2+x3+8x4=102x1+4x2+3x3+2x4=10x1,x2,x3,x4≥0s.t.解:增加人工變量x5、x6,則模型化為:MaxZ=5x1+3x2+2x3+4x4-Mx5-Mx65x1+x2+x3+8x4+x5=102x1+4x2+3x3+2x4+x6=10x1,…,x6≥0s.t.MaxZ=5x1+3x2+2x3+4x4-Mx5-Mx65x1+x2+x3+8x4+x5=102x1+4x2+3x3+2x4+x6=10x1,…,x6≥0s.t.XBCBB-1bx1x2x3x4x5x6θ511810243201σx5x6-M-M10105+7M3+5M2+4M4+10M005/4501x5σ123420[8]115θx6x4x3x2x1B-1bCBXBx5x6-M-M10105+7M3+5M2+4M4+10M005/45σx4x64-M5/45/81/81/81015/23/415/411/4015/2+3/4M005/2+15/4M3/2+11/4M10201x5σ123420[8]115θx6x4x3x2x1B-1bCBXBx5x6-M-M10105+7M3+5M2+4M4+10M005/45σx4x64-M5/45/81/81/81015/23/4[15/4]11/4015/2+3/4M005/2+15/4M3/2+11/4M102σx4x24313/501/30121/5111/150200-1/35/31001x5σ123420[8]115θx6x4x3x2x1B-1bCBXBx5x6-M-M10105+7M3+5M2+4M4+10M005/45σx4x64-M5/45/81/81/81015/23/4[15/4]11/4015/2+3/4M005/2+15/4M3/2+11/4M102σx4x2431[3/5]01/30121/5111/150200-1/35/310σx1x2535/3101/185/35/30113/18-1/30-10/30-4/9∴X*=(5/3,5/3,0,0)T,Z*=40/3六、單純形法總結1、Min型單純形表與Max型的區別僅在于:令σk=min{σj≤0}的xk進基,當σ≥0時最優。2、解的幾種情況及其在單純形表上的體現(討論Max型)唯一最優解σj≤0,非基σ<0多重最優解σj≤0有非基σk=0無界解有σk>0但B-1Pk≤0無可行解用大M法求解,最優基中含有X人退化解最優解中某基變量為0ThesimplexalgorithmConverttheLPtostandardformRewritetheLPasitscanonicalform.Determinewhetherthecurrentbasicfeasiblesolutionisoptimalbyoptimalityconditions,ifso,stop,otherwiseturntothenextstep.Choosetheenteringandleavingvariableandperformthepivotingoperationtotransfertoanothersimplextable
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