1/14《勾股定理（第1課時）》教案

第1課時一、教學目標【知識與技能】1.了解勾股定理的文化背景,了解利用拼圖驗證勾股定理的方法.2.能說出勾股定理,并能應用其進行簡單的計算.【過程與方法】1.在勾股定理的探索過程中,經歷觀察——猜想——歸納——驗證的數學發現過程.2.發展合情推理的能力,體會數形結合思想、由特殊到一般的數學思想、分類討論思想.【情感態度與價值觀】通過對勾股定理歷史的了解和實例應用,體會勾股定理的文化價值;通過獲得成功的經驗和克服困難的經歷,增強學習數學的信心,激發學生的民族自豪感和愛國情懷.二、課型新授課三、課時第1課時共3課時四、教學重難點【教學重點】 探索和驗證勾股定理,并能應用其進行簡單的計算.【教學難點】 用拼圖的方法驗證勾股定理.五、課前準備 教師：課件、三角尺、直尺、方格紙、三角模型等.學生：三角尺、鉛筆、練習本、方格紙、三角模型.六、教學過程（一）導入新課（出示課件2）國際數學家大會是最高水平的全球性數學學科學術會議,被譽為數學界的“奧運會”.2002年在北京召開了第24屆國際數學家大會.此圖案就是大會會徽的圖案.大會的會徽圖案有什么特殊含義呢?這個圖案與數學中的勾股定理有著密切的關系.中國古代人把直角三角形中較短的直角邊叫做“勾”,較長的直角邊叫做“股”,斜邊叫做“弦”.上述圖案就揭示了“勾”“股”“弦”之間的特殊關系.我們學習過等腰三角形,知道等腰三角形是兩邊相等的特殊的三角形,它有許多特殊的性質.研究特例是數學研究的一個方法,直角三角形是有一個角為直角的特殊三角形,等腰直角三角形又是特殊的直角三角形,直角三角形的三邊之間存在怎樣的關系呢?我們的探究活動就從等腰直角三角形開始吧.（二）探索新知1.出示課件4-10，探究勾股定理的認識與證明教師問：相傳兩千五百年前，一次畢達哥拉斯去朋友家作客，發現朋友家用磚鋪成的地面反映直角三角形三邊的某種數量關系，同學們，我們也來觀察一下圖案，看看你能發現什么數量關系？

學生1回答：直角三角形的兩條直角邊和斜邊都是正方形的邊長.學生2回答：斜邊正方形的邊長最大.教師問：三個正方形A，B，C的面積有什么關系？學生討論后答：SA+SB=SC教師問：由這三個正方形A，B，C的邊長構成的等腰直角三角形三條邊長度之間有怎樣的特殊關系？學生討論后直接回答：猜想：斜邊的平方=兩直角邊的平方和.教師依次展示下列問題：看圖完成下面的題目：（1）A中含有____個小方格，即A的面積是______個單位面積．（2）B的面積是_______個單位面積．（3）C的面積是________個單位面積．學生1回答：（1）A中含有9個小方格，即A的面積是9個單位面積．學生2回答：(2)B的面積是9個單位面積．學生3回答：(3)C的面積是18個單位面積．教師問：三個正方形A，B，C的面積有什么關系？學生回答：圖1中三個正方形A，B，C的面積之間的數量關系是:SA+SB=SC教師問：SA+SB=SC在圖2中還成立嗎？學生討論后回答：仍然成立.

教師問：你是如何得到結果的呢？學生回答：A的面積是16個單位面積．B的面積是9個單位面積．C的面積是25個單位面積．教師問：你是怎樣得到正方形C的面積的？與同伴交流交流．學生回答：如下圖所示：教師問：至此，我們在網格中驗證了:直角三角形兩條直角邊上的正方形面積之和等于斜邊上的正方形面積，即SA+SB=SC.去掉網格結論會改變嗎？學生回答：不會改變.教師問：式子SA+SB=SC能用直角三角形的三邊a、b、c來表示嗎?

師生一起解答：如圖所示：a2+b2=c2教師問：去掉正方形結論會改變嗎？學生回答：不會改變.教師問：那么直角三角形三邊a、b、c之間的關系式是什么呢？學生回答：a2+b2=c2教師問：如果直角三角形的兩直角邊長分別為a，b,斜邊長為c，那么a2+b2=c2.

如何利用拼圖證明呢？師生一起看數學家的證明：是不是所有的直角三角形都具有這樣的結論呢？光靠實驗和猜想還不能把問題徹底搞清楚.這就需要我們對一般的直角三角形進行證明．下面我們就一起來探究，看一看我國古代數學家趙爽是怎樣證明這個命題的．教師依次展示各種證明方法：（1）趙爽拼圖證明法：以直角三角形的兩條直角邊a、b為邊作兩個正方形，把兩個正方形如圖1連在一起，通過剪、拼把它拼成圖2的樣子.你能做到嗎？試試看.

小組活動：仿照課本中趙爽的思路，只剪兩刀，將兩個連體正方形，拼成一個新的正方形.剪、拼過程展示：（出示課件11）教師問：如何進行證明呢？師生共同討論后解答如下：證明：∵S大正方形＝c2，S小正方形＝(b-a)2,∴S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形，∴c=4×12ab+（b-a）2=a2(2)畢達哥拉斯證法：請先用手中的四個全等的直角三角形按圖示進行拼圖，然后分析其面積關系后證明吧.(出示課件13)

教師問：觀看視頻后，你能證明嗎？師生共同討論后解答如下：證明：∵S大正方形=(a+b)2=a2+b2+2ab,S大正方形=4S直角三角形+S小正方形

=4×12ab+c2

=c2∴a2+b2+2ab=c2+2ab，∴a2+b2=c2.

（3）美國第二十任總統伽菲爾德的“總統證法”.如圖，圖中的三個三角形都是直角三角形，求證：a2+b2=c2.

教師問：你能證明上邊的問題嗎？如果能的話，你也是總統！學生討論后回答：證明：∵S梯形=12（a+b）（a+b）,S梯形=12ab+12ab+12∴a2+b2=c2.教師總結歸納;(出示課件16)勾股定理如果直角三角形兩直角邊分別為a、b,斜邊為c，那么a2+b2=c2.

即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.表示為：Rt△ABC中，∠C=90°,則a2+b2=c2.

總結點撥：（出示課件17）公式變形勾股定理給出了直角三角形三邊之間的關系，即兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.

考點1：利用勾股定理求直角三角形的邊長如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°.（出示課件19）（1）若a=b=5,求c;（2）若a=1,c=2,求b.

師生共同討論解答如下：解：(1)據勾股定理得(2)據勾股定理得出示課件20，學生自主練習后口答，教師訂正.考點2：勾股定理和方程相結合求直角三角形的邊長在Rt△ABC中，∠C=90°.（出示課件21）（1）若a：b=1：2，c=5,求a;（2）若b=15，∠A=30°,求a,c.學生獨立思考后，師生共同解答.解：(1)設a=x,b=2x,根據勾股定理建立方程得x2+(2x)2=52，解得（舍去）(2)因此設a=x,c=2x,根據勾股定理建立方程得(2x)2-x2=152，解得（舍去）總結點撥：（出示課件21）已知直角三角形兩邊關系和第三邊的長求未知兩邊時，要運用方程思想設未知數，根據勾股定理列方程求解.出示課件22，學生自主練習后口答，教師訂正.教師：學了前面的知識，接下來做幾道練習題看看你掌握的怎么樣吧。（三）課堂練習（出示課件23-27）練習課件第23-27頁題目，約用時20分鐘.（四）課堂小結（出示課件28）內容勾股定理如果直角三角形的兩直角邊長分別為a,b,斜邊長為c,那么a2+b2=c2.注意1.在直角三角形中2.看清哪個角是直角3.已知兩邊沒有指明是直角邊還是斜邊時一定要分類討論（五）課前預習預習下節課（17.1第2課時）的相關內容.會用勾股定理解決實際問題.七、課后作業1、教材第24頁練習第1,2題.2、課堂第33頁第3、4、8題.八、板書設計勾股定理第1課時1.探索勾股定理2.勾股定理的證明3.考點講解考點1考點2九、教學反思成功之處：本節課從知識與方法、能力與素質的層面確定了相應的教學目標.把學生的探索和驗證活動放在首位,一方面要求學生在老師的引導下自主探索,合作交流,另一方面要求學生對探究過程中用到的數學思想方法有一定的領悟和認識,達到培養能力的目的.整節課以“問題情境——分析探究——得出猜想——實踐驗證——總結升華”為主線,使學生親身體驗勾股定理的探索和驗證過程,努力做到由傳統的數學課堂向實驗課堂轉變.不足之處：在教學過程中,高估了學生證明勾股定理的能力,主要困難在于一些學生不能對圖形進行正確的割補.對圖形的割補過程沒有給學生詳細的呈現.補救措施：適當增加學生拼圖的時間,通過實踐操作,畫圖分析,獨立分析證明思路,正確完成證明過程.知能演練提升能力提升1.如圖,在Rt△ABC中,∠A=90°,BD平分∠ABC交AC于點D,且AB=4,BD=5,則點D到BC的距離是()A.3 B.4C.5 D.92.一株美麗的勾股樹如圖所示,其中所有的四邊形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形.若正方形A,B,C,D的邊長分別是3,5,2,3,則最大正方形E的面積是()A.13 B.26 C.47 D.943.在直線l上依次擺著幾個正方形(如圖),已知斜放的三個正方形的面積分別為1,2,3,正放的四個正方形的面積分別是S1,S2,S3,S4,則S1+S2+S3+S4等于()A.3 B.4 C.5 D.64.如圖,在3×3的網格中,每個小正方形的邊長均為1,點A,B,C都在格點上,若BD是△ABC的高,則BD的長為()A.101313 BC.81313 D5.如圖,在△ABC中,∠B=90°,AB=3,AC=5,將△ABC折疊,使點C與點A重合,折痕為DE,則△ABE的周長為.

6.對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形,現有如圖所示的“垂美”四邊形ABCD,對角線AC,BD交于點O.若AD=2,BC=4,則AB2+CD2=.

7.我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖如圖甲所示,它是由四個全等的直角三角形圍成的.在Rt△ABC中,若直角邊AC=6,BC=5,將四個直角三角形中邊長為6的直角邊分別向外延長一倍,得到圖乙所示的“數學風車”,則這個風車的外圍周長(圖乙中的實線)是.

8.我國古代數學家趙爽的“弦圖”是由四個全等的直角三角形與中間的一個小正方形拼成的一個大正方形(如圖),直角三角形的兩直角邊長分別為a,b(a<b),斜邊長為c.(1)請你運用本圖驗證勾股定理;(2)如果大正方形的面積是13,小正方形的面積是1,那么試求(a+b)2的值.9.如圖,已知正方形ABCD的邊長為2,△BPC是等邊三角形,求△CDP與△BPD的面積.創新應用10.(1)觀察圖并填寫下表(圖中每個小方格的邊長為1):正方形A的面積(單位面積)B的面積(單位面積)C的面積(單位面積)圖①圖②(2)三個正方形A,B,C的面積之間有什么關系?(3)三個正方形圍成的一個直角三角形的三邊長之間存在什么關系?圖①圖②知能演練·提升能力提升1.A2.C3.B每個斜放的正方形與相鄰兩個正放的正方形所形成的兩個直角三角形全等.由勾股定理,得S1+S2=1,S3+S4=3,所以S1+S2+S3+S4=1+3=4.4.D由勾股定理,得AC=22∵S△ABC=3×3-12×1×2-12×1×3-12×2×3=72,∴12∴13·BD=7,∴BD=7135.7由勾股定理,得BC=4,由折疊可知△ABE的周長為AB+BE+AE=AB+BC=3+4=7.6.20∵AC⊥BD,∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°.由勾股定理,得AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2,AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2,∴AB2+CD2=AD2+BC2.∵AD=2,BC=4,∴AB2+CD2=22+42=20.7.76風車外圍的短邊長為6,長邊長為52+12所以風車的外圍周長是(6+13)×4=76.8.解(1)大正方形的面積為c2,中間部分小正方形的面積為(b-a)2,四個直角三角形的面積和為4×12ab.由圖形關系,知大正方形的面積=小正方形的面積+四個直角三角形的面積,即有c2=(b-a)2+4×12ab=b2-2ab+a2+2ab=a2+b(2)由大正方形的面積是13,小正方形的面積是1,得每個直角三角形的面積是3,即12ab=3,則ab=6∵c2=13,∴a2+b2=13.∴(a+b)2=a2+b2+2ab=13+12=25.∴(a+b)2=25.9.解如圖,作PE⊥BC,PF⊥DC,垂足分別為E,F.∵△PBC是等邊三角形,∴BP=PC=BC=2,∠PCF=90