目錄

第一講數圖形...............................................2

第二講找規律..............................................4

第三講加減巧算...........................................6

第四講填數游戲...........................................8

第五講有余數除法........................................10

第六講周期問題..........................................12

第七講配對求與..........................................14

第八講乘法速算..........................................16

第九講乘除巧算..........................................18

第十講應用題(-)........................................20

第十一講應用題(二).......................................22

第十二講植樹問題..........................................24

第十三講重疊問題.........................................26

第十四講簡單枚舉.........................................28

第十五講等量代換.........................................30

期末綜合練習.................................................32

第1講數圖形

專題分析：

同學們，您們會數圖形不？要想正確地數出線段、角、三角形……的個數，

就必須要有次序、有條理地按照規律去數。

要正確數出圖形的個數,關鍵就是要從基本圖形入手。首先要弄清圖形中包

含的基本圖形就是什么，有多少個;然后再數出由基本圖形組成的新的圖形，并求

出它們的與。

例1：數出下面圖中有多少條線段？

ABCD

【思路導航】我們可以采用以線段左端點分類數的方法。

以A為左端點的線段有:AB、AC、AD3條；以B為左端點的線段有:BC、BD2

條；以C為左端點的線段有:CD1條。所以，圖中共有線段3+2+1=6（條）。

我們還可以這樣想:把圖中線段AB、BC、CD瞧做基本線段來數，那么，由1

條基本線段構成的線段有:AB、BC>CD3條；由2條基本線段構成的線段有:AC、

BD2條;又3條基本線段構成的線段有:AD1條。所以，圖中一共有3+2+1=6（條）線

段。

例2:數出下圖中有幾個角？A---------

【思路導航】數角的個數可以采用與數線統同的/去來數。以A0為一邊

的角有：NAOB、NAOC、/A0D3個；以B0為一邊的角有//BOC、NB0D2個；以CO

為一邊的角有：NC0D1個。所以圖中共有3+2+1=6（個）角。

當然,也可以把圖中NAOB、NBOC、NC0D瞧做基本角，那該怎樣數呢？

例3:數出下圖中共有多少個三角形？A

BC/\E

【思路導航】數三角形的個數也可以采用V飛來數。以AB為邊

的三角形有：△ABC、AABD.AABE3個；以A,"ACD、AACE2

個；以AD為邊的三角形有:AADEl個。所以圖中共有三角形3+2+1=6（個）。我們

還發現,要數出圖中三角形的個數，只需數出aABE的底邊中包含幾條線段就可

以了，即3+2+1=6（個）。所以圖中共有6個三角形。

拓展訓練：

1、數一數，一共有幾條線段、幾個角？

①

共（）條線段共（）條線段

2、

3、

⑵從青島到上海的直達列車，中途停靠5個站，這次列車共有（）種不同

票價。

4、解決問題。

⑴三年級有6個班，每兩個班要比賽拔河一次，這樣一共要組織多少場比

賽？

⑵有紅、黃、藍、白四只氣球，如果每兩只氣球扎成一束，共有多少種不同的

扎法？

5、提高訓練。

有1——6六個數字,能組成多少個不同的兩位數？

第2講找規律

專題分析：

按照一定順序排列的一列數，只要從連續的幾個數中找到規律，就可以知道

其余所有的數。尋找數列的排列規律，除了從相鄰兩數的與、差考慮，有時還要從

積、商考慮。善于發現數列的規律就是填數的關鍵。

例1：在括號內填上合適的數。

(1)3,6,9,12,(；,()

(2)1,2,4,7,11,(),()

(3)2,6,18,54,(),()

【思路導航】⑴在數列3,6,9,12,(),()中，前一個數加上3就等于后

一個數,相鄰兩個數的差都就是3,根據這一規律，可以確定()里分別應填15與

180

⑵在數列1,2,4,7,11,(),()中，第一個數增加1等于第二個數，第二個

數增加2等于第二個數，即每相鄰兩個數的差依次就是1,2,3,4,……這樣下一個

數應為11增加5,所以應填16,再下一個數應比16大6,應填22o

(3)在數列2,6,18,54,(),()中，后一個數就是前一個數的3倍,根據這

一規律可以知道()里應分別填162與486。

例2:先找出規律,再在括號里填上合適的數。

(1)2,5,14,41,(),()

(2)252,124,60,28,()

(3)1,2,5,13,34,()

(4)187,286,385,：),()

【思路導航】(1)在數列中，第一個數2X3T=5就是第二個數,第二個數5X

3-1=14就是第三以此類推,相鄰兩個數,前一個數乘以3減1等于后一個數，所以

括號里填應122o

(2)在數列中，相鄰的兩個數,前一個數除以2的商檢2等于后一個數，所以括

號里應填12o

(3)在數列中，可以發現2X3=1+5,5X3=2+13,13X3=5+34,也就就是從第二

項開始,每一項乘以3等于它前后相鄰兩數的與，因而括號里應填89o

(4)在數列中，十位上的數字8不變,百位上的數字依次增加1,個位上的數字

依次減少1,且百位與人位數字與為8。因此,主舌號里應填484,583o

例3:按規律填數。

\13(1)蹲八，右邊的

?思A導/

數比左邊/4、數/77\豎歹9型的數

比上面的數多4,ISA——天真180▼

(2)根據前瞅\16/\4X8y\力

X4.3:12。/8"2\/8\

拓展訓練：

(1)487+321+113+479(2)723-251+177

(3)872+284-272(4)537-142-58

【思路導航】通過觀察后，發現后幾位數互補或相等,通過加減正好能湊成整

十、整百、整千數。

(1)487+321+113+479(2)723-251+177

=(487+113)+：321+479)=(723+177)-251

=600+800=900-251

=1400=649

(3)872+284-272(4)537-142-58

=872-272+284=537-(142+58)

=600+284=537-200

=884=337

例3:計算下面各題。

(1)321+(279755)(2)327-(54+72)(3)432-(154-68)

【思路導航】通過觀察,我們可以先去括號,再進行移位湊整計算。

(1)321+(279-155：(2)372-(54+72)(3)432-(154-68)

=321+279-155=372-72-54=432+68-154

=600155=30054=500154

二445=246=346

拓展訓練：

1、計算下面各題。

①9+97+997+9997②8+102+888+1002

③402+503-397-98@3999+399+39

2、您能迅速算出結果不？

①97+101+103+99②721-400+279

③6998+995+97+51@999+98+37+6

3、簡便計算。

①4875-（996+1875）②4276+(624T76)

4、巧算。

①599+997+201-40：②5996+999+98+89

5、您能用最短的時間算出結果不？

1000-81-82-84-85-19-18-17-16-15-83

第4講:填數游戲

專題分析：

填數時，要求我們仔細觀察，確定圖形中關鍵的位置應填兒，一般就是圖形的

頂點及中間位置。同時:要將所填的空與所提供的數字聯系起來,一般要先計算所

填數字的綜合與所提供數字的與之差,從而確定關鍵位置應填幾,依次類推……

例1：在下圖中分別填入1-9,使兩條直線上五個數的與相等,與就是多少呢？

【思路導航】可以把1-9中間的5填到中心的。內，剩下八個數,一大一小,

搭配成與都就是10的四組,這樣兩條直線上五個數的與都就是5+10X2=25。

例2:把數字1-8分別填入下圖的小圓圈內，使每個五邊形上五個數的與都等于

20o

【思路導航】題目中所有8個數字的與就是U2i3i4i5i6i7i8=36,題中要就

是每個五邊形上五個數的與等于20,那么兩個五邊形上數字的綜合就是20X

2=40、兩個五邊形上的數字總與比8個數的與多40-36=4、多4的原因就是圖中

中間兩個圓圈的數字算了兩次,即多算了一次。卜8中只有1與3的與為4,所以

先確定關鍵的中間兩個圓圈中，一個填1,一個填3、20-(1+3)=16,16可以分成

16=2+6+8,16=4+5+7、所以本題應該這樣填。

例3:在圖中填入2-9,使沒邊3個數的與等于15o

【思路導航】解題關鍵就是填出圖中的4

個頂點，因為求與就是這4個頂點各算了

兩次，多算了一次，所以4邊數的與就是15

X4=60,所給的數的與就是

2+3+4+5+6+7+8+9=44,所以4個頂點數

的與就是60-44=16o我們可以選出

3+7+4+2=16填入4個頂點……

拓展訓練：

1、(1)在下圖中填入2T0,使橫(2)把1,4,7,10,13,16,

行、豎行中的五個數的與相同，與就是多19七個數填入圖中7個圈中,

少呢？使每條線上三個數的與相等。

2、(1)將數字上6填如下圖的小圓(2)把5,6,7,8,9,10這六

圈內，使每個大圈上的四個數字之與都個數填入下圖三角形三條邊

就是15o的O內，使得每條邊上的

三個數與就是21。

4、把1~9這九個數填入下

圖中，使三角形每條邊上四個的

與等于19。且有一個頂點的數

5、把1-10這幾個數填入下圖中，使每個正方形頂點圓圈內四個數時候都相等,

專題分析：

(1)余數要比除數小；

(2)被除數二商義除數十余數。

例1:口+6=8……□,根據余數寫出被除數最大就是兒？最小就是兒?

【思路導航】除數就是6,根據余數比除數小,余數可以就是1,2,3,4,5,根據

除數X商+余數二被除數，又已知商、除數、余數，可求出最大的被除數為6X

8+5=53,最小的被除數為6X8+1=49。列式如下：

6X8+5=53

6X8+1=49

答:被除數最大就是53,最小就是49o

例2:算式（）+（）=8……（）中，被除數最小就是兒？

【思路導航】題中只告訴我們商就是8,要使被除數最小,那么只要除數與余

數小就行。余數最小為1,那么除數則為2、根據這些，我們就可以求出被除數最

小為:8>2+1=17。

例3:算式28-（）二（）……4中，除數與商各就是多少？

【思路導航】根據“被除數二商X除數十余數"可以得知"除數X商二被除數

-余數”，所以本題中商義除數=28-4=24。這兩個數可能就是1與24,2與12,3

與&4與6,又因為余數為4,因此除數可以就是24,12,8,6,商分別為1,2,3,4?

284-24=1.......4284-8=3.......4

28?12=2.......428+6=4.......4

答:除數與商分別就是24,1;12,2;8,3;6,4。

拓展訓練：

1、下面題中被除數最大就是幾，最小就是幾？

(1)口+8:3.......□

(2)04-4=7……□

(3)04-9=2.......□

2、要使除數最小，被除數應就是幾？

(1)()4-()=15……3

(2)()4-()二8……5

(3)()+()=12……4

3、下面算式中，被除數最小就是兒？

(1)()+()=4……()

(2)()4-()=7……()

(3)()4-()=9……()

(4)()4-()二3……()

4、下面算式中商與余數相等,被除數最小就是幾?

6()+()二6??????()

出()+()=12-…?()

閉()+()=8—??()

(4)()4-()=10-????()

⑸()?8二：)??????()(被除數最大就是兒)

5、下列算式中，除數與商各就是幾？

(1)224-()=()……4

(2)654-()=()……2

(3)374-()=()……7

(4)484-()=()……6

第6講:周期問題

專題分析：

在日常生活中，有一些按照一定的規律不斷重復的現象，如：認得十二生肖，

一年有春夏秦東四個季節,一個星期七天等等,稱為簡單周期問題。這類問題一般

要利用余數的知識來解答。

在研究此類問題時,首先要仔細審題,判斷其不斷重復出現的規律,找出循環

固定數,然后利用除法算式求出余數,最后根據余數得出正確結果。

例1:2011年10月1日就是星期一，問10月25日就是星期兒？

【思路導航】我們知道,每星期有7天,也就就是說以7天位一個周期不斷地

重復。從10月1日到10月25日經過25-1:24(天)，24+7=3(星期)……3(天),

說明24天眾包括3個星期還多3天,所以從10月1日開始過3個星期,最后一天

還就是星期一,從這最后一天起在過3天就應就是星期四。

25-1二24(天)

24?7二3(星期)……3：天)

答：10月25日就是星期四。

例2:100個3相乘,積的個位數字就是幾？

【思路導航】我們只需考慮積的個位數的排列規律。1個3,積的個位數就是

3,2個3相乘的個位數就是9,3個3相乘積的個位數就是7,4個3相乘積的個位

數就是1,5個3相乘積的個位數就是3,……可以發現雞蛋個位數分別以3,9,7,1,

不斷重復出現，即每4個3記得個位數位一周期。1。0?4=25(個)，因此100個3相

乘的記得個位數就是第25個周期中的最后一個，即就是lo列式如下：

3

3X3=9

3X3X3=27

3X3X3X3=81

3X3X3X3X3=243

100+4=25（個）

答:積的個位數字就是1。

ABCABCAB??????

萬事如意萬事如意...

上表匚卜,每一列兩個符號組向L組，1口第一名日“A萬”，第二組“B事”，?…

問第20組就是什么？

【思路導航】上面一組以“A、B、C”三個字母為一個周期重復出現,下面一

行一“萬、事、如、意”四個字為一個周期重復出現，要求第20組，必須分別求

出上、下兩行各就是什么符號才行。

首先求上一行就是什么字母？20+3=6（組）……2（個）說明第20個字母就是

“B”，下一行的字就是什么？20?4二5（組）說明第20個姿勢“一”，所以第20

組就是“B意”兩個符號。

拓展訓練：

1.（1）2001年5月3日就是星期四，問5月20日就是星期幾？

（2）2001年8月1口就是星期三，問8月28口就是星期兒?

（3）2001年6月1日就是星期五，問9月1日就是星期幾？

2、（D3X3X3X3X……X3,積的個位數字就是幾？

k_________、

23年“3”

⑵100個2相乘,積的末尾數字就是幾？

⑶7X7X7X……X7,積的個位數字就是幾?

4、有同樣大小的紅、白、黑珠共120個,按先3個紅的后2個白的再1個黑的排

列，問（1）白珠共有多少個？（2）第68個就是什么顏色的？

5、課外活動上，有4個同學在進行報數游戲，她們圍成一圈，甲報“1”，乙報“2”，

丙報“3”，丁報“4”，每個人報的數總比前一個人多1,問45就是誰報的？123

呢？

第7講:配對求與

專題分析：

數列的第一個數叫首項,最后一個數叫末項,如果一個數列從第二項起,每一

項與前一項的差就是一個不變的數,這樣的數列叫做等差數列，這個不變的數則

稱為這個數列的公差。

計算等差數列的與,可以用一下關系式：

等差數列的與二(首項+末項)X項數92

末項二首項，公差X(項數-1)

項數二(末項-首項)+公差+1

例1:您有好辦法算一算不？

1+2+3+4+5+6+7+8-9+10=()

【思路導航】1,2,3,4,5,6,7,8,9,10共10個數，我們可以把10個數分成5

組,每組兩個數相加的與事11,它們的與就有5個11即11X5=55,11就是有這組

數中第一個數與最后一個數相加得到的。列式如下：

1+2+3+4+5+6+7+8+9+10

=(1+10)X(10+2)

=11X5

=55

例2:計算。

(1)32+34+36+38+40+42

(2)203+207+211+215+219

【思路導航】(1)共6個數相加，后一個數與前一個數相差都就是2,可以分

成3組,每組的與事32+42=74,也就就是3個74即74X3=222。

(2)共5個數相加,后一個數與前一個數相差都就是4,根據上題,用第一個數

與最后一個數相加203+219=422,乘以數的個數5,再除以2得到。

(1)32+34+36+38+40+42(2)203+207+211+215+219

=(32+42)X64-2=(203+219)X5+2

=74X64-2=422X54-2

=222=1055

例3:有一堆木材疊堆在一起，一共就是20層，第1層有12根，第2層有13根,……

下面每層比上一層多一根,這堆木材共有多少根？

【思路導航】因為這堆木材從第2層起,每層比上面一層多1根,共20層,

所以這堆木材總數為

12+13+14+........+31

=(12+31)X204-2

=43X204-2

=430(根)

答:這堆木材共430根。

1、速算。

(1)1+2+3+4+5+.......+100(2)21+22+23+24+........+50

2、簡便計算。

(1)1+4+7+10+13+16+19(2)71+73+75+77+79+81

(3)48+50+52+54(4)128+138+148+158+168

3、電影院有30拍作為:第一排20個座位,后一排總比前一排多2個座位,最后一

排有78個座位,這個電影院共有多少個座位？

4、有一串數,第1個數就是10,以后每個數比前一個數答5,最后一個數就是90,

這串數連加的與就是多少？

5、有一個鐘，一點鐘敲1下,兩點鐘敲2下，……十二點點鐘敲12下,分針指向6

敲1下，這個鐘一晝夜敲多少下？

第8講:乘法速算

專題分析：

計算乘法時，如果一個因數就是25,另一個因數考慮可拆成4X及，這樣可

“先拆數再擴整”。兩位數、三位數乘以11,可愛喲個“兩頭一拉，中間相加”的

辦法，但要注意頭尾相加作積的中間數就是，哪一位上滿10要向前一位進一。

例1：試著計算下列各題,您發現了什么規律？

(1)18X11(2)38X11(3)432X11

【思路導航】通過計算、觀察可以發現，一個數與11相乘，所得的結果就就

是將這個數的首位與末位拉開分別作為積的最高位與最低位，再依次將這個數相

鄰兩位由個位加起,與寫在十位、百位……哪一位上滿十就向前一位進一。

(1)把8寫在個位上,8與1的與9寫在十位上,1寫在百位上，得18X11=198。

(2)把8寫在個位上,3與8的與為11,把1寫在十位上,同時向百位進1,百

位上3加上1為4,得38X11=418。

(3)把2寫在個位上,2與3的與5寫在十位上,3與4的與7寫在百位上,千

位上寫4,得432X11=4752。

例2:下面的乘法計算有規律不？

(1)24X25：2)21X25(3)25X427(4)25X1923

【思路導航】因為25X4=100,因此一個數與25相乘,我們就瞧這個數里有

幾個4,就有幾個100,余1就加25,余2就加50,余3就加75。

(1)24中有6個4,所以積就是6個100o

⑵21中有5個4余1,所以積就是5個100加25o

(3)427中有106人4余3,所以積就是106個100加75。

(4)1923中有480個4余3,所以積就是480個100加75。

具體計算過程如下：

(1)24X25=100X6=600

(2)21X25=100X5+25=525

(3)25X427=100X106+75=10675

(4)25X1923=100X480+75=48075

例3:您能迅速算出下面各題不？

(1)24X15(2)248X15(3)3456X15

【思路導航】一個因數乘以15,因為15=10+5,那么24X15就可寫成24X

(10+5)也就就是用24加上它的一半再乘以10,24+12=36,再用36X10=360;

248X15就用248加上124得到372,再乘以10為3720;

3456X15就用3456加上1728得到5用4,再乘以10為51840。

一個因數乘以15,也就就是用這個數加上它的一半再乘以10o具體過程如

下：

(1)24X15(2)248X15(3)3456X15

=(24+12)X10=(248+124)X10=(3456+1728)X10

=36X10=372X10=5184X10

=360=3720=51840

拓展訓練：

1、用乘法中11的速算方法計算。

12X1123X1145X1135X11

47X1111X6511X9687X11

135X11603X11329X11872X11

61X11326X1127X11425X11

2、用乘法中25的速算方法計算。

32X2540X2528X25

81X2533X2525X27

473X2525X5225X82

3、用乘法中15的速算方法計算。

32X1574X1528X15

438X15284X15672X15

3596X15920X1542X15

4、您能迅速寫出結果不？

199X9278X99

5、您能速算不？試一試。58X101998X1001

第9講:乘除巧算

專題分析：

前面我們已介紹了有關加、減法中的巧算，其中“湊整”就是巧算中的一種

方法,這種方法同樣可以運用在乘除計算中。

要提高計算能力，除了加、減、乘、除基本運算要熟練之外，還要掌握一定的

運算技巧。巧算中,經常要用到一些運算定律，例如乘法交換律,乘法結合律,乘法

分配律等,靈活運用運算定律,就是提高巧算能力的關鍵。

例1：巧算下面各題。

(1)、25X8(2)^16X125(3)、16X25X25(4)、125X32X25

【思路點撥】(1)25X8(2)16X125

=25X(4X2)二(2X8)X125

=25X4X2=2X(8X125)

=100X2=2X1000

=200=2000

(3)16X25X25(4)125X32X25

二(4X4)X25X25二125義(8X4)X25

=(4X25)X(25X4)=(125X8)X(4X25)

=1OOX100=1000X100

=10000=100000

例2:簡便運算。

(1)1304-5(2)42004-25

【思路點撥】這里可以運用商不變的性質，即被除數與除數同時獷大或縮小相同

的倍數(0除外)，商不變,因而:

(1)1304-5(2)42004-25

=(130X2)-r(5X2)二(4200X4);(25X4)

=2604-10=168004-100

=26=168

例3:計算31X25

【思路點撥】題中31不能被4整除，但31可拆成4X7+3,這樣就得到(4X7+3)

X25,或者把25瞧做100+4也可求出得數。

31X25或31X25

=(4X7+3)X25=31X(1004-4)

=4X7X25+3X25=31X1004-4

=700+75=31004-4

=775二775

拓展訓練：

1、計算

(1)125X27X8(2)125X4X8X25

2、速算

1、(1)25X12(2)48X125

2、(1)125X16X5(2)25X8X5⑶32X25X25

3、簡便運算

72004-253600?2556004-25320004-125

4、巧算

29X2517X25221X25322X25

5、速算

780004-125430004-125

2561X253753X25

第10講應用題(一)

專題分析：

應用題就是我們小學數學中非常重要的一部分內容，它需要我們用學到的數

學知識來解決實際生活中遇到的問題學好應用題的關鍵在于認真分析題意，掌握

數量關系，找到問題的突破口。解答應用題首先要弄清題意,找出題中的條件與問

題,再通過分析題中的數量間的關系,找到解題方法,最后列出算式，算出結果,寫

出答案。關鍵就是要弄清題中的數量關系。

例1:食堂運來一批大天，吃掉24袋,剩下的袋數就是吃掉的2倍。食堂運來大米

多少袋？

【思路點撥】要求食堂運來大米多少袋，必須知道吃掉的袋數與剩下的袋數這兩

個條件，吃掉的袋數已經知道,就是24袋,所以要先求剩下的袋數,再求出共運來

大米的袋數。

（1）剩下多少袋大米？24義2=48（袋）_______________________

（2）一共運來多少袋大米？24+48=72（袋）

綜合算式：24+24X2=72（袋）_______________________________

答:食堂共運來72袋大米。

例2:學校飼養小組養了18只黑兔,養的灰兔的只數就是黑兔的3倍,養的白兔的

只數比灰兔多12只，學校飼養小組養了多少只白兔？

【思路點撥】：要求養3兔的只數,必須要知道灰兔的只數,根據題中灰兔的只數

就是黑兔的3倍，必須要知道黑兔的只數，題中已知，所以要先求灰兔的只數，再

求白兔的只數。

（1）灰兔多少只？18X3=54（只）（2）白兔多少只？54+12=66（只）

綜合算式:____________18X3+12_________________________________

答:學校飼養小組養766只白兔。

例3:文峰超市運來雪碧80箱,運來可樂的箱數就是雪碧的3倍,運來芬達180箱。

三種飲料共運來多少箱？

【思路點撥】：要求三種飲料共運來多少箱,必須要知道三種飲料分析有多少箱,

題中已知雪碧與芬達的箱數，因此要先求可樂的箱,再求三種飲料共運來多少箱。

（1）運來可樂多少箱？80X3=240（箱）__________________________

（2）三種飲料共運來多少箱？80+240+180=500：箱）

綜合算式:_________80+80X3+180______________________________________

答:三種飲料共運來500箱。

拓展訓練：

1、在學雷鋒活動,三年級同學做好事73件,五年級同學做好事的件數就是三年級

的3倍。兩個年級共做好事多少件？

2-,爸爸今年30歲，就是小明年齡的5倍,爸爸今年比小明大多少歲？

3、花圃里有48盆雞冠花,就是郁金香的4倍,郁金香的盆數比月季花少18盆,

花I削里有多少盆月季花？

4、學校體育器材室足球84只，就是排球只數的2倍,籃球有56只，三種球一共有

多少只？

5、李老師上班時坐車,下班時步行,在路上共用50分鐘，如果往返都步行要用80

分鐘。如果往返都坐車，只需多少分鐘？

第11講應用題（二）

專題分析：

一般應用題的條件與問題變換的形式多，數量關系也比較復雜，但只要善于

分析、善于思考善于抓住關鍵，不管什么問題都能迎刃而解。解答一般應用題的

關鍵就是要掌握數量關系，了解題中條件與條件、條件與問題之間的聯系,找出解

題方法，靈活解題。

例1:用一個杯子向一個空瓶里倒牛奶,若倒進去2杯牛奶,連瓶共重450克,若倒

進5杯牛奶連瓶共重750克,一杯牛奶與一個空瓶各重多少克？

【思路點撥】根據題目的條件,我們可以寫出兩個關系式：

2杯牛奶的重量+1個空瓶的重量=450克

5杯牛奶的重量+1個空瓶的重量=750克比較兩式,可得：

（750-450）彳（5-2）=100（克）

450-100義2:250（克）

答：杯牛奶重100克，個空瓶重250克。

例2:一共有紅、黃、綠三種顏色的珠子120粒。如果把紅色珠子分放在9個盒

子里,把黃色珠子分放在6個盒子里,把綠色珠子分放在5個盒子里,那么每個盒

子里的珠子粒數相等。三種顏色的珠子各多少粒？

【思路點撥】把120粒珠子分放到盒子里以后,每個盒子里珠子粒數相等,那么就

可以用120?（6+9+5）=6（粒）求到每個盒子里珠子的粒數，然后再求三種顏色的

珠子各幾粒。

1204-（6+9+5）=6（粒）黃色珠子:6X6=36（粒）

紅色珠子:6X9=54（粒）綠色珠子:6X5=30（粒）

答:紅色、黃色、綠色珠子分別就是54粒、36粒、30粒。

例3:在6個筐里放著同樣多的雞蛋。如果從每個筐里拿出50個雞蛋,則6個筐

里剩下的雞蛋個數的總與等于原來兩個筐里雞蛋個數的總與。原來每個筐里有雞

蛋多少個？

【思路點撥】根據“6個筐里剩下的雞蛋個數的總與等于原來兩個筐里雞蛋個數

的總與”,說明6個筐里取出的雞蛋個數的總與等于原來(6-2)二4(個)筐里雞蛋的

總與,用取出的50X6=300(個)雞蛋除以4就可求到原來每個筐里雞蛋的個數。

50X64-(6-21=75(^)

答:原來每個筐里有雞蛋75個。

拓展訓練：

1、有一筐蘋果共重56千克,賣掉蘋果的一半,還剩下31千克，蘋果與筐各多少干

克？

2、小李開車從甲地到乙地,上午10時出發,計劃每小時行80千米，下午2小時到

達乙地,結果實際到達時間為下午3時,實際每小時比計劃少行多少千米？

3、五個箱子里裝著同樣多的梨,如果從每個箱子里拿出30個梨,五個箱子里剩下

的梨個數總與等于原來兩個箱子里的梨個數之與，原來每個箱子里有多少個梨？

4、公園里有月季、菊花、郁金香共540盆,搬2盆菊花,再搬4盆郁金香走,那么

三種花便同樣多，原來這三種花各多少盆？

5、全班同學吃水果,先平均分給8個小組,每小組7人,每人分到2個水果，一共

要買多少水果？

第12講:植樹問題

專題分析：

解答這類問題的關鍵就是要弄清總距離、間隔長與棵樹三者之間的關系解答

植樹問題要考慮植樹的方式：1、在不封閉的線路上植樹，棵樹=總距離+間隔長

+1;2、在封閉的線路上植樹，棵樹=總距離+間隔長

例1:參加閱兵的戰士有1200人，平均分成5個大隊，隊距就是7、5米、每隊6

人為一排，排距就是2米、整個隊伍的總長有多少米？

由題意，隊伍總長為：

7、5X(5-D+2X(12004-54-6-1)X5

二7、5X4+2X39X5

=420(米)

答:整個隊伍的總長有420米。

例2:鋸一條4米長的圓柱形的鋼條，鋸5段耗時1小時20分、如果把這樣的鋼

條鋸成半米長的小段，需要多少分鐘？

由題意，所需時間為：

鋸一刀所需時間又要鋸的刀數、

=(60X1+20)4-(5-1)X(44-0>5-1)

=80+4X7

二140(分鐘)

答:需要140分鐘。

例3:在一個正方形的場地四周種樹，四個頂點都有一棵,這樣每邊都種有24棵,

四周共種多少棵樹？

由題意，四周共有：(24-1)X4=92(棵)

拓展訓練：

1、填空題

(1)、在相距100米的兩樓之間栽樹,每隔10米栽1棵,共栽了棵樹、

(2)、圓形滑冰場周長400米,每隔20米裝一盞燈,共要裝盞燈、

(3)、一段公路長3600米,在公路兩旁每隔9米栽一棵梧桐樹,兩端都栽,共栽

梧桐樹棵、

(4)、在一個半徑就是125米的圓形花園周圍以等距離種白楊樹157棵,則兩樹

間的距離就是米、

(5)、一個湖泊周長1800米,沿湖泊周圍每隔3米栽一棵柳樹,每兩棵柳樹中間

栽一棵桃樹,湖泊周圍栽柳樹棵,栽桃樹棵、

(6)、一塊三角形地,三邊之長分別為156米、234米、186米,要在三邊上植樹,

株距6米,三個角上各有一棵,共植樹棵、

(7)、一條馬路長440米,在路的兩旁每隔8米種一棵樹,兩邊都種,共種棵

樹、

(8)、兩棵柳樹相距408米,計劃在這兩棵樹之間補栽小樹23棵,每兩棵樹訶隔

相等，則樹的間隔米、

(9)、公路的每邊相隔7米有一棵槐樹,芳芳乘電車3分鐘瞧到公路的一邊有槐

樹151棵，電車的速度就是每分鐘米、

(10)、國慶節接受檢閱的一列車隊共52輛,每輛車長4米,前后每輛車相隔6

米,車隊每分鐘行駛105米、這列車隊要通過536米長的檢閱場地,要分鐘、

2、一人以不變的速度在小路上散步，從第一棵樹走到第12棵樹用了11分鐘，如

果這個人走了25分鐘,應走到的第兒棵樹？

3、在一條長40米的大路兩側栽樹,從起點到終點一共載了22棵，已知相鄰兩棵

樹之間的距離都相等，問相鄰兩棵樹之間的距離就是多少米？

4.甲、乙兩人比賽爬樓梯，甲跑到5樓時，乙恰好跑到3樓，照這樣計算，甲跑到

17樓時'乙跑到多少層樓？

5、一個圓形跑道長300米,沿跑道周圍每隔6米插一面紅旗,每兩面紅旗中間插

一面黃旗,跑到周圍各插了多少面紅旗與黃旗？

6、三年級880人進行了體操比賽,每22人排成一排，兩排中間隔1米,首尾兩排

相隔多少米？

第13講:重疊問題

專題分析：

解答重疊問題時要用到數學中的一個重要原理一一包含與排除原理，即當兩

個計數部分有重復包含時,為了不重復的計數,應從它們的與中排除重復部分。

例1：小朋友排隊做操,小明從前數起排在第4個，從后數起排在第7個。這次小

朋友共有多少人？

【思路點撥】

oooeoooooo

如圖:4+7—1=10(7k)

例2:同學們排隊跳舞,每行、每列人數同樣多。小紅的位置無論從前數從后數,

從左數還就是從右數起都就是第4個。跳舞的共有多少人？

【思路點撥】

每排（列）有：4+4—1二7（人）

共有:7義7=49（人）

例3:把兩段一樣長的紙條粘合在一起，形成一段更長的紙條。這段更長的紙條

長30厘米，中間重疊部分就是6厘米,原來兩段紙條各長多少厘米？

【思路點撥】（30+6）+2=18（厘米）

答:原來兩段紙條各長18厘米。

拓展訓練：

1-,學校組織瞧文藝演此冬冬的座位從左數起就是第12個，從右數起就是第21

個。這一行座位有多少個？

2、把兩塊一樣長的木板釘在一起，釘成一塊長35厘米的木板。中間重合部分長

11厘米,這兩塊木板各長多少厘米？

3、兩根木棍放在一起:如圖），從頭到尾共長66厘米，其中一根木棍長48厘米,

中間重疊部分長12厘米。另一根木棍長多少厘米？

4、兩塊木板各長75厘米，像下圖這樣釘成一塊長130厘米的木板，中間重合部分

就是多少厘米？

5、三⑸班有42名同學,會下象棋的有21名同學，會下圍棋的有17名，兩種棋都

不會的有10名。兩種旗都會下的有多少名？

6、(1)三(4)班做完語文作業的有37人，做完數學作業的有42人,兩種作業都完

成的有31人,每人至少完成一種作業。三(4)班共有學生多少人？

(2)兩塊木板各長90厘米,像下圖這樣釘成一塊木板，中間重合部分就是15厘米,

這塊釘在一起的木板總長多少厘米？

第14講:簡單枚舉

專題分析：

枚舉就是一種常見的分析問題、解決問題的方法。一般地，要根據問題要求，

一一列舉問題解答。運用枚舉法解應用題時必須注意無重復、無遺漏，因此必須

有次序、有規律的進行枚舉。

例1:新華書店有3種大同的英語書,4種不同的數學讀物銷售。小明想買一種英

語書與一種數學讀物,共有多少種不同買法？

【思路點撥】英1——數1,英1——數2,英1——數3,英1——數4;

英2一—數1,英2一一數2,英2一一數3,英2一一數4;

英3一—數1,英3一一數2,英3一一數3,英3一一數4。3X4=12(種)

例2:用2、3、5、7四個數字，可以組成多少個不同的四位數？

【思路點撥】

分別就是：2357、2375、2537、2573、2735、2753;

3257、1275、3527、3572、3725,3752;

5237、5273、5327、5372、5723、5732;

7235、7253、7325、7352、7523、7532答：可以組成24個不同的

四位數。

例3:一條公路上，共有8個站點。如果每個起點到終點只用一種車票(中間至少

相隔3個車站)，那么共有多少種不同的車票？

①②③④⑤?⑦⑧

I111

［思路點撥］―――—―—

如圖,按要求可以有票的種類就是：

①⑤、①⑥、①⑦、①⑧、②⑥、②⑦、②⑧、③⑦、③⑧、④⑧；

⑧④、⑧③、⑧②、⑧①、⑦③、⑦②、⑦①、⑥②、⑥①、⑤①。

（4+3+2+DX2=20（種）

拓展訓練：

1、用紅、黃、藍三種顏色涂圓圈，每個圓圈涂一種顏色，一共有多少種不同的涂

法？

2、一個長方形的周長就是30厘米,如果它的長與寬都就是整厘米數,那么這個長

方形的面積有多少種可能值？

3、把15個玻璃球分成數量不同的4