第十四章全等三角形14.3角的平分線第2課時角的平分線的判定

知識關聯探究與應用 課堂小結與檢測

1.角的平分線的性質定理是什么?2.回憶這個定理的證明過程，說一下文字證明題的一般步驟.知識關聯角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等(1)根據題意畫圖，標注字母，寫出已知.(2)觀察圖形，由幾何直觀猜想命題正確，寫出求證.(3)分析問題，寫出證明過程.

【情境問題】

在我們已經學過的定理中，有一些題設和結論是可以互換的，比如平行線的性質定理和判定定理，你能說出將角的平分線的性質定理的題設和結論互換得到的命題嗎?探究與應用角的內部到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上．思考：這個結論正確嗎？

【探究1】

探索角的平分線的判定定理

【嘗試交流】

對于上面得到的新命題，如果正確，請給予證明；如果不正確，請舉出反例，并畫圖說明.探究與應用(1)根據題意畫圖，標注字母，寫出已知.已知

:

P是∠AOB內部的一點，PE⊥OA，PF⊥OB，垂足分別為E、F，PE=PF.(2)觀察圖形，由幾何直觀猜想命題正確，寫出求證.求證

:

點P在∠AOB的平分線上.(3)分析問題，寫出證明過程.

【探究1】

探索角的平分線的判定定理【嘗試交流】探究與應用在Rt△POE和Rt△POF

中，

OP=OP（公共邊），PE=PF（已知），∴Rt△POE≌Rt△POF（HL）.｛

∴點P在∠AOB

角的平分線上.∴∠EOP=∠FOP

【探究1】用正負數表示具有相反意義的量【概括新知】探究與應用判定定理：角的內部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上.PAOBCDE應用所具備的條件：（1）位置關系：點在角的內部；（2）數量關系：該點到角兩邊的距離相等.定理的作用：判斷點是否在角平分線上.應用格式：∵PD⊥OA,PE⊥OB，PD=PE.∴點P在∠AOB的平分線上.

【探究1】

探索角的平分線的判定定理探究與應用【概括新知】圖形已知條件結論C12PDEOCB1A2PDEOP平分∠AOBPD⊥OA于DPE⊥OB于EPD=PEPDEOBAPDEC角的平分線的性質和判定的區別與聯系兩個定理的條件與結論是相反的PD⊥OA于DPE⊥OB于EPD=PEOP平分∠AOB

【理解應用】探究與應用

例1：如圖，要在S區建一個貿易市場，使它到鐵路和公路距離相等，離公路與鐵路交叉處500米，這個集貿市場應建在何處（比例尺為1︰20000）？DCS解：作夾角的角平分線OC，截取OD=2.5cm,D即為所求.O方法點撥：根據角平分線的判定定理，要求作的點到兩邊的距離相等，一般需作這兩邊直線形成的角的平分線，再在這條角平分線上根據要求取點.

【探究2】三角形的內角平分線

動手操作探究與應用分別畫出下列三角形三個內角的平分線，你發現了什么？結論：三角形的三條角平分線相交于一點

【探究2】三角形的內角平分線

動手操作探究與應用分別過交點作三角形三邊的垂線，用刻度尺量一量，每組垂線段，你發現了什么？

結論：三角形的三條角平分線交于一點，并且這點到三邊的距離相等.

【探究2】三角形的內角平分線探究與應用已知：如圖，△ABC的角平分線BM，CN相交于點P，求證：(1)點P到三邊AB，BC，CA的距離相等.證明結論D

E

F

A

B

C

P

N

M

分析:(1)由已知可得點P到邊AB、BC的距離相等，點P到邊BC，CA的距離相等，由此可得點P到三邊的距離相等。同理PE=PF.∴PD=PE=PF.即點P到三邊AB、BC、CA的距離相等.證明:(1)過點P作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥CA，垂足分別為D、E、F.∵BM是△ABC的角平分線，點P在BM上,∴PD=PE.求證：(2)△ABC的三條角平分線交于一點.探究與應用

【探究2】三角形的內角平分線證明結論D

E

F

A

B

C

P

N

M

分析：要證△ABC的三條角平分線交于一點，只要證點P也在∠A的平分線上.證明：由(1)得，點P到邊AB，CA的距離相等,∴點P在∠A的平分線上.∴△ABC的三條角平分線交于一點.

結論：三角形的三條角平分線交于一點，并且這點到三邊的距離相等.例2如圖所示，CE⊥AB于點E，BF⊥AC于點F，BF、CE交于點D，且BD=CD.求證:AD平分∠BAC.探究與應用

【理解應用】

證明：∠BED＝∠CDF，∠BDF＝∠CDF.

BD＝CD，∵PD⊥OA，PE⊥OB.∴∠PDO=∠PEO=90°，在△BDE和△CDF中，∴△BDE≌△CDF(AAS)，∴DE＝DF.又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD平分∠BAC.探究與應用

【理解應用】

MENABCPOD例3：如圖，在直角△ABC中，∠C＝90°，AP平分∠BAC，BD平分∠ABC，AP，BD交于點O，過點O作OM⊥AC，已知OM＝4.(1)求點O到△ABC三邊的距離和.溫馨提示：不存在垂線段———構造應用4+4+4=12探究與應用(2)若△ABC的周長為32，求△ABC的面積.解：連接OCMENABCPOD

【理解應用】

探究與應用

【理解應用】

如圖，在△ABC中，點O是△ABC內一點，且點O到△ABC三邊的距離相等．若∠A＝40°，則∠BOC的度數為(

)A．110°B．120°C．130°D．140°A變式

【小結】課堂小結與檢測角的平分線的判定內容角的內部到角兩邊距離相等的點在這個角的平分線上作用判斷一個點是否在角的平分線上結論

三角形的角平分線相交于內部一點，并且這點到三邊的距離相等.

【檢測】課堂小結與檢測1．如圖，AD⊥DC，AB⊥BC，若AB＝AD，∠BCD＝60°，則∠DAC的度數為(

)A．60°

B．30°

C．120°

D．90°A

【檢測】課堂小結與檢測2．如圖，在CD上求一點P，使它到邊OA，OB的距離相等，則點P是(

)A．線段CD的中點

B．過點O作CD的垂線所得垂足C．CD與∠AOB的平分線的交點

D．以上均不對C

【檢測】課堂小結與檢測3.如圖，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分線交于點O，連接AO并延長交BC于點D，OH⊥BC于點H

.

若∠BAC=60°，OH=5cm，則∠BAD=

°，點O到AB的距