第十四章全等三角形14.3角的平分線第2課時(shí)角的平分線的判定

知識(shí)關(guān)聯(lián)探究與應(yīng)用 課堂小結(jié)與檢測(cè)

1.角的平分線的性質(zhì)定理是什么?2.回憶這個(gè)定理的證明過(guò)程，說(shuō)一下文字證明題的一般步驟.知識(shí)關(guān)聯(lián)角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等(1)根據(jù)題意畫(huà)圖，標(biāo)注字母，寫(xiě)出已知.(2)觀察圖形，由幾何直觀猜想命題正確，寫(xiě)出求證.(3)分析問(wèn)題，寫(xiě)出證明過(guò)程.

【情境問(wèn)題】

在我們已經(jīng)學(xué)過(guò)的定理中，有一些題設(shè)和結(jié)論是可以互換的，比如平行線的性質(zhì)定理和判定定理，你能說(shuō)出將角的平分線的性質(zhì)定理的題設(shè)和結(jié)論互換得到的命題嗎?探究與應(yīng)用角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上．思考：這個(gè)結(jié)論正確嗎？

【探究1】

探索角的平分線的判定定理

【嘗試交流】

對(duì)于上面得到的新命題，如果正確，請(qǐng)給予證明；如果不正確，請(qǐng)舉出反例，并畫(huà)圖說(shuō)明.探究與應(yīng)用(1)根據(jù)題意畫(huà)圖，標(biāo)注字母，寫(xiě)出已知.已知

:

P是∠AOB內(nèi)部的一點(diǎn)，PE⊥OA，PF⊥OB，垂足分別為E、F，PE=PF.(2)觀察圖形，由幾何直觀猜想命題正確，寫(xiě)出求證.求證

:

點(diǎn)P在∠AOB的平分線上.(3)分析問(wèn)題，寫(xiě)出證明過(guò)程.

【探究1】

探索角的平分線的判定定理【嘗試交流】探究與應(yīng)用在Rt△POE和Rt△POF

中，

OP=OP（公共邊），PE=PF（已知），∴Rt△POE≌Rt△POF（HL）.｛

∴點(diǎn)P在∠AOB

角的平分線上.∴∠EOP=∠FOP

【探究1】用正負(fù)數(shù)表示具有相反意義的量【概括新知】探究與應(yīng)用判定定理：角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.PAOBCDE應(yīng)用所具備的條件：（1）位置關(guān)系：點(diǎn)在角的內(nèi)部；（2）數(shù)量關(guān)系：該點(diǎn)到角兩邊的距離相等.定理的作用：判斷點(diǎn)是否在角平分線上.應(yīng)用格式：∵PD⊥OA,PE⊥OB，PD=PE.∴點(diǎn)P在∠AOB的平分線上.

【探究1】

探索角的平分線的判定定理探究與應(yīng)用【概括新知】圖形已知條件結(jié)論C12PDEOCB1A2PDEOP平分∠AOBPD⊥OA于DPE⊥OB于EPD=PEPDEOBAPDEC角的平分線的性質(zhì)和判定的區(qū)別與聯(lián)系兩個(gè)定理的條件與結(jié)論是相反的PD⊥OA于DPE⊥OB于EPD=PEOP平分∠AOB

【理解應(yīng)用】探究與應(yīng)用

例1：如圖，要在S區(qū)建一個(gè)貿(mào)易市場(chǎng)，使它到鐵路和公路距離相等，離公路與鐵路交叉處500米，這個(gè)集貿(mào)市場(chǎng)應(yīng)建在何處（比例尺為1︰20000）？DCS解：作夾角的角平分線OC，截取OD=2.5cm,D即為所求.O方法點(diǎn)撥：根據(jù)角平分線的判定定理，要求作的點(diǎn)到兩邊的距離相等，一般需作這兩邊直線形成的角的平分線，再在這條角平分線上根據(jù)要求取點(diǎn).

【探究2】三角形的內(nèi)角平分線

動(dòng)手操作探究與應(yīng)用分別畫(huà)出下列三角形三個(gè)內(nèi)角的平分線，你發(fā)現(xiàn)了什么？結(jié)論：三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn)

【探究2】三角形的內(nèi)角平分線

動(dòng)手操作探究與應(yīng)用分別過(guò)交點(diǎn)作三角形三邊的垂線，用刻度尺量一量，每組垂線段，你發(fā)現(xiàn)了什么？

結(jié)論：三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)，并且這點(diǎn)到三邊的距離相等.

【探究2】三角形的內(nèi)角平分線探究與應(yīng)用已知：如圖，△ABC的角平分線BM，CN相交于點(diǎn)P，求證：(1)點(diǎn)P到三邊AB，BC，CA的距離相等.證明結(jié)論D

E

F

A

B

C

P

N

M

分析:(1)由已知可得點(diǎn)P到邊AB、BC的距離相等，點(diǎn)P到邊BC，CA的距離相等，由此可得點(diǎn)P到三邊的距離相等。同理PE=PF.∴PD=PE=PF.即點(diǎn)P到三邊AB、BC、CA的距離相等.證明:(1)過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥CA，垂足分別為D、E、F.∵BM是△ABC的角平分線，點(diǎn)P在BM上,∴PD=PE.求證：(2)△ABC的三條角平分線交于一點(diǎn).探究與應(yīng)用

【探究2】三角形的內(nèi)角平分線證明結(jié)論D

E

F

A

B

C

P

N

M

分析：要證△ABC的三條角平分線交于一點(diǎn)，只要證點(diǎn)P也在∠A的平分線上.證明：由(1)得，點(diǎn)P到邊AB，CA的距離相等,∴點(diǎn)P在∠A的平分線上.∴△ABC的三條角平分線交于一點(diǎn).

結(jié)論：三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)，并且這點(diǎn)到三邊的距離相等.例2如圖所示，CE⊥AB于點(diǎn)E，BF⊥AC于點(diǎn)F，BF、CE交于點(diǎn)D，且BD=CD.求證:AD平分∠BAC.探究與應(yīng)用

【理解應(yīng)用】

證明：∠BED＝∠CDF，∠BDF＝∠CDF.

BD＝CD，∵PD⊥OA，PE⊥OB.∴∠PDO=∠PEO=90°，在△BDE和△CDF中，∴△BDE≌△CDF(AAS)，∴DE＝DF.又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD平分∠BAC.探究與應(yīng)用

【理解應(yīng)用】

MENABCPOD例3：如圖，在直角△ABC中，∠C＝90°，AP平分∠BAC，BD平分∠ABC，AP，BD交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作OM⊥AC，已知OM＝4.(1)求點(diǎn)O到△ABC三邊的距離和.溫馨提示：不存在垂線段———構(gòu)造應(yīng)用4+4+4=12探究與應(yīng)用(2)若△ABC的周長(zhǎng)為32，求△ABC的面積.解：連接OCMENABCPOD

【理解應(yīng)用】

探究與應(yīng)用

【理解應(yīng)用】

如圖，在△ABC中，點(diǎn)O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且點(diǎn)O到△ABC三邊的距離相等．若∠A＝40°，則∠BOC的度數(shù)為(

)A．110°B．120°C．130°D．140°A變式

【小結(jié)】課堂小結(jié)與檢測(cè)角的平分線的判定內(nèi)容角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上作用判斷一個(gè)點(diǎn)是否在角的平分線上結(jié)論

三角形的角平分線相交于內(nèi)部一點(diǎn)，并且這點(diǎn)到三邊的距離相等.

【檢測(cè)】課堂小結(jié)與檢測(cè)1．如圖，AD⊥DC，AB⊥BC，若AB＝AD，∠BCD＝60°，則∠DAC的度數(shù)為(

)A．60°

B．30°

C．120°

D．90°A

【檢測(cè)】課堂小結(jié)與檢測(cè)2．如圖，在CD上求一點(diǎn)P，使它到邊OA，OB的距離相等，則點(diǎn)P是(

)A．線段CD的中點(diǎn)

B．過(guò)點(diǎn)O作CD的垂線所得垂足C．CD與∠AOB的平分線的交點(diǎn)

D．以上均不對(duì)C

【檢測(cè)】課堂小結(jié)與檢測(cè)3.如圖，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分線交于點(diǎn)O，連接AO并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)D，OH⊥BC于點(diǎn)H

.

若∠BAC=60°，OH=5cm，則∠BAD=

°，點(diǎn)O到AB的距