2024—2025學年江蘇省南京市、鹽城市高三下學期第一次模擬考試數學試卷

一、單選題(★★)1.設集合.若，則實數的取值范圍是（）

A．B．C．D．(★★)2.已知復數滿足（為虛數單位），則（）

A．4B．2C．1D．(★★★)3.已知均為單位向量.若，則與夾角的大小是（）

A．B．C．D．(★)4.某項比賽共有10個評委評分，若去掉一個最高分與一個最低分，則與原始數據相比，一定不變的是（）

A．極差B．45百分位數C．平均數D．眾數(★★)5.已知數列為等比數列，公比為2，且.若，則正整數的值是（）

A．4B．5C．6D．7(★★)6.在銳角中，角所對的邊分別為.若，則（）

A．B．C．1D．2(★★★★)7.已知雙曲線的左焦點、右頂點分別為，過點傾斜角為的直線交的兩條漸近線分別于點.若為等邊三角形，則雙曲線的漸近線方程是（）

A．B．C．D．(★★★)8.已知函數，則關于的不等式的解集是（）

A．B．C．D．二、多選題(★★)9.已知，則（）

A．B．C．D．(★★★)10.在邊長為2的菱形中，，將菱形沿對角線折成四面體，使得，則（）

A．直線與直線所成角為B．直線與平面所成角的余弦值為C．四面體的體積為D．四面體外接球的表面積為(★★★★)11.已知函數滿足：對任意，且當時，.下列說法正確的是（）

A．B．為偶函數C．當時，D．在上單調遞減三、填空題(★★★)12.若函數的圖象關于直線對稱，則實數的值是__________.(★★★★)13.已知橢圓的上頂點為，直線交于兩點.若的重心為，則實數的值是__________.(★★★★)14.將9個互不相同的向量，填入的方格中，使得每行、每列的三個向量的和都相等，則不同的填法種數是__________.四、解答題(★★★)15.如圖，內接于圓為圓的直徑，平面為線段中點.(1)求證：平面平面；(2)若，求平面與平面所成銳二面角的余弦值.(★★★)16.已知數列的前項和滿足為常數，且.(1)求的值；(2)證明：為等差數列；(3)若，求的取值范圍.(★★★)17.甲、乙兩人組隊準備參加一項挑戰比賽，該挑戰比賽共分關，規則如下：首先某隊員先上場從第一關開始挑戰，若挑戰成功，則該隊員繼續挑戰下一關，否則該隊員被淘汰，并由第二名隊員接力，從上一名隊員失敗的關卡開始繼續挑戰，當兩名隊員均被淘汰或者關都挑戰成功，挑戰比賽結束.若甲每一關挑戰成功的概率均為，乙每一關挑戰成功的概率均為，且甲、乙兩人每關挑戰成功與否互不影響，每關成功與否也互不影響.(1)已知甲先上場，，①求挑戰沒有一關成功的概率；②設為挑戰比賽結束時挑戰成功的關卡數，求；(2)如果關都挑戰成功，那么比賽挑戰成功.試判斷甲先出場與乙先出場比賽挑戰成功的概率是否相同，并說明理由.(★★★★)18.已知函數.(1)當時，求證：；(2)若對于恒成立，求的取值范圍；(3)若存在，使得，求證：.(★★★★★)19.設是由直線構成的集合，對于曲線，若上任意一點處的切線均在中，且中的任意一條直線都是上某點處的切線，則稱為的包絡曲線.(1)已知圓為的包絡曲線，判斷直線（為常數，）與