系統(tǒng)狀態(tài)估計(jì)的理論基礎(chǔ)綜述目錄TOC\o"1-3"\h\u22706系統(tǒng)狀態(tài)估計(jì)的理論基礎(chǔ)綜述 1322501.1系統(tǒng)模型 1109171.1.1目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)模型 1169731.1.2傳感器的測(cè)量模型 522551.2濾波器框架 665351.3卡爾曼濾波算法 71.1系統(tǒng)模型目標(biāo)、觀測(cè)器REF_Ref24546\n\h[18]、坐標(biāo)系共同構(gòu)成了一個(gè)測(cè)量系統(tǒng)。對(duì)一般系統(tǒng)的狀態(tài)估計(jì)開展研究，要獲得系統(tǒng)內(nèi)部信息，從而必須進(jìn)行系統(tǒng)建模，狀態(tài)檢測(cè)及狀態(tài)反饋REF_Ref24549\n\h[19]。而這三類問題均稱之為觀測(cè)問題，以上目標(biāo)可以共同保證系統(tǒng)運(yùn)行狀態(tài)可觀。對(duì)目標(biāo)和觀測(cè)器進(jìn)行建模分析，對(duì)研究系統(tǒng)的狀態(tài)估計(jì)問題有著重要的作用。1.1.1目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)模型1）勻速模型（ConstantVelocity,CV）狀態(tài)向量可以表示為： （1.1）四個(gè)狀態(tài)變量依次為橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)，x軸方向移動(dòng)速度，y軸方向移動(dòng)速度。狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程可以表示為： （1.2）勻加速模型（ConstantAcceleration,CA）狀態(tài)向量為： （1.3）四個(gè)狀態(tài)變量依次為橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)，與x軸夾角（逆時(shí)針為正），線速度，加速度。狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程為： （1.4）CV和CA模型易于實(shí)現(xiàn)，假設(shè)速度是常量，實(shí)際上簡化了目標(biāo)實(shí)際移動(dòng)的形式，因?yàn)榇蠖鄶?shù)情況下目標(biāo)的移動(dòng)并非完全理想的直線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)目標(biāo)進(jìn)行復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)時(shí)這兩種運(yùn)動(dòng)模型就不適用了。3）恒定轉(zhuǎn)率和速度模型（ConstantTurnRateandVelocity,CTRV）CTRV實(shí)際上是CV的一般形式，當(dāng)角速度=0時(shí)，就是CV的形式。CTRV模型假設(shè)對(duì)象沿直線前進(jìn)，同時(shí)還能以固定的轉(zhuǎn)彎速率和恒定的速度大小移動(dòng)，可以看做一段圓弧運(yùn)動(dòng)。圖1.1-1恒定轉(zhuǎn)率和速度模型圖狀態(tài)向量別表示為： （1.5）那么狀態(tài)變化率為： （1.6）狀態(tài)向量中的四個(gè)狀態(tài)變量依次為橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)，速度大小用v表示；第四個(gè)參數(shù)是偏航角，表示方向；第五個(gè)參數(shù)是估算的角速度。其中： （1.7）狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程為： （1.8） 當(dāng)偏航角為0，即目標(biāo)實(shí)際上是直線運(yùn)動(dòng)時(shí)： （1.9）CTRV模型中噪聲的引入主要來源于兩處：直線加速度和偏航角加速度噪聲，假定直線加速度和偏航角加速度滿足均值為0，方差分別為的高斯分布。由于均值為0，在狀態(tài)轉(zhuǎn)移公式中的u就可以不予考慮。直線加速度和偏航角加速度對(duì)狀態(tài)量（x，y，v，θ，ω）的影響的表達(dá)式如下： （1.10）其中，為直線上和轉(zhuǎn)角上的加速度，這里作為處理噪聲，分解公式（1.10）： （1.11）此處理噪聲的協(xié)方差矩陣Q的表達(dá)式為： （1.12）其中： （1.13）因此，在CTRV模型中的處理噪聲的協(xié)方差矩陣Q的計(jì)算公式為： （1.14）4）恒定轉(zhuǎn)率和加速度模型（ConstantTurnRateandAcceleration,CTRA）同CTRV相比，轉(zhuǎn)速不變，說明在相同時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)過的角度是一樣的，徑向由勻速變成勻加速，那么對(duì)應(yīng)的，位移會(huì)變長。狀態(tài)向量為： （1.15）狀態(tài)向量中的六個(gè)狀態(tài)變量依次為橫坐標(biāo)；縱坐標(biāo)；航轉(zhuǎn)角，表示方向；速度大小用v表示；第五個(gè)參數(shù)是加速度；第六個(gè)參數(shù)是轉(zhuǎn)向角速度。加速度和轉(zhuǎn)向角速度近似為零，過程噪聲 （1.16）分別為直線加速率和轉(zhuǎn)向角速率噪聲的功率譜密度。狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為： （1.17）其中： （1.18） （1.19）1.1.2傳感器的測(cè)量模型假設(shè)有單個(gè)傳感器觀測(cè)站位于原點(diǎn)O，目標(biāo)在檢測(cè)區(qū)域內(nèi)沿直線方向移動(dòng)。采樣時(shí)間為，用s(k)表示目標(biāo)在采樣時(shí)刻處的真實(shí)值，用z(k)表示在時(shí)刻處傳感器的觀測(cè)值。速度、位置模型如果傳感器探測(cè)的是與目標(biāo)之間的速度和距離：根據(jù)以上設(shè)定，有觀測(cè)模型： （1.20）式中，v(k)表示傳感器的觀測(cè)誤差（觀測(cè)噪聲），可假設(shè)它是零均值、方差為的估計(jì)值可以通過大量傳感器觀測(cè)數(shù)據(jù)用統(tǒng)計(jì)的方法得到。要解決的問題是如何從被觀測(cè)噪聲v(k)污染的觀測(cè)值z(mì)(k)中求出真實(shí)信息s(k)的最優(yōu)估計(jì)。設(shè)在處目標(biāo)運(yùn)行速度為，則勻速運(yùn)動(dòng)的公式為： （1.21） （1.22）式中，w(k)是由摩擦力、風(fēng)力等外部的隨機(jī)因素決定的。假設(shè)它是零均值、方差為的獨(dú)立于v(k)的白噪聲。此時(shí)，目標(biāo)狀態(tài)含有位置和速度，即： （1.23）2）測(cè)距、測(cè)角模型如果傳感器探測(cè)的是與目標(biāo)之間的距離，則觀測(cè)方程為： （1.24）式中，目標(biāo)位置P(x(k),y(k))是未知的，而傳感器節(jié)點(diǎn)位置是已知的。同理，如果是純方位目標(biāo)檢測(cè)，觀測(cè)量為方位角，則觀測(cè)方程可以寫為： （1.25）1.2濾波器框架在傳感器采集數(shù)據(jù)的過程中，難免因?yàn)楦鞣N各樣的干擾產(chǎn)生異常值，濾波分為電路濾波和算法濾波。電路濾波是從源頭上解決問題，但是使用成本比較高，即使使用了電路濾波也是不能保證每次采集的數(shù)據(jù)都是準(zhǔn)確的，因?yàn)樵趯?shí)際的工作狀態(tài)中遇到的干擾五花八門，而算法濾波的成本比較低，基本思想是采集多次數(shù)據(jù)對(duì)這些采集的數(shù)據(jù)進(jìn)行處理最后得出一個(gè)可靠的數(shù)據(jù)放入數(shù)據(jù)庫。因此在實(shí)際工況中，使用濾波算法來進(jìn)行數(shù)據(jù)濾波更為常見和實(shí)用。本文主要介紹的兩種濾波算法——擴(kuò)展卡爾曼濾波算法和無跡卡爾曼濾波算法都是由卡爾曼濾波算法改進(jìn)而來的，采用的均是基于迭代的最優(yōu)估計(jì)方式，這兩種算法都可以理解為系統(tǒng)的線性化與卡爾曼濾波結(jié)合的算法。根據(jù)以上信息，我們可以把擴(kuò)展卡爾曼濾波算法和無跡卡爾曼濾波算法總結(jié)歸納為以下幾步：圖1.2-2EKF與UKF算法流程圖1.3卡爾曼濾波算法擴(kuò)展卡爾曼濾波算法和無跡卡爾曼濾波算法，都是從卡爾曼濾波算法中改進(jìn)而來以適應(yīng)非線性的系統(tǒng)。這兩種算法都可以理解為系統(tǒng)的線性化與卡爾曼濾波結(jié)合的算法，不同點(diǎn)之處在于二者的線性化方式。其中擴(kuò)展卡爾曼濾波算法使用泰勒公式把非線性方程展開并舍棄二階及以上的高階項(xiàng)，以達(dá)到線性化的目的；而無跡卡爾曼使用無跡變換，用固定數(shù)量的參數(shù)支近似一個(gè)高斯分布，從逼近采樣點(diǎn)的分布這一角度進(jìn)行線性化。因此，擴(kuò)展卡爾曼濾波算法和無跡卡爾曼濾波算法的流程都可以理解為線性化加上卡爾曼濾波的過程。下面將對(duì)卡爾曼濾波方法進(jìn)行詳細(xì)介紹。卡爾曼濾波（Kalmanfiltering）是一種利用\t"/item/%E5%8D%A1%E5%B0%94%E6%9B%BC%E6%BB%A4%E6%B3%A2/_blank"線性系統(tǒng)狀態(tài)方程，通過系統(tǒng)輸入輸出觀測(cè)數(shù)據(jù)，對(duì)\t"/item/%E5%8D%A1%E5%B0%94%E6%9B%BC%E6%BB%A4%E6%B3%A2/_blank"系統(tǒng)狀態(tài)進(jìn)行最優(yōu)估計(jì)的算法。由于觀測(cè)數(shù)據(jù)中包括系統(tǒng)中的噪聲和干擾的影響，所以最優(yōu)估計(jì)也可看作是\t"/item/%E5%8D%A1%E5%B0%94%E6%9B%BC%E6%BB%A4%E6%B3%A2/_blank"濾波過程?？柭鼮V波廣泛用于許多應(yīng)用中以獲得系統(tǒng)的狀態(tài)估計(jì)。1960年，Kalman等人在線性高斯動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的前提下，提出了可以用于狀態(tài)遞推估計(jì)的適用于時(shí)域系統(tǒng)的卡爾曼濾波算法。它克服了維納濾波的局限性，解決了線性高斯系統(tǒng)中的狀態(tài)估計(jì)問題，是一種利用觀測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)進(jìn)行最優(yōu)估計(jì)的濾波算法?？柭鼮V波是以最小均方誤差為估計(jì)的最佳準(zhǔn)則，來尋求一套遞推估計(jì)的算法，其基本思想是：采用信號(hào)與噪聲的狀態(tài)空間模型，利用前一時(shí)刻的估計(jì)值和現(xiàn)時(shí)刻的觀測(cè)值來更新對(duì)狀態(tài)變量的估計(jì)，求出現(xiàn)時(shí)刻的估計(jì)值。它適合于實(shí)時(shí)處理和計(jì)算機(jī)運(yùn)算。KF可以在已知少量觀測(cè)值的情況下，最大限度地減小誤差，有效地去除噪聲，還原真實(shí)數(shù)據(jù)。KF因?yàn)槠鋬?yōu)秀的估計(jì)效果被廣泛地應(yīng)用在通信，導(dǎo)航等多個(gè)領(lǐng)域。最原始的卡爾曼濾波是用每個(gè)時(shí)刻的觀測(cè)值包含隨機(jī)噪聲以及其他誤差通過一個(gè)算法來估計(jì)未知量（即待估計(jì)量），目的是讓估計(jì)值與真實(shí)值之間的誤差方差陣最小。另外卡爾曼濾波在隨機(jī)估計(jì)理論中引入狀態(tài)空間，利用狀態(tài)方程與觀測(cè)方程以及系統(tǒng)噪聲和觀測(cè)噪聲的統(tǒng)計(jì)特性形成的一個(gè)實(shí)時(shí)遞推算法。這個(gè)算法分兩步進(jìn)行，分別是預(yù)測(cè)和更新。預(yù)測(cè)是根據(jù)狀態(tài)方程，由前一步的濾波值和誤差方差陣，推導(dǎo)出一步預(yù)測(cè)值，以及一步預(yù)測(cè)的誤差方差；更新是在一步預(yù)測(cè)基礎(chǔ)上，獲得當(dāng)前時(shí)刻的觀測(cè)數(shù)據(jù)，通過當(dāng)前時(shí)刻觀測(cè)值對(duì)一步預(yù)測(cè)進(jìn)行重新更新，得到當(dāng)前狀態(tài)濾波以及誤差方差陣。在一個(gè)符合線性高斯條件的系統(tǒng)模型中，卡爾曼濾波是目前最優(yōu)的濾波器，在各個(gè)領(lǐng)域中都被廣泛應(yīng)用。圖1.3-3卡爾曼濾波算法框圖下面介紹卡爾曼濾波算法的計(jì)算步驟，其中假設(shè)卡爾曼濾波器的狀態(tài)初始值的估計(jì)值為，且初始誤差的協(xié)方差為：時(shí)間更新：第一步：根據(jù)系統(tǒng)的初始狀態(tài)估計(jì)值和狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣初步得到系統(tǒng)的一步預(yù)測(cè)值： （1.26）第二步：根據(jù)系統(tǒng)的初始誤差的協(xié)方差矩陣和過程噪聲的方差Q(k)，得到系統(tǒng)的預(yù)測(cè)誤差的協(xié)方差矩陣 （1.27）測(cè)量更新：第三步：根據(jù)系統(tǒng)的預(yù)測(cè)誤差的協(xié)方差矩陣以及測(cè)量值的相關(guān)信息，可計(jì)算得到KF濾波算法的增益矩陣 （1.28）第四步：根據(jù)第一步中得到的系統(tǒng)的狀態(tài)預(yù)測(cè)值，濾波增益K(k+1)以及觀測(cè)器的真實(shí)觀測(cè)值與測(cè)量觀測(cè)值之間的誤差，得到系統(tǒng)的狀態(tài)估計(jì)值 （1.29）第五步：計(jì)算得到系統(tǒng)誤差的協(xié)方差矩陣 （1.30）隨著卡爾曼濾波算法在實(shí)際應(yīng)用中的發(fā)展，許多專家學(xué)者在此基礎(chǔ)上進(jìn)行進(jìn)一步的研究，對(duì)傳統(tǒng)的KF濾波算法有著不同程度上的改進(jìn)。如文獻(xiàn)REF_Ref24866\n\h[20]中提出一種組合自適應(yīng)魯棒卡爾曼濾波(CARKF)算法，利用魯棒卡爾曼濾波方法抵抗測(cè)量異常值對(duì)KF濾波算法精度的影響。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，CARKF方法不僅能有效地抵抗測(cè)量異常值對(duì)濾波精度和噪聲協(xié)方差估計(jì)的影響，而且能克服先驗(yàn)噪聲偏差引起的誤差影響，同時(shí)準(zhǔn)確地估計(jì)兩種未知噪聲協(xié)方差信息。文獻(xiàn)REF_Ref24898\n\h[21]中提出了一種基于動(dòng)態(tài)時(shí)間規(guī)整（DTW）和卡爾曼濾波算法（KF）的新型神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（DTW-SLFN-KF），用于超聲速進(jìn)氣道流型的實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，所提出的DTW-RBF-KF網(wǎng)絡(luò)具有最高的平均監(jiān)測(cè)精度，與所有競(jìng)爭(zhēng)方法相比，所需的計(jì)算量較少。該方法在超聲速進(jìn)氣道流型監(jiān)測(cè)中具有較好的實(shí)時(shí)性和準(zhǔn)確性。在21世紀(jì)的今天，卡爾曼濾波經(jīng)歷了60年的更新與變革，歷久彌新，與時(shí)俱進(jìn)的產(chǎn)生了各種新型的卡爾曼濾波器，在工程上得到了廣泛的應(yīng)用，尤其為控制、制導(dǎo)、導(dǎo)航、\t"/item/%E5%8D%A1%E5%B0%94%E6%9B