2.2基本不等式TOC\o"12"\h\z\u題型1基本不等式的理解 5題型2利用基本不等式比較大小 7題型3利用基本不等式求最值 9考點1直接法 9考點2配湊法配式配系數，湊出定值 11考點3常數1代換法求最值 12考點4拆裂項拆項 13題型4利用基本不等式證明不等關系 15題型5基本不等式在恒成立問題中的應用 18題型6基本不等式在實際問題中的應用 19知識點一引理：重要不等式注：(1)不等式中的，既可以是具體的某個實數，也可以是一個代數式.知識點二基本不等式1．基本不等式的內容基本不等式表明：兩個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數.2．基本不等式的證明(1)幾何法(2)代數法注：基本不等式的常見變形及常用結論=2\*GB3②基本不等式的常用結論知識點三最值定理已知，都是正數，最值定理簡記：和定積最大，積定和最小.注：(1)利用基本不等式求最值時要牢記三個關鍵詞：一正、二定、三相等.①一正：各項必須為正.②二定：各項之和或各項之積為定值.③三相等：必須驗證取等號時條件是否具備.(2)應用基本不等式求最值的關鍵：依定值去探求最值，探求的過程中常需根據具體的問題進行合理的拆、湊、配等變換.知識點三基本不等式的變式與拓展1．基本不等式鏈其幾何意義如圖所示.【溫馨提醒】(1)該不等式鏈內涵豐富，在實際的運用中相對于基本不等式更為廣泛，但它們都是在基本不等式的基礎上拓展而來的，也都可以由基本不等式證明.(2)一般來說，以下四組不等式可以作為基本不等式的應用形態：2．基本不等式的拓展(1)三元基本不等式(2)元基本不等式題型1基本不等式的理解1．（多選）下列說法中正確的是（

）【答案】BC【知識點】基本不等式的內容及辨析【分析】根據不等式成立的條件即可判斷．故選：BC【答案】C【知識點】由已知條件判斷所給不等式是否正確、作差法比較代數式的大小、基本不等式的內容及辨析【分析】AB通過分析a，b符號，可判斷選項正誤；C由基本不等式可判斷選項正誤；D由作差法結合AB分析可判斷選項正誤.故選：C【答案】C【知識點】基本不等式的內容及辨析【分析】根據題意，結合小于或等于圓的半徑求解即可.【詳解】由題意，由于小于或等于圓的半徑，是圓的直徑，故選：C.【答案】D【知識點】基本不等式的內容及辨析故選：D．題型2利用基本不等式比較大小【知識點】作差法比較代數式的大小、由基本不等式比較大小【分析】由基本不等式和作差法比較大小，得到答案.【知識點】由基本不等式比較大小【答案】B【知識點】由不等式的性質比較數（式）大小、由基本不等式比較大小【分析】利用不等式的性質，結合基本不等式比較大小.故選：B【答案】A【知識點】基本（均值）不等式的應用、由基本不等式比較大小故選：A.【答案】B【知識點】作差法比較代數式的大小、由基本不等式比較大小故選：B題型3利用基本不等式求最值考點1直接法10．（2425高一上·河南周口·階段練習）利用基本不等式求下列式子的最值：【答案】(1)4(2)(3)【知識點】基本不等式求和的最小值、基本不等式求積的最大值【分析】（1）利用基本不等式即可求解.（2）利用基本不等式即可求解.（3）利用基本不等式即可求解.故最大值為.故所求最大值為.【答案】3【知識點】基本不等式求積的最大值【分析】由已知結合基本不等式即可求解．所以的最大值是3.故答案為：3.【答案】2【知識點】基本不等式求和的最小值【分析】利用基本不等式求出最小值.故答案為：2【知識點】基本不等式求和的最小值【分析】由基本不等式求解最值即可得到取值范圍.考點2配湊法配式配系數，湊出定值【答案】【知識點】基本不等式求和的最小值方法總結對不滿足使用基本不等式條件的可通過“變形”來轉換，常見的變形技巧：拆項，并項，也可乘上一個數或加上一個數，“1”的代換等．【知識點】基本不等式求積的最大值【分析】利用基本不等式計算即可.故答案為：【答案】6【知識點】基本不等式求和的最小值【分析】由基本不等式即可求.故答案為：6考點3常數1代換法求最值【知識點】基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值【分析】利用“1”的變形技巧，由基本不等式得最小值.A．6 B．12 C． D．27【答案】C【知識點】基本不等式“1”的妙用求最值【分析】利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.故選：CA．9 B．8 C．6 D．5【答案】A【知識點】基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值故選：A考點4拆裂項拆項【知識點】基本不等式求和的最小值、二次與二次（或一次）的商式的最值【分析】依題意利用基本不等式計算可得.【答案】4【知識點】二次與二次（或一次）的商式的最值【分析】根據給定條件，利用配湊法及基本不等式求出最小值即可得解.故答案為：422．求解下列各題：【答案】（1）；（2）8.【知識點】基本不等式求和的最小值、二次與二次（或一次）的商式的最值故y的最大值為；故y的最小值為8.題型4利用基本不等式證明不等關系【答案】證明見解析【知識點】由基本不等式證明不等關系【分析】將所證不等式利用三次基本不等式即可得到證明.【詳解】證明：上面三式相加，得：【點睛】本題考查基本不等式在證明題中的應用，屬于基礎題.【答案】證明見解析【知識點】由基本不等式證明不等關系【答案】證明見詳解.【知識點】由基本不等式證明不等關系【分析】【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析【知識點】由基本不等式證明不等關系【詳解】證明：（1）∵、都是正數，【答案】證明見解析【知識點】由基本不等式證明不等關系所以由基本不等式得，【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【知識點】由基本不等式證明不等關系【分析】（1）利用基本不等式可證不等式成立；（2）利用基本不等式結合“1”的代換可證不等式成立.題型5基本不等式在恒成立問題中的應用【答案】6【知識點】基本不等式求和的最小值、基本不等式的恒成立問題、基本不等式“1”的妙用求最值【知識點】一元二次不等式在某區間上的恒成立問題、基本不等式的恒成立問題【答案】C【知識點】基本不等式求和的最小值、基本不等式的恒成立問題故選：.A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【知識點】基本不等式求和的最小值、基本不等式的恒成立問題故選：B.題型6基本不等式在實際問題中的應用【答案】C【知識點】基本不等式求和的最小值、基本（均值）不等式的應用34．（2425高一下·云南昆明·期中）我國古代著名數學巨著《周髀算經》記載著周朝時期的商高與周公的對話，商高提出了“勾三股四弦五”特例.后來古希臘的畢達哥拉斯學派用演繹法證明了直角三角形斜邊的平方等于兩直角邊的平方之和.若一個直角三角形的斜邊長等于5，則這個直角三角形周長的最大值為（

）【答案】B【知識點】基本（均值）不等式的應用故選：B．【知識點】分段函數模型的應用、基本（均值）不等式的應用【分析】（1）根據投入成本及銷售收入寫出利潤函數即可；（2）分段分別利用二次函數配方法和基本不等式求最值，再比較大小得解即可.一、單選題A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【答案】A【知識點】基本不等式的內容及辨析、判斷命題的充分不必要條件故選：.2．（2425高一上·浙江紹興·階段練習）已知、為互不相等的正實數，下列四個數中最大的是（

）【答案】C【知識點】由基本不等式比較大小【分析】利用重要不等式可得出四個選項中各數的大小.【詳解】因為、為互不相等的正實數，故選：C.A． B． C． D．1【答案】A【知識點】基本不等式求積的最大值【分析】利用基本不等式直接求解即可.故選：AA．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【知識點】基本不等式求積的最大值【分析】由基本不等式即可求解.故選：AA． B． C． D．【答案】A【知識點】基本不等式求積的最大值【分析】根據基本不等式，可得答案.故選：A.A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值【答案】A【知識點】二次與二次（或一次）的商式的最值、基本不等式求和的最小值【分析】將給定函數化簡變形，再利用均值不等式求解即得.故選：AA．64 B．25 C．13 D．12【答案】B【知識點】基本不等式求和的最小值、基本不等式的恒成立問題故選：B.8．（2425高一上·陜西西安·階段練習）下列結論正確的是（

）【答案】B【知識點】對勾函數求最值、基本不等式求和的最小值【分析】利用特殊值判斷A、C，利用基本不等式判斷B，利用對勾函數的性質判斷D.故選：B二、多選題A．的最小值是8 B．的最大值是8【答案】AC【知識點】基本不等式求積的最大值、基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值【分析】利用基本不等式和“1”的妙用求解.故選：AC．10．（2425高一下·廣西來賓·開學考試）下列有關最值的結論正確的是（

）【答案】BCD【知識點】條件等式求最值、對勾函數求最值、基本不等式“1”的妙用求最值【分析】應用基本不等式求A、C、D中目標式的最值，由“1”的代換及基本不等式求C中目標式的最值，注意取值條件即可.故選：BCD11．（2425高一上·河南鄭州·階段練習）有下面四個不等式，其中恒成立的有（）【答案】CD【知識點】由基本不等式證明不等關系【分析】舉反例說明A錯誤，舉反例說明B錯誤，根據重要不等式證明C，根據基本不等式證明D.故選：CD．三、填空題【答案】16【知識點】基本不等式求和的最小值【答案】10【知識點】基本（均值）不等式的應用【知識點】基本（均值）不等式的應用四、解答題【答案】（1）；（2）8；（3）．【知識點】基本不等式求積的最大值、基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值【分析】利用基本不等式結合常數代換求最值.16．（2425高一上·廣東肇慶·期中）根據題意，求解下列問題：【答案】(1)(2)【知識點】基本不等式“1”的妙用求最值、基本不等式求和的最小值【知識點】基本不等式“1”的妙用求最值、基本不等式的恒成立問題、由基本不等式證明不等關系、分式不等式【分析】（1）法1：應用作差法比較大小即可證；法2：將不等式左側展開并結合基本不等式證明結論即可；(2)證明選出的不等式．【答案】(1)選擇②，理由見解析；(2)