圓與方程試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.圓\((x-1)^2+y^2=4\)的圓心坐標是（）A.\((0,1)\)B.\((1,0)\)C.\((-1,0)\)D.\((0,-1)\)2.圓\(x^2+y^2=9\)的半徑是（）A.3B.9C.\(\sqrt{3}\)D.63.點\((1,1)\)與圓\(x^2+y^2-2x-3=0\)的位置關系是（）A.在圓內B.在圓上C.在圓外D.不確定4.圓\(x^2+y^2-4x+6y=0\)的圓心坐標為（）A.\((2,-3)\)B.\((-2,3)\)C.\((2,3)\)D.\((-2,-3)\)5.圓\(x^2+y^2+2x-4y+1=0\)的半徑為（）A.2B.\(\sqrt{2}\)C.4D.16.直線\(x+y-1=0\)與圓\(x^2+y^2=1\)的位置關系是（）A.相離B.相切C.相交D.不確定7.以點\((2,-1)\)為圓心且與\(x\)軸相切的圓的方程是（）A.\((x-2)^2+(y+1)^2=1\)B.\((x-2)^2+(y+1)^2=4\)C.\((x+2)^2+(y-1)^2=1\)D.\((x+2)^2+(y-1)^2=4\)8.圓\(x^2+y^2-2x+4y-4=0\)的圓心到直線\(3x+4y+9=0\)的距離是（）A.2B.3C.4D.59.圓\(C_1\)：\(x^2+y^2=1\)與圓\(C_2\)：\((x-3)^2+y^2=1\)的位置關系是（）A.內含B.外切C.相交D.內切10.過點\((1,1)\)且與圓\(x^2+y^2=2\)相切的直線方程是（）A.\(x+y-2=0\)B.\(x-y=0\)C.\(x-y+2=0\)D.\(x+y+2=0\)二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.下列方程表示圓的是（）A.\(x^2+y^2-2x+4y+5=0\)B.\(x^2+y^2+2x-4y-4=0\)C.\(x^2+y^2+4x=0\)D.\(x^2+y^2-6y+9=0\)2.圓\(x^2+y^2=16\)的性質正確的是（）A.圓心在原點B.半徑為4C.與\(x\)軸有兩個交點D.與\(y\)軸有兩個交點3.直線\(y=x+1\)與圓\(x^2+y^2=1\)的交點情況說法正確的是（）A.有兩個交點B.有一個交點C.相交D.相切4.圓\((x-2)^2+(y+3)^2=9\)的相關說法正確的是（）A.圓心坐標為\((2,-3)\)B.半徑為3C.與\(x\)軸相交D.與\(y\)軸相交5.點\((0,0)\)與圓\(x^2+y^2-2x+4y-4=0\)的位置關系判斷正確的是（）A.在圓內B.點到圓心距離小于半徑C.在圓外D.點到圓心距離大于半徑6.圓\(x^2+y^2-4x+2y+1=0\)，以下說法正確的是（）A.圓心坐標為\((2,-1)\)B.半徑為2C.可化為\((x-2)^2+(y+1)^2=4\)D.與\(x\)軸相切7.圓\(C_1\)：\(x^2+y^2=1\)與圓\(C_2\)：\(x^2+y^2-4x=0\)的位置關系說法正確的是（）A.相交B.圓心距為2C.兩圓半徑分別為1和2D.外切8.過點\((2,0)\)且與圓\(x^2+y^2=1\)相切的直線方程可能是（）A.\(x=2\)B.\(y=0\)C.\(\sqrt{3}x-3y-2\sqrt{3}=0\)D.\(\sqrt{3}x+3y-2\sqrt{3}=0\)9.圓\(x^2+y^2+2x-6y+6=0\)的圓心到直線\(x+y-1=0\)的距離相關說法正確的是（）A.先將圓化為標準方程\((x+1)^2+(y-3)^2=4\)B.圓心為\((-1,3)\)C.距離為\(\frac{\vert-1+3-1\vert}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\)D.距離為\(\sqrt{2}\)10.已知圓\(x^2+y^2=r^2\)與直線\(ax+by+c=0\)相切，則（）A.圓心到直線距離等于半徑B.\(c^2=r^2(a^2+b^2)\)C.\(r=\frac{\vertc\vert}{\sqrt{a^2+b^2}}\)D.直線與圓有且只有一個交點三、判斷題（每題2分，共10題）1.方程\(x^2+y^2+2x+1=0\)表示一個點。（）2.圓\(x^2+y^2-2x-4y+5=0\)的圓心是\((1,2)\)。（）3.直線\(y=x\)與圓\(x^2+y^2=1\)相交。（）4.圓\((x-1)^2+(y+2)^2=4\)的半徑為4。（）5.點\((2,3)\)在圓\(x^2+y^2=9\)外。（）6.圓\(x^2+y^2-4x+6y=0\)與\(x\)軸有兩個交點。（）7.圓\(x^2+y^2=1\)與圓\(x^2+y^2-2x-2y+1=0\)外切。（）8.過圓\(x^2+y^2=r^2\)上一點\((x_0,y_0)\)的切線方程是\(x_0x+y_0y=r^2\)。（）9.直線\(x+y-2=0\)到圓\(x^2+y^2=1\)的圓心距離為\(\sqrt{2}\)。（）10.圓\(x^2+y^2+4x-2y+1=0\)關于\(y\)軸對稱。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.求圓\(x^2+y^2-4x+2y-4=0\)的圓心坐標和半徑。-答案：將圓方程化為標準方程\((x-2)^2+(y+1)^2=9\)，所以圓心坐標為\((2,-1)\)，半徑為3。2.已知圓的圓心為\((1,-2)\)，半徑為\(3\)，寫出圓的標準方程。-答案：根據圓的標準方程\((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\)（其中\((a,b)\)為圓心坐標，\(r\)為半徑），可得圓方程為\((x-1)^2+(y+2)^2=9\)。3.判斷直線\(2x-y+1=0\)與圓\(x^2+y^2=4\)的位置關系。-答案：圓\(x^2+y^2=4\)圓心\((0,0)\)，半徑\(r=2\)，圓心到直線距離\(d=\frac{\vert2\times0-0+1\vert}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}=\frac{\sqrt{5}}{5}\lt2\)，所以直線與圓相交。4.求過點\((1,-1)\)且與圓\(x^2+y^2=2\)相切的直線方程。-答案：設直線方程\(y+1=k(x-1)\)即\(kx-y-k-1=0\)，由圓心到直線距離等于半徑得\(\frac{\vert-k-1\vert}{\sqrt{k^2+1}}=\sqrt{2}\)，解得\(k=1\)，直線方程為\(x-y-2=0\)；當直線斜率不存在時，\(x=1\)也符合，所以直線方程為\(x=1\)或\(x-y-2=0\)。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論圓與直線的位置關系有哪些判斷方法，并舉例說明。-答案：判斷方法有幾何法和代數法。幾何法通過比較圓心到直線距離\(d\)與半徑\(r\)大小，如圓\(x^2+y^2=1\)與直線\(x+y-1=0\)，圓心\((0,0)\)到直線距離\(d=\frac{\vert0+0-1\vert}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\lt1\)，直線與圓相交。代數法聯立直線與圓方程，看判別式，如上述例子聯立方程后判別式大于0，也得相交。2.如何根據圓的一般方程求圓心坐標和半徑？結合具體方程說明。-答案：對于圓的一般方程\(x^2+y^2+Dx+Ey+F=0\)，圓心坐標為\((-\frac{D}{2},-\frac{E}{2})\)，半徑\(r=\frac{1}{2}\sqrt{D^2+E^2-4F}\)。例如圓\(x^2+y^2-4x+6y+4=0\)，\(D=-4\)，\(E=6\)，\(F=4\)，圓心坐標為\((2,-3)\)，半徑\(r=\frac{1}{2}\sqrt{16+36-16}=3\)。3.當兩圓相交時，如何求兩圓公共弦所在直線方程？舉例說明。-答案：設兩圓方程\(C_1\)：\(x^2+y^2+D_1x+E_1y+F_1=0\)，\(C_2\)：\(x^2+y^2+D_2x+E_2y+F_2=0\)，將兩圓方程相減得\((D_1-D_2)x+(E_1-E_2)y+F_1-F_2=0\)，此即為公共弦所在直線方程。如圓\(x^2+y^2=1\)與\(x^2+y^2-2x=0\)，相減得\(2x-1=0\)就是公共弦方程。4.討論如何確定一個圓的方程，需要哪些條件？-答案：確定圓的方程有兩種方法。標準方程\((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\)，需要知道圓心\((a,b)\)和半徑\(r\)；一般方程\(x^2+y^2+Dx+Ey+F=0\)，需要三個獨立條件，可通過已知點坐標代入方程求解\(D\)、\(E\)、\(F\)。如已知圓心\((1,2)\)和半徑\(3\)可寫標準方程