2025年統計學期末考試：卡方檢驗與統計推斷的聯系與區別試題一、單項選擇題（每題2分，共40分）1.卡方檢驗主要用于以下哪種情況（）A.比較兩組連續變量的均值差異B.檢驗兩個分類變量之間的關聯性C.分析兩個連續變量之間的線性關系D.檢驗樣本均值與總體均值是否有差異答案：B解析：卡方檢驗常用于判斷兩個分類變量之間是否存在關聯，而比較兩組連續變量的均值差異常用t檢驗；分析兩個連續變量之間的線性關系用相關分析和線性回歸；檢驗樣本均值與總體均值是否有差異也常用z檢驗或t檢驗。2.下列關于卡方檢驗和t檢驗的說法，正確的是（）A.卡方檢驗和t檢驗都要求數據服從正態分布B.卡方檢驗用于分類數據，t檢驗用于數值數據C.兩者都可用于檢驗兩組均值是否有差異D.卡方檢驗和t檢驗的檢驗統計量計算方法相同答案：B解析：卡方檢驗用于處理分類數據，不要求數據服從正態分布；t檢驗主要用于數值數據且在某些情況下要求數據服從正態分布。卡方檢驗不用于檢驗兩組均值差異，兩者的檢驗統計量計算方法完全不同。3.在卡方檢驗中，自由度的計算與以下哪個因素有關（）A.樣本量大小B.分類變量的類別數C.總體的分布形態D.檢驗的顯著性水平答案：B解析：以兩分類變量的列聯表卡方檢驗為例，自由度等于（行數-1）×（列數-1），行數和列數就是分類變量的類別數，與樣本量大小、總體分布形態和檢驗的顯著性水平無關。4.進行獨立性卡方檢驗時，如果計算得到的卡方值大于臨界值，則意味著（）A.兩個分類變量相互獨立B.兩個分類變量之間存在顯著關聯C.樣本數據有錯誤D.不能得出任何結論答案：B解析：在獨立性卡方檢驗中，當計算得到的卡方值大于臨界值時，說明在給定的顯著性水平下，拒絕原假設（原假設通常為兩個分類變量相互獨立），即認為兩個分類變量之間存在顯著關聯。5.統計推斷的目的是（）A.對樣本數據進行描述B.從樣本信息推斷總體特征C.計算樣本的統計量D.確定樣本的代表性答案：B解析：統計推斷就是利用樣本信息來推斷總體的特征，如總體均值、總體比例等，而對樣本數據進行描述屬于描述性統計的內容；計算樣本統計量是為統計推斷做準備；樣本代表性是抽樣時需要考慮的問題，不是統計推斷的目的。6.在假設檢驗中，以下哪種情況會增加犯第一類錯誤的概率（）A.增大樣本量B.提高檢驗的顯著性水平C.降低檢驗的顯著性水平D.改變總體的分布形態答案：B解析：第一類錯誤是指當原假設為真時拒絕原假設的錯誤，其概率就是檢驗的顯著性水平α。所以提高檢驗的顯著性水平會增加犯第一類錯誤的概率；增大樣本量通常會提高檢驗的效力；降低檢驗的顯著性水平會降低犯第一類錯誤的概率；總體分布形態一般是作為一個既定條件，與犯第一類錯誤的概率沒有直接關聯。7.以下哪種統計推斷方法不涉及顯著性檢驗（）A.區間估計B.z檢驗C.t檢驗D.F檢驗答案：A解析：區間估計是利用樣本數據給出總體參數的一個估計區間，不涉及對原假設和備擇假設進行判斷的顯著性檢驗；z檢驗、t檢驗和F檢驗都屬于假設檢驗方法，都涉及顯著性檢驗。8.卡方檢驗的基本思想是比較（）A.理論頻數和實際頻數的差異B.樣本均值和總體均值的差異C.樣本方差和總體方差的差異D.兩個樣本比例的差異答案：A解析：卡方檢驗的基本思想是通過比較實際觀察到的頻數（實際頻數）和理論上在假設成立情況下應該出現的頻數（理論頻數）的差異來判斷兩個分類變量之間是否存在關聯。樣本均值和總體均值差異的檢驗常用z檢驗或t檢驗；樣本方差和總體方差差異的檢驗常用卡方檢驗（此卡方檢驗用于方差齊性檢驗，與分類變量的卡方檢驗原理不同）；兩個樣本比例的差異檢驗有專門的比例差異檢驗方法。9.以下關于卡方分布的說法，錯誤的是（）A.卡方分布是一種連續型分布B.卡方分布的形狀由自由度決定C.卡方分布的取值范圍是從負無窮到正無窮D.自由度越大，卡方分布越趨近于正態分布答案：C解析：卡方分布是一種連續型概率分布，其形狀由自由度決定。自由度越大，卡方分布越趨近于正態分布。但卡方分布的取值范圍是從0到正無窮，因為卡方值是由平方項相加得到的，不可能為負數。10.在容量為n的樣本中，對于一個有r行c列的列聯表進行卡方獨立性檢驗，其自由度為（）A.r+cB.r-cC.(r-1)(c-1)D.rc答案：C解析：如前面所述，對于一個r行c列的列聯表進行卡方獨立性檢驗時，自由度的計算公式為（行數-1）×（列數-1），即(r-1)(c-1)。11.統計推斷的前提條件是（）A.樣本必須是隨機抽取的B.總體必須服從正態分布C.樣本量必須足夠大D.總體方差必須已知答案：A解析：為了保證從樣本信息推斷總體特征的有效性和可靠性，樣本必須是隨機抽取的，這樣才能保證樣本具有代表性。統計推斷并不一定要求總體必須服從正態分布，很多統計方法在總體非正態分布時也有相應的處理方式；樣本量足夠大有利于提高統計推斷的準確性，但不是必要前提；總體方差也不一定要已知，當總體方差未知時可以用樣本方差來估計。12.進行卡方擬合優度檢驗時，是為了檢驗（）A.兩個分類變量是否獨立B.樣本數據是否符合某種理論分布C.兩個樣本的比例是否相等D.多個總體的均值是否相等答案：B解析：卡方擬合優度檢驗的目的是檢驗樣本數據是否符合某種理論分布，如二項分布、泊松分布等；檢驗兩個分類變量是否獨立是獨立性卡方檢驗的目的；檢驗兩個樣本的比例是否相等有專門的比例差異檢驗方法；檢驗多個總體的均值是否相等常用方差分析方法。13.以下關于P-值的說法，正確的是（）A.P-值越大，拒絕原假設的理由越充分B.P-值是在原假設成立的前提下，得到與樣本數據結果或更極端結果的概率C.P-值與檢驗的顯著性水平無關D.P-值等于臨界值答案：B解析：P-值是在原假設成立的前提下，得到與樣本數據結果或更極端結果的概率。P-值越小，說明在原假設成立的情況下得到這樣樣本結果的可能性越小，拒絕原假設的理由就越充分；P-值與檢驗的顯著性水平密切相關，當P-值小于等于顯著性水平時拒絕原假設；P-值和臨界值是不同的概念，兩者沒有相等的關系。14.在進行兩獨立樣本t檢驗時，如果發現兩組數據的方差不齊，應采用（）A.普通的兩獨立樣本t檢驗B.校正的t檢驗（如Welch檢驗）C.卡方檢驗D.中位數檢驗答案：B解析：當兩組數據的方差不齊時，普通的兩獨立樣本t檢驗不再適用，此時應采用校正的t檢驗（如Welch檢驗）?？ǚ綑z驗用于分類數據，不適合檢驗兩組數值數據的均值差異；中位數檢驗主要用于比較兩組數據的中位數是否有差異，不是針對方差不齊時兩樣本均值差異檢驗的首選方法。15.卡方檢驗中，如果某個單元格的理論頻數小于5，通常的處理方法是（）A.直接進行檢驗，無需處理B.增加樣本量以提高理論頻數C.合并相鄰的類別D.B和C都可以答案：D解析：當卡方檢驗中某個單元格的理論頻數小于5時，直接進行檢驗可能會導致檢驗結果不準確?？梢酝ㄟ^增加樣本量來提高理論頻數，也可以合并相鄰的類別以增大理論頻數，所以B和C兩種方法都可行。16.以下哪種情況不屬于統計推斷（）A.根據樣本均值估計總體均值B.計算樣本的標準差C.用樣本比例推斷總體比例D.對總體參數進行假設檢驗答案：B解析：統計推斷是基于樣本信息對總體特征進行推斷，包括用樣本統計量估計總體參數和對總體參數進行假設檢驗。計算樣本的標準差屬于描述性統計的內容，只是對樣本數據的一種描述，不屬于統計推斷。17.在假設檢驗中，原假設$H_0$和備擇假設$H_1$（）A.都有可能被接受B.都有可能被拒絕C.只有原假設可能被拒絕D.只有備擇假設可能被拒絕答案：C解析：在假設檢驗中，我們根據樣本數據來判斷是否有足夠的證據拒絕原假設。如果樣本數據提供的證據足夠強，就拒絕原假設；如果證據不足，則不拒絕原假設。備擇假設是當原假設被拒絕時所接受的假設，不存在拒絕備擇假設的情況。所以只有原假設可能被拒絕。18.對于一個四格表資料進行卡方檢驗，自由度為（）A.1B.2C.3D.4答案：A解析：四格表是一個2行2列的列聯表，根據自由度計算公式（行數-1）×（列數-1），可得自由度為(2-1)×(2-1)=1。19.以下關于卡方檢驗和相關系數的說法，正確的是（）A.兩者都可以衡量兩個變量之間的關聯程度B.卡方檢驗適用于連續變量，相關系數適用于分類變量C.卡方檢驗結果顯著就意味著相關系數很大D.相關系數的取值范圍是從0到1答案：A解析：卡方檢驗可以判斷兩個分類變量之間是否存在關聯，相關系數可以衡量兩個變量（可以是連續變量或有序分類變量）之間的關聯程度，所以兩者都能在一定程度上衡量變量間的關聯?？ǚ綑z驗適用于分類變量，相關系數主要用于連續變量或有序分類變量；卡方檢驗結果顯著只能說明兩個分類變量之間存在關聯，但不一定意味著相關系數很大；相關系數的取值范圍是從-1到1。20.在進行統計推斷時，增大樣本量通常會（）A.增大犯第一類錯誤的概率B.增大犯第二類錯誤的概率C.增強檢驗的效力D.使檢驗結果更不準確答案：C解析：增大樣本量可以使樣本更能反映總體的特征，從而增強檢驗的效力（即正確拒絕原假設的概率）。增大樣本量不會增大犯第一類錯誤的概率，反而通常能提高檢驗的準確性；會降低犯第二類錯誤的概率；能使檢驗結果更準確而不是更不準確。二、多項選擇題（每題3分，共15分）1.以下屬于卡方檢驗應用場景的是（）A.檢驗學生的性別與是否喜歡某門課程是否有關B.檢驗一批產品是否符合正態分布C.比較兩組患者的治愈率是否有差異D.分析兩個連續變量之間的線性關系E.檢驗一個樣本的來源是否符合某種已知的比例分布答案：ABCE解析：檢驗學生的性別與是否喜歡某門課程是否有關，是判斷兩個分類變量之間的關聯性，可用獨立性卡方檢驗；檢驗一批產品是否符合正態分布，可使用卡方擬合優度檢驗；比較兩組患者的治愈率是否有差異可以通過構建四格表進行卡方檢驗；分析兩個連續變量之間的線性關系通常用相關分析和線性回歸，不使用卡方檢驗；檢驗一個樣本的來源是否符合某種已知的比例分布屬于卡方擬合優度檢驗的范疇。2.統計推斷包括以下哪些方面（）A.參數估計B.假設檢驗C.方差分析D.回歸分析E.時間序列分析答案：AB解析：統計推斷主要包括參數估計和假設檢驗兩個方面。參數估計是利用樣本信息估計總體參數的值，假設檢驗是根據樣本信息對總體參數或總體分布等進行假設并檢驗。方差分析、回歸分析和時間序列分析雖然在統計中也很重要，但它們是具體的統計方法，從廣義上說可以屬于統計推斷的應用，但不是統計推斷的核心類別。3.關于卡方分布，正確的描述有（）A.它是右偏態分布B.自由度越小，分布越偏C.其均值等于自由度D.其方差等于2倍的自由度E.隨著自由度的增加，逐漸趨近于正態分布答案：ABCDE解析：卡方分布是右偏態分布，自由度越小，分布越偏斜?？ǚ椒植嫉木档扔谄渥杂啥?，方差等于2倍的自由度。隨著自由度的增加，卡方分布逐漸趨近于正態分布。4.在假設檢驗中，影響檢驗效力的因素有（）A.樣本量B.總體方差C.實際效應大小D.檢驗的顯著性水平E.抽樣方法答案：ABCD解析：樣本量越大，檢驗能夠發現差異的能力越強，檢驗效力越高；總體方差越大，數據的離散程度越大，越不容易發現差異，檢驗效力會降低；實際效應大小越大，即總體參數之間的真實差異越大，越容易被檢驗出來，檢驗效力越高；檢驗的顯著性水平也會影響檢驗效力，一般來說，在其他條件不變的情況下，減小顯著性水平會降低檢驗效力；抽樣方法主要影響樣本的代表性，對檢驗效力沒有直接影響。5.以下關于卡方檢驗和t檢驗的區別，正確的有（）A.數據類型不同，卡方檢驗用于分類數據，t檢驗用于數值數據B.檢驗目的不同，卡方檢驗用于判斷關聯，t檢驗用于均值比較C.檢驗統計量的分布不同，卡方檢驗統計量服從卡方分布，t檢驗統計量服從t分布D.卡方檢驗不需要正態性假設，t檢驗在某些情況下需要正態性假設E.卡方檢驗和t檢驗的適用樣本量要求不同答案：ABCD解析：卡方檢驗主要用于處理分類數據，目的是判斷變量之間的關聯性，其檢驗統計量服從卡方分布，一般不需要正態性假設；t檢驗用于數值數據，主要目的是比較均值差異，檢驗統計量服從t分布，在小樣本時通常要求數據服從正態分布。而這兩種檢驗并沒有嚴格意義上適用樣本量的不同要求，只是樣本量大小會影響檢驗的準確性和效力，但不是本質區別。三、簡答題（每題10分，共20分）1.簡述卡方檢驗與統計推斷的聯系和區別。聯系：（1）卡方檢驗是統計推斷的重要方法之一。統計推斷的目的是通過樣本信息來推斷總體特征，而卡方檢驗可以利用樣本數據對總體中分類變量之間的關系進行推斷，比如判斷兩個分類變量是否獨立等，是實現統計推斷的具體手段。（2）卡方檢驗也遵循統計推斷的一般邏輯和程序。在進行卡方檢驗時，同樣需要提出原假設和備擇假設，確定檢驗的顯著性水平，根據樣本數據計算檢驗統計量，然后根據統計量的值和臨界值或P-值來做出決策，決定是否拒絕原假設，這與其他統計推斷方法的步驟是一致的。區別：（1）范圍不同。統計推斷是一個更廣泛的概念，它包括參數估計（如點估計和區間估計）和假設檢驗等多個方面，而卡方檢驗只是假設檢驗中的一種特定方法，專門用于處理分類數據。（2）數據類型和所關注的問題不同?？ǚ綑z驗主要用于分析分類數據，關注的是分類變量之間的關聯性或數據的分布擬合情況；統計推斷可以處理多種類型的數據（如數值數據、分類數據等），除了檢驗變量關聯外，還涉及到對總體參數（如均值、比例、方差等）的估計和檢驗等多種問題。（3）檢驗統計量和分布不同?？ǚ綑z驗的檢驗統計量遵循卡方分布，其計算是基于實際頻數和理論頻數的差異；而統計推斷中有多種不同的檢驗方法，如t檢驗的統計量服從t分布，z檢驗的統計量服從標準正態分布等，不同檢驗方法的統計量計算和分布都不同。2.請闡述在卡方檢驗中，理論頻數的計算方法及其重要性。理論頻數的計算方法：對于獨立性卡方檢驗，以一個r行c列的列聯表為例。假設我們要檢驗兩個分類變量A和B，變量A有r個類別，變量B有c個類別。對于列聯表中的每個單元格(i,j)（i=1,2,…,r；j=1,2,…,c），其理論頻數$E_{ij}$的計算公式為$E_{ij}=\frac{R_i\timesC_j}{n}$，其中$R_i$是第i行的行合計，$C_j$是第j列的列合計，n是樣本總量。對于卡方擬合優度檢驗，如果要檢驗樣本是否符合某種理論分布（如二項分布、泊松分布等），則理論頻數是根據該理論分布的概率計算公式和樣本總量來計算。例如，若假設樣本服從參數為$\lambda$的泊松分布，對于某個取值k，其理論概率為$P(X=k)=\frac{e^{-\lambda}\lambda^{k}}{k!}$，則該取值對應的理論頻數為$E_k=n\timesP(X=k)$，其中n是樣本總量。理論頻數的重要性：（1）理論頻數是卡方檢驗的基礎。卡方檢驗的基本思想是比較實際頻數和理論頻數之間的差異。實際頻數是我們從樣本中觀測到的頻數，而理論頻數是在假設成立的情況下應該出現的頻數。通過計算兩者的差異（采用卡方統計量，卡方統計量$\chi^{2}=\sum_{i=1}^{r}\sum_{j=1}^{c}\frac{(O_{ij}-E_{ij})^2}{E_{ij}}$，其中$O_{ij}$是實際頻數），來判斷原假設是否成立。如果實際頻數和理論頻數差異很大，就說明原假設可能不成立。（2）理論頻數的計算影響檢驗結果的準確性。如果理論頻數計算錯誤或者不合理，會導致卡方統計量計算錯誤，從而影響對原假設的判斷。并且當某些單元格的理論頻數過小時，會影響卡方分布的近似程度，可能導致檢驗結果不準確，這時就需要對數據進行調整（如合并類別、增加樣本量等）。四、計算題（每題12.5分，共25分）1.為了研究某種藥物對某種疾病的治療效果，將患者隨機分為兩組，一組使用該藥物（治療組），一組不使用該藥物（對照組）。經過一段時間的治療后，統計兩組的治愈情況，得到以下四格表數據：||治愈|未治愈|合計|||||||治療組|35|15|50||對照組|20|30|50||合計|55|45|100|請進行卡方獨立性檢驗，判斷該藥物對疾病的治療是否有顯著效果（顯著性水平$\alpha=0.05$）。步驟如下：（1）提出原假設$H_0$和備擇假設$H_1$。$H_0$：藥物治療與疾病治愈情況相互獨立，即藥物對治療沒有顯著效果。$H_1$：藥物治療與疾病治愈情況不相互獨立，即藥物對治療有顯著效果。（2）計算理論頻數。根據理論頻數計算公式$E_{ij}=\frac{R_i\timesC_j}{n}$，可得：治療組治愈的理論頻數$E_{11}=\frac{50\times55}{100}=27.5$；治療組未治愈的理論頻數$E_{12}=\frac{50\times45}{100}=22.5$；對照組治愈的理論頻數$E_{21}=\frac{50\times55}{100}=27.5$；對照組未治愈的理論頻數$E_{22}=\frac{50\times45}{100}=22.5$。（3）計算卡方統計量$\chi^{2}=\sum_{i=1}^{2}\sum_{j=1}^{2}\frac{(O_{ij}-E_{ij})^2}{E_{ij}}$，其中$O_{ij}$是實際頻數。$\chi^{2}=\frac{(35-27.5)^2}{27.5}+\frac{(15-22.5)^2}{22.5}+\frac{(20-27.5)^2}{27.5}+\frac{(30-22.5)^2}{22.5}$$=\frac{7.5^2}{27.5}+\frac{(-7.5)^2}{22.5}+\frac{(-7.5)^2}{27.5}+\frac{7.5^2}{22.5}$$=\frac{56.25}{27.5}+\frac{56.25}{22.5}+\frac{56.25}{27.5}+\frac{56.25}{22.5}$$\approx2.046+2.5+2.046+2.5$$=9.092$（4）確定自由度和臨界值。對于四格表，自由度$df=(2-1)\times(2-1)=1$。查卡方分布表，當$\alpha=0.05$，$df=1$時，臨界值$\chi_{0.05,1}^{2}=3.841$。（5）做出決策。因為計算得到的卡方值$\chi^{2}=9.092>3.841$，所以拒絕原假設$H_0$，接受備擇假設$H_1$。結論：在顯著性水平$\alpha=0.05$下，認為該藥物對疾病的治療有顯著效果。