湖北省孝感市部分高中2024—2025學年下學期期末聯考高二數學試題本試卷共4頁，19題，全卷滿分150分，考試用時120分鐘.注意事項：1、答題前，請將自己的姓名、準考證號、考場號、座位號填寫在試卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的制定位置.2、選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區域均無效.3、非選擇題作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡對應的答題區域內，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區域均無效.4、考試結束后，請將答題卡上交.一、選擇題：本題共8小題，每題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知數列，則是該數列的（）A.第5項 B.第6項C.第7項 D.第8項【答案】C【解析】【詳解】由數列，，2，…的前三項為，，可知，數列的通項公式為an＝＝，由＝2，可得n＝7.故選C.2.若，，成等比數列，則函數的圖像與軸的交點個數為（）．A.0 B.1 C.2 D.不確定【答案】B【解析】【分析】由題得，再計算得解.【詳解】因為，，成等比數列，所以，令，則，所以函數的圖像與軸的交點個數為1個，故選：B3.如圖為函數（其定義域為）的圖象，若的導函數為，則的圖象可能是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據的圖象，分析的函數值的正、負情況，即可判斷.【詳解】解：由圖象知上先減后增，故在上函數值先負后正，同理在上的符號是先負后正，四個選項中僅有選項A符合.故選：A.4.已知函數，則下列說法正確的是（）A.當時，取得極小值1 B.當時，取得極大值1C.當時，取得極大值33 D.當時，取得極大值【答案】B【解析】【分析】求導可得解析式，令，可得極值點，利用表格法，可得的單調區間，代入數據，可得的極值，分析即可得答案.【詳解】由題意得，令，解得或，當x變化時，、變化如下x-1+0-0+極大值極小值所以當時，取得極大值1，故B正確、C、D錯誤，當時，取得極小值，故A錯誤，故選：B5.如圖所示，積木拼盤由，，，，五塊積木組成，若每塊積木都要涂一種顏色，且為了體現拼盤的特色，相鄰的區域需涂不同的顏色（如：與為相鄰區域，與為不相鄰區域），現有五種不同的顏色可供挑選，則不同的涂色方法的種數是（）A.780 B.840 C.900 D.960【答案】D【解析】【分析】先涂，再涂，再涂，再涂，最后涂，由分步乘法計數原理，可得不同的涂色方法種數.【詳解】解：先涂，則有種涂法，再涂，因為與相鄰，所以的顏色只要與不同即可，有種涂法，同理有種涂法，有種涂法，有種涂法，由分步乘法計數原理，可知不同的涂色方法種數為．故選：D.6.某中學元旦晚會共由6個節目組成，演出順序有如下要求：節目甲必須排在乙的前面，丙不能排在最后一位，該晚會節目演出順序的編排方案共有A.720種 B.600種 C.360種 D.300種【答案】D【解析】【分析】根據題意，分2步進行分析：①，將除丙之外的5人排成一排，要求甲在乙的前面，②，5人排好后有5個空位可選，在其中任選1個，安排丙，由分步計數原理計算可得答案．【詳解】解：根據題意，分2步進行分析：將除丙之外的5人排成一排，要求甲在乙的前面，有種情況，②5人排好后有5個空位可選，其中任選1個，安排丙，有5種情況，則有60×5＝300種不同的順序，故選D．【點睛】本題考查排列、組合的實際應用，涉及分步計數原理的應用，屬于基礎題．7.已知正九邊形，從中任取兩個向量，則它們的數量積是正數的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據數量積的定義，列出基本事件求概率即可.【詳解】可以和向量構成數量積有一共8個向量，其中數量積為的正數的向量有：一共4個，由對稱性可知，任取兩個向量，它們的數量積是正數的概率為：.故選：A8.根據分類變量X與Y的成對樣本數據，計算得到，依據小概率值的獨立性檢驗（），可推斷（）A.變量X與Y不獨立B.變量X與Y不獨立，此推斷犯錯誤的概率不超過0.01C.無法判斷變量X與Y是否獨立D.變量X與Y獨立【答案】D【解析】【分析】由獨立性檢驗的意義判斷可得.【詳解】零假設為:變量X與Y獨立.因為，所以依據小概率值的獨立性檢驗，沒有充分證據推斷不成立，因此可以認為成立，即認為變量X與Y獨立.故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每題6分，共18分，在每小題給出的四個選項中，有多項是符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知等差數列的前項和為，等比數列的前項積為，則下列結論正確的是()A.數列是等差數列 B.數列是等差數列C.數列是等比數列 D.數列是等差數列【答案】ABC【解析】【分析】設等差數列的公差為，設等比數列的公比為，求出，利用等差數列的定義可判斷選項；利用等比數列定義可判斷C選項．【詳解】設等差數列的公差為，則，∴．對于A選項，，∴為等差數列，A正確；對于B選項，令，∴，故數列是等差數列，B正確；設等比數列的公比為，對于C選項，令，則，故數列是等比數列，C正確；對于D選項，∵不一定為常數，故數列不一定是等差數列，故D錯誤；故選：ABC．10.已知函數在R上單調遞增，為其導函數，則下列結論正確的是（）A. B.C D.【答案】AC【解析】【分析】根據導函數與函數單調性的關系一一判定即可.【詳解】因為函數，所以.因為函數在R上單調遞增，所以,對于任意的恒成立，所以恒成立，即A正確；但大小不確定，故B錯誤；對于方程，有，即，所以C正確，D錯誤；故選：AC.11.李明每天7：00從家里出發去學校，有時坐公交車，有時騎自行車．他各記錄了50次坐公交車和騎自行車所花的時間，經數據分析得到：坐公交車平均用時30分鐘，樣本方差為36；自行車平均用時34分鐘，樣本方差為4．假設坐公交車用時X和騎自行車用時Y都服從正態分布，則（）A.P(X＞32)＞P(Y＞32)B.P(X≤36)＝P(Y≤36)C.李明計劃7：34前到校，應選擇坐公交車D.李明計劃7：40前到校，應選擇騎自行車【答案】BCD【解析】【分析】首先利用正態分布，確定和，再結合正態分布的對稱性，和的原則，即可求解.【詳解】A.由條件可知，，根據對稱性可知，故A錯誤；B.,，所以，故B正確；C.=，所以，故C正確；D.，，所以，故D正確.故選：BCD三、填空題：本題共3小題，每題5分，共15分12.已知等比數列的前項中，所有奇數項的和為，所有偶數項的和為，則的值為______．【答案】【解析】【分析】設等比數列的公比為，根據已知條件求出的值，結合等比數列求和公式求出的值，進而可求得的值.【詳解】設等比數列的公比為，設等比數列的前項中，設所有奇數項的和為，所有偶數項的和為，則，所以，，又，則，因此，.故答案為：.13.從集合中任取兩個互不相等的數，，組成復數，其中虛數有______個.【答案】36【解析】【分析】若復數為虛數，則，分兩種情況討論即得解.【詳解】從集合中任取兩個互不相等的數，，組成復數，當時，對應的有6個值；當取1,2,3,4,5,6時，對應的只有5個值.所以虛數有（個）.故答案為:36.【點睛】本題考查了虛數的定義，考查了學生概念理解，數學運算，分類討論的能力，屬于基礎題.14.為研究某新藥的療效，給100名患者服用此藥，跟蹤調查后得如表所示的數據:單位:名性別療效合計無效有效男性患者153550女性患者64450合計2179100α0.1000.0500.0102.7063.8416.635設:服用此藥的效果與患者的性別無關，（小數點后保留3位有效數字），從而得出結論:服用此藥的效果與患者的性別有關，這種判斷出錯的概率不大于___________.【答案】0.05【解析】【分析】計算卡方，再由獨立性檢驗比較可得.【詳解】由公式計算得，根據小概率值的獨立性檢驗，認為服用此藥的效果與患者的性別有關，判斷出錯的概率不大于0.05.故答案為：0.05.四、解答題：本題共5小題，共77分15.已知數列是等差數列，，且成等比數列.給定，記集合的元素個數為bk.（1）求的值;（2）求滿足的最小自然數的值.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）設數列的公差為，根據題意，列出方程，求得，得到，結合，分別求得的值；（2）由（1）得到，求得，當和時，可得，，進而得到的最小值.小問1詳解】解：設數列的公差為，因為成等比數列，且，所以，即，即，解得，所以，又因為，當時，集合，所以集合中元素的個數；當時，集合，所以集合中元素的個數；【小問2詳解】解：由集合的元素個數為，結合（1）可得，所以，當時，可得；當時，可得，又由，所以數列為單調遞增數列，所以的最小值是.16.函數．（1）討論的單調性；（2）若有最大值M，且，求a的值．【答案】（1）答案見解析；（2）1【解析】【分析】（1）求出，分或兩種情況討論可得；（2）由（1）可得，則，構造函數，利用導數可求最大值得出，則，即可得出.【詳解】解：（1）易知，，當時對任意的恒成立；當時，若，得，若，得，綜上，當時，在上單調遞增；當時，在上單調遞增，在上單調遞減．（2）由（1）可得當時，單調遞增，則沒有最大值，，則在上單調遞增，在上單調遞減，，即，，，即，令，，當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，，，，.【點睛】本題考查不等式的恒成立問題，解題的關鍵是先得出，再根據導數求出函數單調性，得出.17.已知函數為常數，e=2.71828…，曲線在點處的切線與x軸平行.（Ⅰ）求k的值；（Ⅱ）求的單調區間；【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）單調遞增區間是，單調遞減區間是【解析】【詳解】試題分析：（1）求出函數的導函數，函數在點（1，f（1））處的切線與x軸平行，說明f′（1）=0，則k值可求；（2）求出函數的定義域，然后讓導函數等于0求出極值點，借助于導函數在各區間內的符號求函數f（x）的單調區間試題解析：（I），由已知，，（II）由（I）知，.設，則，即在上是減函數，由知，當時，，當時，從而.綜上可知，的單調遞增區間是，單調遞減區間是.考點：利用導數研究函數的單調性；導數的幾何意義18.某地區擬建立一個藝術博物館，采取競標的方式從多家建筑公司選取一家建筑公司，經過層層篩選，甲、乙兩家建筑公司進入最后的招標.現從建筑設計院聘請專家設計了一個招標方案:兩家公司從個招標問題中隨機抽取個問題，已知這個招標問題中，甲公司可正確回答其中的道題目，而乙公司能正確回答每道題目的概率均為，甲、乙兩家公司對每題的回答都是相互獨立，互不影響的.（1）求甲、乙兩家公司共答對道題目的概率；（2）請從期望和方差的角度分析，甲、乙兩家哪家公司競標成功的可能性更大？【答案】（1）（2）甲公司競標成功的可能性更大.【解析】【詳解】試題分析：（1）分兩種情況求概率：甲答對道題、乙答對道題；甲答對道題、乙答對道題；其中甲答對道題概率為,乙答對道題概率為，最后根據概率乘法公式與加法公式求概率，（2）分別求甲、乙公司正確完成面試的題數期望和方差，期望較大、方差較小的公司競標成功的可能性更大.先確定隨機變量可能取法，求出對應概率(甲答對道題概率為,乙答對道題概率為)，利用期望公式及方差公式求期望與方差.試題解析：（1）由題意可知，所求概率.(2)設甲公司正確完成面試的題數為,則的取值分別為，，.,，.則的分布列為：.設乙公司正確完成面試的題為,則取值分別為，，，.,,,則的分布列為：.（或）.()由,可得，甲公司競標成功的可能性更大.19.中國茶文化博大精深，飲茶深受大眾喜愛，茶水的口感與茶葉類型和水的溫度有關，某數學建模小組為了獲得茶水溫度y（單位：）關于時間x（單位：min）的回歸方程模型，通過實驗收集在室溫，用同一溫度的水沖泡的條件下，茶水溫度隨時間變化的7組數據，并對數據做初步處理得到如圖所示散點圖以及如表所示數據.73.53.85表中：，（1）根據散點圖判斷，①與②哪一個更適宜作為該茶水溫度y關于時間x的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）請根據你的判斷結果及表中數據建立該茶水溫度y關于時間x的回歸方程；（2）已知該茶水溫度降至口感最佳，根據（1）中的回歸方程，求在相同條件下沖泡的茶水，大約需要放置多長時間才能達到最佳飲用口感？附：（1）對于一組數據，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分