福建莆田二模數學試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.在下列各數中，無理數是（）

A.$\sqrt{2}$

B.$\frac{1}{3}$

C.$3.1415926$

D.$0.1010010001\ldots$

2.已知$a=-2$，$b=-3$，則$a^2+b^2$的值為（）

A.$7$

B.$5$

C.$13$

D.$11$

3.如果$2x+1=0$，那么$x$的值是（）

A.$1$

B.$-1$

C.$\frac{1}{2}$

D.$-\frac{1}{2}$

4.在下列函數中，一次函數是（）

A.$y=x^2$

B.$y=2x+3$

C.$y=3x^2+2x+1$

D.$y=2x+3x^2$

5.已知等腰三角形的底邊長為$4$，腰長為$5$，則該三角形的面積為（）

A.$10$

B.$8$

C.$12$

D.$6$

6.下列各式中，分式有（）

A.$a+b$

B.$\frac{a}{b}$

C.$a^2$

D.$ab$

7.若$a+b=3$，$ab=4$，則$a^2+b^2$的值為（）

A.$5$

B.$7$

C.$9$

D.$11$

8.已知等差數列$\{a_n\}$的前$5$項和為$15$，公差為$2$，則第$10$項為（）

A.$7$

B.$9$

C.$11$

D.$13$

9.在下列各數中，整數是（）

A.$\sqrt{2}$

B.$\frac{1}{3}$

C.$3.1415926$

D.$-2$

10.已知平行四邊形的對角線互相平分，那么這個平行四邊形是（）

A.矩形

B.菱形

C.正方形

D.梯形

二、多項選擇題（每題4分，共20分）

1.下列各數中，屬于實數集的有（）

A.$\sqrt{3}$

B.$\pi$

C.$\frac{1}{2}$

D.$-3.14$

E.$i$（虛數單位）

2.下列函數中，屬于奇函數的有（）

A.$f(x)=x^3$

B.$f(x)=x^2$

C.$f(x)=\sin(x)$

D.$f(x)=\cos(x)$

E.$f(x)=e^x$

3.在直角坐標系中，下列各點中，位于第二象限的有（）

A.$(2,3)$

B.$(-2,3)$

C.$(-2,-3)$

D.$(2,-3)$

E.$(0,0)$

4.下列各式中，正確的是（）

A.$a^2=b^2$則$a=b$

B.$a^2=b^2$則$a=\pmb$

C.$a^3=b^3$則$a=b$

D.$a^3=b^3$則$a=\pmb$

E.$a^2=b^2$且$a\neqb$則$a^3\neqb^3$

5.下列各數中，能被$3$整除的有（）

A.$27$

B.$28$

C.$30$

D.$33$

E.$36$

三、填空題（每題4分，共20分）

1.若等差數列的第一項為$2$，公差為$3$，則該數列的第$10$項為______。

2.函數$f(x)=2x-1$的圖像與$y$軸的交點坐標為______。

3.在直角三角形中，若兩直角邊的長度分別為$3$和$4$，則斜邊的長度為______。

4.若$|a|=5$，則$a$的值為______（列出所有可能的值）。

5.若$a$和$b$是方程$2x^2-5x+3=0$的兩個根，則$a+b$的值為______。

四、計算題（每題10分，共50分）

1.解一元二次方程：$x^2-5x+6=0$，并寫出其因式分解形式。

2.已知函數$f(x)=3x^2-2x-5$，求該函數的頂點坐標。

3.計算下列三角函數的值（使用特殊角或單位圓）：

-$\sin(60^\circ)$

-$\cos(45^\circ)$

-$\tan(30^\circ)$

4.已知等比數列的前三項分別為$2$，$6$，$18$，求該數列的公比和第$7$項。

5.在$\triangleABC$中，$a=5$，$b=8$，$c=10$，求$\sinA$，$\sinB$，$\sinC$的值。

本專業課理論基礎試卷答案及知識點總結如下：

一、選擇題答案及知識點詳解

1.D。無理數是不能表示為兩個整數之比的數，$\sqrt{2}$是無理數。

2.C。$a^2+b^2=(\sqrt{2})^2+(\sqrt{2})^2=2+2=4$。

3.B。由$2x+1=0$得$x=-\frac{1}{2}$。

4.B。一次函數的形式為$y=kx+b$，其中$k$和$b$是常數。

5.A。等腰三角形的面積$S=\frac{1}{2}\times底邊長\times高$，高為$\sqrt{5^2-2^2}=\sqrt{21}$，所以$S=\frac{1}{2}\times4\times\sqrt{21}=2\sqrt{21}$。

6.B。分式是形如$\frac{a}{b}$的式子，其中$a$和$b$是數，$b$不為$0$。

7.B。由$a+b=3$，$ab=4$得$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=9-8=1$。

8.C。等差數列的第$n$項公式為$a_n=a_1+(n-1)d$，所以$a_{10}=2+(10-1)\times2=20$。

9.D。整數是沒有小數部分的數，$-2$是整數。

10.A。平行四邊形的對角線互相平分，則它是一個矩形。

二、多項選擇題答案及知識點詳解

1.ABD。實數集包括有理數和無理數。

2.AC。奇函數滿足$f(-x)=-f(x)$，偶函數滿足$f(-x)=f(x)$。

3.BC。第二象限的點$x$坐標為負，$y$坐標為正。

4.BD。$a^2=b^2$時，$a$和$b$可能相等，也可能互為相反數。$a^3=b^3$時，$a$和$b$可能相等，也可能互為相反數。

5.ACE。能被$3$整除的數，其各位數字之和能被$3$整除。

三、填空題答案及知識點詳解

1.$16$。等差數列的第$n$項公式為$a_n=a_1+(n-1)d$，所以$a_{10}=2+(10-1)\times3=16$。

2.$(0,-1)$。函數與$y$軸的交點$x$坐標為$0$，代入函數得$y=2\times0-1=-1$。

3.$5$。根據勾股定理，斜邊長度$c=\sqrt{3^2+4^2}=5$。

4.$\pm5$。絕對值表示數的大小，不考慮正負，所以$|a|=5$時，$a$可以是$5$或$-5$。

5.$3$。根據韋達定理，$a+b=\frac{-(-5)}{2}=3$。

四、計算題答案及知識點詳解

1.解得$x=2$或$x=3$。因式分解形式為$(x-2)(x-3)=0$。

2.頂點坐標為$(\frac{1}{3},-\frac{47}{3})$。頂點坐標公式為$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$。

3.$\sin(60^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\cos(45^\circ)=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\tan(30^\circ)=\frac{1}{\sqrt{3}}$。

4.公比$q=\frac{6}{2}=3$，第$7$項$a_7=18\times3=54$。

5.$\sinA=\frac{a}{c}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$，$\sinB=\frac{b}{c}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}$，$\sinC=\frac{c}{c}=1$。

知識點總結：

1.實數集：包括有理數和無理數。

2.函數：定義、圖像、性質（奇偶性、周期性等）。

3.三角函數：特殊角的三角函數值、單位圓上的三角函數值。

4.