高校離散數學試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.在集合論中，若集合A包含集合B，則稱A為B的（）。

A.子集B.父集C.真子集D.交集

2.下列哪項屬于命題邏輯中的合取命題（）。

A.P∧QB.P∨QC.P→QD.P?Q

3.在關系數據庫中，一個表中的所有行和列都相等的是（）。

A.關系B.列C.行D.元組

4.在圖論中，若圖中任意兩個頂點之間都有邊相連，則稱該圖為（）。

A.有向圖B.無向圖C.完全圖D.有環圖

5.在圖論中，若圖中任意兩個頂點之間都有路徑相連，則稱該圖為（）。

A.連通圖B.連通有向圖C.強連通圖D.弱連通圖

6.下列哪項屬于數理邏輯中的謂詞邏輯（）。

A.命題邏輯B.真值表C.遞歸函數D.離散結構

7.在數理邏輯中，一個命題的真值由其組成的（）的真值決定。

A.子命題B.分支C.節點D.邊

8.在組合數學中，一個集合的冪集是指該集合的所有（）組成的集合。

A.子集B.父集C.真子集D.交集

9.在圖論中，一個圖中若存在一個頂點，其度數為0，則稱該圖為（）。

A.無向圖B.有向圖C.完全圖D.無環圖

10.在離散數學中，下列哪個概念屬于遞歸定義（）。

A.概率B.組合C.離散結構D.遞歸函數

二、多項選擇題（每題4分，共20分）

1.下列哪些是集合論中的基本概念？（）

A.子集B.父集C.真子集D.交集E.并集F.補集

2.下列哪些命題邏輯的運算符是等價運算符？（）

A.∧B.∨C.→D.?E.?F.?

3.下列哪些是關系數據庫設計中的范式？（）

A.第一范式（1NF）B.第二范式（2NF）C.第三范式（3NF）D.第四范式（4NF）E.第五范式（5NF）F.第六范式（6NF）

4.下列哪些是圖論中的路徑類型？（）

A.簡單路徑B.循環路徑C.質量路徑D.最短路徑E.最長路徑F.轉移路徑

5.下列哪些是數理邏輯中的遞歸定義的例子？（）

A.計算階乘函數B.計算斐波那契數列C.計算階乘函數的逆運算D.計算素數分解E.計算哈希函數F.計算二叉樹的遍歷

三、填空題（每題4分，共20分）

1.在集合論中，一個集合的基數是指該集合中元素的個數，也稱為該集合的_______。

2.在命題邏輯中，如果一個命題P是另一個命題Q的充分條件，則可以表示為_______。

3.在關系數據庫中，第一范式（1NF）要求表中的每一列都是_______。

4.在圖論中，一個圖如果每個頂點的度數都是偶數，則該圖被稱為_______圖。

5.在數理邏輯中，一個函數f：A→B是遞歸可枚舉的，當且僅當對于任意的x∈A，函數f的值可以通過_______過程得到。

四、計算題（每題10分，共50分）

1.設集合A={1,2,3,4,5}，集合B={2,4,6,8,10}，計算集合A與集合B的笛卡爾積A×B。

2.已知命題P：(x+y=z)∧(x≠y)，其中x、y、z是整數。求命題P的否定形式。

3.設關系R為R(A,B,C,D)={(1,a,2,c),(2,b,3,d),(3,a,4,c)}，關系S為S(A,B,C)={(1,a,2),(2,b,3),(3,a,4)}，計算關系R和S的自然連接R?S。

4.給定一個無向圖，頂點集合V={v1,v2,v3,v4}，邊集合E={(v1,v2),(v2,v3),(v3,v4),(v4,v1)}，求該圖的所有簡單路徑。

5.設遞歸函數f(n)=n*f(n-1)，其中f(0)=1，計算f(5)的值。

本專業課理論基礎試卷答案及知識點總結如下：

一、選擇題答案及知識點詳解

1.A（子集）：在集合論中，若集合A的所有元素都是集合B的元素，則稱A是B的子集。

2.A（合取命題）：合取命題是指由兩個或多個命題通過邏輯與運算符連接而成的命題。

3.A（關系）：在關系數據庫中，一個表代表一個關系，表中的每一行是一個元組，每一列是一個屬性。

4.C（完全圖）：在圖論中，一個圖中任意兩個頂點之間都有邊相連，這樣的圖稱為完全圖。

5.A（連通圖）：在圖論中，若圖中任意兩個頂點之間都有路徑相連，則稱該圖為連通圖。

二、多項選擇題答案及知識點詳解

1.A,C,D,E,F（集合論基本概念）：子集、真子集、交集、并集、補集是集合論的基本概念。

2.A,B,C,D（命題邏輯等價運算符）：邏輯與（∧）、邏輯或（∨）、邏輯蘊含（→）、邏輯等價（?）是等價運算符。

3.A,B,C（關系數據庫范式）：第一范式（1NF）、第二范式（2NF）、第三范式（3NF）是關系數據庫設計中的范式。

4.A,B,D（圖論路徑類型）：簡單路徑、循環路徑、最短路徑是圖論中的路徑類型。

5.A,B,D（遞歸定義例子）：計算階乘函數、計算斐波那契數列、計算素數分解是遞歸定義的例子。

三、填空題答案及知識點詳解

1.基數：集合論中，一個集合的基數是指該集合中元素的個數。

2.否定形式：命題P的否定形式是(?P)∧(?Q)，其中?表示邏輯非。

3.簡單屬性：在關系數據庫中，第一范式（1NF）要求表中的每一列都是簡單屬性，即不可再分的。

4.平面圖：在圖論中，一個圖如果每個頂點的度數都是偶數，則該圖被稱為平面圖。

5.遞歸過程：在數理邏輯中，一個函數f：A→B是遞歸可枚舉的，當且僅當對于任意的x∈A，函數f的值可以通過遞歸過程得到。

四、計算題答案及知識點詳解

1.解題過程：集合A×B={(1,2),(1,4),(1,6),(1,8),(1,10),(2,2),(2,4),(2,6),(2,8),(2,10),(3,2),(3,4),(3,6),(3,8),(3,10),(4,2),(4,4),(4,6),(4,8),(4,10),(5,2),(5,4),(5,6),(5,8),(5,10)}。

2.解題過程：命題P的否定形式是(?(x+y=z))∧(x=y)，即(x+y≠z)∧(x=y)。

3.解題過程：自然連接R?S={(1,a,2,c),(2,b,3,d),(3,a,4,c)}，因為S的第三列在R中不存在，所以S的第三列與R的連接部分為空。

4.解題過程：該圖的所有簡單路徑為{(v1,v2),(v2,v3),(v3,v4),(v4,v1),(v1,v3),(v3,v2),(v2,v4),(v4,v3)}。

5.解題過程：f(5)=5*f(4)=5*4*f(3)=5*4*3*f(2)=5*4*3*2*f(1