高三安徽天一數學試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.在下列各數中，有理數是：

A.$\sqrt{3}$

B.$\pi$

C.$\frac{2}{3}$

D.$\sqrt{-1}$

2.已知等差數列$\{a_n\}$的首項為$a_1$，公差為$d$，則$a_3$、$a_5$、$a_7$的大小關系是：

A.$a_3>a_5>a_7$

B.$a_3<a_5<a_7$

C.$a_3=a_5=a_7$

D.$a_3>a_5<a_7$

3.若等比數列$\{b_n\}$的首項為$b_1$，公比為$q$，則$b_3$、$b_5$、$b_7$的大小關系是：

A.$b_3>b_5>b_7$

B.$b_3<b_5<b_7$

C.$b_3=b_5=b_7$

D.$b_3>b_5<b_7$

4.已知等差數列$\{a_n\}$的首項為$a_1$，公差為$d$，則$a_n$的通項公式是：

A.$a_n=a_1+(n-1)d$

B.$a_n=a_1-(n-1)d$

C.$a_n=a_1+nd$

D.$a_n=a_1-nd$

5.已知等比數列$\{b_n\}$的首項為$b_1$，公比為$q$，則$b_n$的通項公式是：

A.$b_n=b_1\timesq^{n-1}$

B.$b_n=b_1\timesq^{n+1}$

C.$b_n=b_1\timesq^{n-2}$

D.$b_n=b_1\timesq^{n+2}$

6.若一個數列的前$n$項和為$S_n$，且$S_n=3n^2-2n$，則該數列的第$n$項是：

A.$6n-5$

B.$6n-3$

C.$6n+1$

D.$6n+3$

7.若一個數列的前$n$項和為$S_n$，且$S_n=\frac{n(n+1)}{2}$，則該數列的第$n$項是：

A.$n$

B.$n+1$

C.$n-1$

D.$n-2$

8.若函數$f(x)=2x-1$在$x=3$處的切線斜率為：

A.$2$

B.$-2$

C.$1$

D.$-1$

9.若函數$f(x)=x^2-4x+3$在$x=2$處的切線方程為：

A.$y=1$

B.$y=-1$

C.$y=3$

D.$y=-3$

10.若函數$f(x)=\frac{1}{x}$在$x=1$處的導數為：

A.$1$

B.$-1$

C.$0$

D.無定義

二、多項選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數中，奇函數的有：

A.$f(x)=x^3$

B.$f(x)=\cos(x)$

C.$f(x)=\frac{1}{x}$

D.$f(x)=\sqrt{x}$

2.下列數列中，屬于等差數列的有：

A.$\{1,4,7,10,\ldots\}$

B.$\{2,4,8,16,\ldots\}$

C.$\{3,6,9,12,\ldots\}$

D.$\{5,10,15,20,\ldots\}$

3.下列數列中，屬于等比數列的有：

A.$\{1,2,4,8,\ldots\}$

B.$\{1,3,9,27,\ldots\}$

C.$\{2,6,18,54,\ldots\}$

D.$\{3,6,12,24,\ldots\}$

4.下列圖形中，屬于正多邊形的有：

A.正三角形

B.正方形

C.正五邊形

D.正六邊形

5.下列數學問題中，可以用數列解決的有：

A.求一個數列的前$n$項和

B.求一個數列的通項公式

C.求一個函數在某一點處的導數

D.求一個函數在某一點處的切線方程

三、填空題（每題4分，共20分）

1.若函數$f(x)=ax^2+bx+c$的圖像開口向上，則$a$的取值范圍是______。

2.若等差數列$\{a_n\}$的首項為$a_1$，公差為$d$，則第$n$項$a_n$的表達式為______。

3.若等比數列$\{b_n\}$的首項為$b_1$，公比為$q$，則第$n$項$b_n$的表達式為______。

4.若函數$f(x)=\frac{1}{x}$在區間$[1,2]$上的平均變化率為$1$，則$f(x)$在$x=1$處的導數為______。

5.若一個正方形的對角線長度為$2\sqrt{2}$，則該正方形的邊長為______。

四、計算題（每題10分，共50分）

1.已知函數$f(x)=3x^2-4x+1$，求：

（1）函數的對稱軸；

（2）函數在$x=1$處的切線方程。

2.已知數列$\{a_n\}$的前$n$項和$S_n=5n^2-3n$，求：

（1）數列的首項$a_1$；

（2）數列的通項公式$a_n$。

3.已知等差數列$\{b_n\}$的首項為$b_1=2$，公差為$d=3$，求：

（1）數列的前$10$項和；

（2）數列的第$20$項。

4.已知等比數列$\{c_n\}$的首項為$c_1=4$，公比為$q=\frac{1}{2}$，求：

（1）數列的第$6$項；

（2）數列的前$10$項和。

5.已知函數$f(x)=\sqrt{x}$在區間$[0,4]$上的圖像，求：

（1）函數在區間$[0,2]$上的平均變化率；

（2）函數在$x=2$處的導數；

（3）函數在區間$[0,4]$上的最大值和最小值。

本專業課理論基礎試卷答案及知識點總結如下：

一、選擇題答案及知識點詳解

1.C（有理數是可以表示為兩個整數之比的數，$\frac{2}{3}$是一個有理數。）

2.A（等差數列的公差是固定的，隨著項數的增加，項的值也按固定的增量增加。）

3.B（等比數列的公比是固定的，隨著項數的增加，項的值按固定的倍數增加。）

4.A（等差數列的通項公式是$a_n=a_1+(n-1)d$，其中$a_1$是首項，$d$是公差。）

5.A（等比數列的通項公式是$b_n=b_1\timesq^{n-1}$，其中$b_1$是首項，$q$是公比。）

6.C（利用前$n$項和公式$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$和已知的$S_n$值，可以求出$a_n$。）

7.A（利用前$n$項和公式$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$和已知的$S_n$值，可以求出$a_n$。）

8.A（函數的切線斜率是導數，對于線性函數$f(x)=2x-1$，導數$f'(x)=2$。）

9.B（求導數$f'(x)=2x-4$，代入$x=2$得到切線斜率$f'(2)=0$。）

10.B（求導數$f'(x)=-\frac{1}{x^2}$，代入$x=1$得到導數$f'(1)=-1$。）

二、多項選擇題答案及知識點詳解

1.AC（奇函數滿足$f(-x)=-f(x)$，偶函數滿足$f(-x)=f(x)$。）

2.AC（等差數列的項與項之間差一個常數，而B和D不是等差數列。）

3.AB（等比數列的項與項之間乘一個常數，而C和D不是等比數列。）

4.ABCD（正多邊形是指所有邊和角都相等的多邊形。）

5.AB（數列可以用來描述一系列有序的數，而C和D是函數的概念。）

三、填空題答案及知識點詳解

1.$a>0$（函數的開口方向由二次項系數決定，當$a>0$時，開口向上。）

2.$a_n=a_1+(n-1)d$（等差數列的通項公式。）

3.$b_n=b_1\timesq^{n-1}$（等比數列的通項公式。）

4.1（平均變化率是函數增量與自變量增量的比值，對于線性函數，導數等于斜率。）

5.2（正方形的對角線長度是邊長的$\sqrt{2}$倍，所以邊長是$\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=2$。）

四、計算題答案及知識點詳解

1.

（1）對稱軸是$x=-\frac{2a}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$；

（2）切線方程為$y-f(1)=f'(1)(x-1)$，代入$f(1)=0$和$f'(1)=-2$得到$y=-2(x-1)$。

2.

（1）$S_n=5n^2-3n$，當$n=1$時，$S_1=5(1)^2-3(1)=2$，所以$a_1=2$；

（2）$a_n=S_n-S_{n-1}=(5n^2-3n)-(5(n-1)^2-3(n-1))=10n-8$。

3.

（1）$S_{10}=5(10)^2-3(10)=470$；

（2）$b_{20}=b_1+(20-1)d=2+19\times3=59$。

4.

（1）$c_n=c_1\timesq^{n-1}=4\times(\frac{1}{2})^{n-1}$；

（2）$S_{10}=\frac{c_1(1-q^{10})}{1-q}=\frac{4(1-(\frac{1}{2})^{10})}{1-\frac{1}{2}}=7.8125$。

5.

（1）平均變化率$=\frac{f(2)-f(0)}{2-0}=\frac{\sqrt{2}-0}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$；

（2）$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$，代入$x=2$得到$f'(2)=\frac{1}{4}$；

（3）最大值和最小值在端點處取得，$f(0)