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文檔簡介
高三安徽天一數學試卷一、選擇題(每題1分,共10分)
1.在下列各數中,有理數是:
A.$\sqrt{3}$
B.$\pi$
C.$\frac{2}{3}$
D.$\sqrt{-1}$
2.已知等差數列$\{a_n\}$的首項為$a_1$,公差為$d$,則$a_3$、$a_5$、$a_7$的大小關系是:
A.$a_3>a_5>a_7$
B.$a_3<a_5<a_7$
C.$a_3=a_5=a_7$
D.$a_3>a_5<a_7$
3.若等比數列$\{b_n\}$的首項為$b_1$,公比為$q$,則$b_3$、$b_5$、$b_7$的大小關系是:
A.$b_3>b_5>b_7$
B.$b_3<b_5<b_7$
C.$b_3=b_5=b_7$
D.$b_3>b_5<b_7$
4.已知等差數列$\{a_n\}$的首項為$a_1$,公差為$d$,則$a_n$的通項公式是:
A.$a_n=a_1+(n-1)d$
B.$a_n=a_1-(n-1)d$
C.$a_n=a_1+nd$
D.$a_n=a_1-nd$
5.已知等比數列$\{b_n\}$的首項為$b_1$,公比為$q$,則$b_n$的通項公式是:
A.$b_n=b_1\timesq^{n-1}$
B.$b_n=b_1\timesq^{n+1}$
C.$b_n=b_1\timesq^{n-2}$
D.$b_n=b_1\timesq^{n+2}$
6.若一個數列的前$n$項和為$S_n$,且$S_n=3n^2-2n$,則該數列的第$n$項是:
A.$6n-5$
B.$6n-3$
C.$6n+1$
D.$6n+3$
7.若一個數列的前$n$項和為$S_n$,且$S_n=\frac{n(n+1)}{2}$,則該數列的第$n$項是:
A.$n$
B.$n+1$
C.$n-1$
D.$n-2$
8.若函數$f(x)=2x-1$在$x=3$處的切線斜率為:
A.$2$
B.$-2$
C.$1$
D.$-1$
9.若函數$f(x)=x^2-4x+3$在$x=2$處的切線方程為:
A.$y=1$
B.$y=-1$
C.$y=3$
D.$y=-3$
10.若函數$f(x)=\frac{1}{x}$在$x=1$處的導數為:
A.$1$
B.$-1$
C.$0$
D.無定義
二、多項選擇題(每題4分,共20分)
1.下列函數中,奇函數的有:
A.$f(x)=x^3$
B.$f(x)=\cos(x)$
C.$f(x)=\frac{1}{x}$
D.$f(x)=\sqrt{x}$
2.下列數列中,屬于等差數列的有:
A.$\{1,4,7,10,\ldots\}$
B.$\{2,4,8,16,\ldots\}$
C.$\{3,6,9,12,\ldots\}$
D.$\{5,10,15,20,\ldots\}$
3.下列數列中,屬于等比數列的有:
A.$\{1,2,4,8,\ldots\}$
B.$\{1,3,9,27,\ldots\}$
C.$\{2,6,18,54,\ldots\}$
D.$\{3,6,12,24,\ldots\}$
4.下列圖形中,屬于正多邊形的有:
A.正三角形
B.正方形
C.正五邊形
D.正六邊形
5.下列數學問題中,可以用數列解決的有:
A.求一個數列的前$n$項和
B.求一個數列的通項公式
C.求一個函數在某一點處的導數
D.求一個函數在某一點處的切線方程
三、填空題(每題4分,共20分)
1.若函數$f(x)=ax^2+bx+c$的圖像開口向上,則$a$的取值范圍是______。
2.若等差數列$\{a_n\}$的首項為$a_1$,公差為$d$,則第$n$項$a_n$的表達式為______。
3.若等比數列$\{b_n\}$的首項為$b_1$,公比為$q$,則第$n$項$b_n$的表達式為______。
4.若函數$f(x)=\frac{1}{x}$在區間$[1,2]$上的平均變化率為$1$,則$f(x)$在$x=1$處的導數為______。
5.若一個正方形的對角線長度為$2\sqrt{2}$,則該正方形的邊長為______。
四、計算題(每題10分,共50分)
1.已知函數$f(x)=3x^2-4x+1$,求:
(1)函數的對稱軸;
(2)函數在$x=1$處的切線方程。
2.已知數列$\{a_n\}$的前$n$項和$S_n=5n^2-3n$,求:
(1)數列的首項$a_1$;
(2)數列的通項公式$a_n$。
3.已知等差數列$\{b_n\}$的首項為$b_1=2$,公差為$d=3$,求:
(1)數列的前$10$項和;
(2)數列的第$20$項。
4.已知等比數列$\{c_n\}$的首項為$c_1=4$,公比為$q=\frac{1}{2}$,求:
(1)數列的第$6$項;
(2)數列的前$10$項和。
5.已知函數$f(x)=\sqrt{x}$在區間$[0,4]$上的圖像,求:
(1)函數在區間$[0,2]$上的平均變化率;
(2)函數在$x=2$處的導數;
(3)函數在區間$[0,4]$上的最大值和最小值。
本專業課理論基礎試卷答案及知識點總結如下:
一、選擇題答案及知識點詳解
1.C(有理數是可以表示為兩個整數之比的數,$\frac{2}{3}$是一個有理數。)
2.A(等差數列的公差是固定的,隨著項數的增加,項的值也按固定的增量增加。)
3.B(等比數列的公比是固定的,隨著項數的增加,項的值按固定的倍數增加。)
4.A(等差數列的通項公式是$a_n=a_1+(n-1)d$,其中$a_1$是首項,$d$是公差。)
5.A(等比數列的通項公式是$b_n=b_1\timesq^{n-1}$,其中$b_1$是首項,$q$是公比。)
6.C(利用前$n$項和公式$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$和已知的$S_n$值,可以求出$a_n$。)
7.A(利用前$n$項和公式$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$和已知的$S_n$值,可以求出$a_n$。)
8.A(函數的切線斜率是導數,對于線性函數$f(x)=2x-1$,導數$f'(x)=2$。)
9.B(求導數$f'(x)=2x-4$,代入$x=2$得到切線斜率$f'(2)=0$。)
10.B(求導數$f'(x)=-\frac{1}{x^2}$,代入$x=1$得到導數$f'(1)=-1$。)
二、多項選擇題答案及知識點詳解
1.AC(奇函數滿足$f(-x)=-f(x)$,偶函數滿足$f(-x)=f(x)$。)
2.AC(等差數列的項與項之間差一個常數,而B和D不是等差數列。)
3.AB(等比數列的項與項之間乘一個常數,而C和D不是等比數列。)
4.ABCD(正多邊形是指所有邊和角都相等的多邊形。)
5.AB(數列可以用來描述一系列有序的數,而C和D是函數的概念。)
三、填空題答案及知識點詳解
1.$a>0$(函數的開口方向由二次項系數決定,當$a>0$時,開口向上。)
2.$a_n=a_1+(n-1)d$(等差數列的通項公式。)
3.$b_n=b_1\timesq^{n-1}$(等比數列的通項公式。)
4.1(平均變化率是函數增量與自變量增量的比值,對于線性函數,導數等于斜率。)
5.2(正方形的對角線長度是邊長的$\sqrt{2}$倍,所以邊長是$\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=2$。)
四、計算題答案及知識點詳解
1.
(1)對稱軸是$x=-\frac{2a}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$;
(2)切線方程為$y-f(1)=f'(1)(x-1)$,代入$f(1)=0$和$f'(1)=-2$得到$y=-2(x-1)$。
2.
(1)$S_n=5n^2-3n$,當$n=1$時,$S_1=5(1)^2-3(1)=2$,所以$a_1=2$;
(2)$a_n=S_n-S_{n-1}=(5n^2-3n)-(5(n-1)^2-3(n-1))=10n-8$。
3.
(1)$S_{10}=5(10)^2-3(10)=470$;
(2)$b_{20}=b_1+(20-1)d=2+19\times3=59$。
4.
(1)$c_n=c_1\timesq^{n-1}=4\times(\frac{1}{2})^{n-1}$;
(2)$S_{10}=\frac{c_1(1-q^{10})}{1-q}=\frac{4(1-(\frac{1}{2})^{10})}{1-\frac{1}{2}}=7.8125$。
5.
(1)平均變化率$=\frac{f(2)-f(0)}{2-0}=\frac{\sqrt{2}-0}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$;
(2)$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$,代入$x=2$得到$f'(2)=\frac{1}{4}$;
(3)最大值和最小值在端點處取得,$f(0)
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