2024—2025學年上海市寶山區上海大學附屬中學高二下學期3月月考數學試卷

一、填空題(★★)1.拋物線的準線方程為______．(★)2.在的二項展開式中，若各項系數和為729，則正整數的值為______．(★★)3.若直線與垂直，則________．(★★)4.在5名男生和4名女生中選出3人，至少有一名男生的選法有________種（填寫數值）.(★★)5.橢圓，橢圓的離心率為，則與更扁平的是_____．（填or）(★)6.已知雙曲線的一條漸近線方程是，則__________．(★★)7.已知空間向量，則向量在向量上的投影向量是______．(★★★)8.已知，其中，若，，則實數的最大值為______．(★★)9.如圖，在三棱柱中，、分別為和的中點，設，，，則___________（用表示）．(★★)10.甲、乙兩人組成“星隊”參加投籃比賽，每輪比賽由甲、乙在罰球區各投一次，已知甲、乙每輪投中的概率分別為、，在每輪比察中，甲和乙是否投中互不影響，各輪之間也互不影響，則“星隊”在兩輪比賽中共投中3球的概率為________．(★★)11.若直線與曲線有兩個不同的交點，則實數的取值范圍是________．(★★★)12.將3個的正方形沿鄰邊的中點剪開分成兩部分（如圖左）；將這六個部分接于一個邊長為的正六邊形邊上（如圖），若拼接后的圖形是一個多面體的表面展開圖，則該多面體的體積是_______．二、單選題(★★)13.設直線的方向向量為，平面的法向量為，則是的（）條件

A．充分非必要B．必要非充分C．充要D．既非充分也非必要(★★★)14.若橢圓（）和雙曲線（）有相同的焦點和，而P是這兩條曲線的一個交點，則的值是（）

A．B．C．D．(★★)15.如圖，一個高為2的長方體形狀的容器內裝有水，若保持容器底面的一條棱不動，將該容器的另一端抬起至水恰好不能流出容器，發現此時容器的底面中不被水浸到的面積為底面積的，則容器在原來位置時的水深為（）

A．B．C．D．(★★★)16.在等腰直角中，，點是邊上異于端點的一點，光線從點出發經、邊反射后又回到點，若光線經過的重心，則的面積等于（）

A．B．C．D．三、解答題(★★★)17.男女排成一排，設事件個男生不相鄰，事件個女生都相鄰，(1)分別求事件與事件發生的概率；(2)判斷事件與事件是否是獨立事件，并說明理由．(★★★)18.如圖是用個圓構成“卡通鼠”的形象，點是圓的圓心，圓過坐標原點；點、均在軸上，圓與圓的半徑都等于，圓、圓均與圓外切．(1)求圓心與圓心的坐標；(2)已知直線過點若直線截圓、圓、圓所得弦長均等于，求出的值.(★★★)19.已知拋物線過點，其焦點為，若且(1)求的值以及拋物線的方程；(2)過點且斜率為1的直線被拋物線截得的弦為，若在以為直徑的圓內，求實數的取值范圍．(★★★)20.如圖所示，已知三棱柱的側棱與底面垂直，，，是的中點，是的中點，點在直線上，且滿足．(1)證明：；(2)當取何值時，直線與平面所成的角最大？并求該角取得最大值時的正切值；(3)若平面與平面所成的銳二面角為，試確定點的位置．(★★★)21.已知橢圓長軸長為4，C的短軸的兩個頂點與左焦點構成等邊三角形．(1)求C的標準方程；(2)