熱點(diǎn)(十四)新定義，新背景，新情境1．定義集合A，B的一種運(yùn)算：A*B＝{x|x＝x1＋x2，其中x1∈A，x2∈B}，若A＝{1,2,3}，B＝{1,2}，則A*B()A．{1,2,3,4,5}B．{2,3,4,5}C．{2,3,4}D．{1,3,4,5}答案：B解析：當(dāng)x1＝1時(shí)，x2可以取1或2，則x1＋x2＝2或3；當(dāng)x1＝2時(shí)，x2可以取1或2，則x1＋x2＝3或4；當(dāng)x1＝3時(shí)，x2可以取1或2，則x1＋x2＝4或5.∴A*B＝{2,3,4,5}．2．若一系列函數(shù)的解析式相同，值域相同，但其定義域不同，則稱這些函數(shù)為“同族函數(shù)”，那么函數(shù)解析式為y＝x2，值域?yàn)閧1,4}的“同族函數(shù)”共有()A．7個(gè)B．8個(gè)C．9個(gè)D．10個(gè)答案：C解析：由題意知，問(wèn)題的關(guān)鍵在于確定函數(shù)定義域的個(gè)數(shù)．函數(shù)解析式為y＝x2，值域?yàn)閧1,4}，當(dāng)x＝±1時(shí)，y＝1；當(dāng)x＝±2時(shí)，y＝4，則定義域可以為{1,2}，{1，－2}，{－1,2}，{－1，－2}，{1，－1,2}，{1，－1，－2}，{－1,2，－2}，{1，－2,2}，{1，－1,2，－2}，因此“同族函數(shù)”共有9個(gè)．3．[2017·鄭州調(diào)研]規(guī)定記號(hào)“⊙”表示一種運(yùn)算，定義a⊙b＝eq\r(ab)＋a＋b(a，b為正實(shí)數(shù))，若1⊙k2<3，則k的取值范圍是()A．(－1,1)B．(0,1)C．(－1,0)D．(0,2)答案：A解析：因?yàn)槎xa⊙b＝eq\r(ab)＋a＋b(a，b為正實(shí)數(shù))，1⊙k2<3，所以eq\r(k2)＋1＋k2<3，化為(|k|＋2)(|k|－1)<0，所以|k|<1，所以－1<k<1.4．設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若eq\f(Sn,S2n)為常數(shù)，則稱數(shù)列{an}為“吉祥數(shù)列”．已知等差數(shù)列{bn}的首項(xiàng)為1，公差不為0，若數(shù)列{bn}為“吉祥數(shù)列”，則數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為()A．bn＝n－1B．bn＝2n－1C．bn＝n＋1D．bn＝2n＋1答案：B解析：設(shè)等差數(shù)列{bn}的公差為d(d≠0)，eq\f(Sn,S2n)＝k，因?yàn)閎1＝1，則n＋eq\f(1,2)n(n－1)d＝keq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2n＋\f(1,2)×2n2n－1d))，即2＋(n－1)d＝4k＋2k(2n－1)d，整理得(4k－1)dn＋(2k－1)(2－d)＝0.因?yàn)閷?duì)任意的正整數(shù)n上式均成立，所以(4k－1)d＝0，(2k－1)(2－d)＝0，解得d＝2，k＝eq\f(1,4).所以數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為bn＝2n－1.5．定義一種運(yùn)算：eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(ab,cd))＝ad－bc.已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sinxsin\f(π,3),cosxcos\f(π,3)))，為了得到函數(shù)y＝sinx的圖象，只需要把函數(shù)y＝f(x)的圖象上所有的點(diǎn)()A．向左平移eq\f(π,3)個(gè)單位長(zhǎng)度B．向右平移eq\f(π,3)個(gè)單位長(zhǎng)度C．向上平移eq\f(π,3)個(gè)單位長(zhǎng)度D．向下平移eq\f(π,3)個(gè)單位長(zhǎng)度答案：A解析：由題設(shè)知，f(x)＝sinxcoseq\f(π,3)－cosxsineq\f(π,3)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))，所以為了得到函數(shù)y＝sinx的圖象，只需要把函數(shù)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))的圖象上所有的點(diǎn)向左平移eq\f(π,3)個(gè)單位長(zhǎng)度．故選A.6．定義d(a，b)＝|a－b|為兩個(gè)向量a，b間的“距離”．若向量a，b滿足：①|(zhì)b|＝1；②a≠b；③對(duì)任意t∈R，恒有d(a，tb)≥d(a，b)，則()A．a(chǎn)⊥bB．a(chǎn)⊥(a－b)C．b⊥(a－b)D．(a＋b)⊥(a－b)答案：C解析：由題意知d(a，tb)≥d(a，b)?|a－tb|≥|a－b|，即(a－tb)2≥(a－b)2，又|b|＝1，所以展開整理得t2－2a·bt＋2a·b－1因?yàn)樯鲜綄?duì)任意t∈R恒成立，所以Δ＝4(a·b)2－4(2a·b－1)≤0，即(a·b－1)2≤0，所以a·b＝1.于是，b·(a－b)＝a·b－|b|2＝1－12＝0，所以b⊥(a－b7．在《九章算術(shù)》中，將底面為矩形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱為陽(yáng)馬；將四個(gè)面都是直角三角形的三棱錐稱為鱉臑．若三棱錐P－ABC為鱉臑，PA⊥平面ABC，PA＝AB＝2，AC＝4，三棱錐P－ABC的四個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，則球O的表面積為()A．8πB．12πC．20πD．24π答案：C解析：在如圖中的長(zhǎng)方體中可找到適合題意的三棱錐P－ABC，則BC＝eq\r(AC2－AB2)＝2eq\r(3)，所以球O的直徑2R＝eq\r(PA2＋AB2＋BC2)＝eq\r(20)＝2eq\r(5)，所以R＝eq\r(5).故球O的表面積S＝4πR2＝20π.故選C.8．定義eq\f(n,\i\su(i＝1,n,u)i)為n個(gè)正數(shù)u1，u2，u3，…，un的“快樂(lè)數(shù)”．若已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的“快樂(lè)數(shù)”為eq\f(1,3n＋1)，則數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(36,an＋2an＋1＋2)))的前2019項(xiàng)和為()A.eq\f(2018,2019)B.eq\f(2019,2020)C.eq\f(2019,2018)D.eq\f(2019,1010)答案：B解析：由題意得數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝eq\f(n,\f(1,3n＋1))＝3n2＋n，易知an＝6n－2.于是，eq\f(36,an＋2an＋1＋2)＝eq\f(36,6n×6n＋1)＝eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)，故數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(36,an＋2an＋1＋2)))的前2019項(xiàng)和為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,3)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－\f(1,4)))＋…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2019)－\f(1,2020)))＝1－eq\f(1,2020)＝eq\f(2019,2020).故選B.9．[2019·陜西咸陽(yáng)?？糫設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，如果對(duì)任意的x1∈D，存在x2∈D，使得f(x1)＝－f(x2)成立，則稱函數(shù)f(x)為“H函數(shù)”．下列為“H函數(shù)”的是()A．f(x)＝sinxcosx＋cos2xB．f(x)＝lnx＋exC．f(x)＝2xD．f(x)＝x2－2x答案：B解析：由題意知，“H函數(shù)”的值域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．選項(xiàng)A中，因?yàn)閒(x)＝sinxcosx＋cos2x＝eq\f(1,2)sin2x＋eq\f(1＋cos2x,2)＝eq\f(\r(2),2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))＋eq\f(1,2)，所以函數(shù)f(x)的值域?yàn)閑q\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)＋\f(1,2)，\f(\r(2),2)＋\f(1,2)))，該函數(shù)的值域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故選項(xiàng)A中的函數(shù)不是“H函數(shù)”；選項(xiàng)B中，函數(shù)f(x)＝lnx＋ex在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，函數(shù)f(x)的值域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故選項(xiàng)B中的函數(shù)是“H函數(shù)”；選項(xiàng)C中，函數(shù)f(x)＝2x的值域?yàn)?0，＋∞)，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故選項(xiàng)C中的函數(shù)不是“H函數(shù)”；選項(xiàng)D中，因?yàn)閒(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，所以該函數(shù)的值域?yàn)閇－1，＋∞)，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故選項(xiàng)D中的函數(shù)不是“H函數(shù)”．綜上，選B.10．[2019·陜西渭南二模]定義一種運(yùn)算：(a1，a2)?(a3，a4)＝a1a4－a2a3，將函數(shù)f(x)＝(eq\r(3)，2sinx)?(cosx，cos2x)的圖象向左平移n(n>0)個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù)，則n的最小值為()A.eq\f(π,12)B.eq\f(π,4)C.eq\f(5π,12)D.eq\f(π,3)答案：C解析：由新運(yùn)算可知f(x)＝eq\r(3)cos2x－sin2x＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))，所以將函數(shù)f(x)的圖象向左平移eq\f(5π,12)個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到函數(shù)y＝2coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(5π,12)))＋\f(π,6)))的圖象，即y＝－2cos2x的圖象，顯然該函數(shù)為偶函數(shù)．經(jīng)檢驗(yàn)知選項(xiàng)A，B，D錯(cuò)誤，選C.11．定義：分子為1且分母為正整數(shù)的分?jǐn)?shù)叫作單位分?jǐn)?shù)，我們可以把1拆分成多個(gè)不同的單位分?jǐn)?shù)之和．例如：1＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,6)，1＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,6)＋eq\f(1,12)，1＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,5)＋eq\f(1,6)＋eq\f(1,12)＋eq\f(1,20)，…，依此拆分方法可得，1＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,6)＋eq\f(1,12)＋eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)＋eq\f(1,30)＋eq\f(1,42)＋eq\f(1,56)＋eq\f(1,72)＋eq\f(1,90)＋eq\f(1,110)＋eq\f(1,132)＋eq\f(1,156)＋eq\f(1,182)，其中m，n∈N*，則m－n＝()A．－2B．－4C．－6D．－8答案：C解析：由題易知，1＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,6)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,3)))，1＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,6)＋eq\f(1,12)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,3)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－\f(1,4)))，1＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,5)＋eq\f(1,6)＋eq\f(1,12)＋eq\f(1,20)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,5)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,3)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－\f(1,4)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)－\f(1,5))).依此類推，得1＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,6)＋eq\f(1,12)＋eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)＋eq\f(1,30)＋eq\f(1,42)＋eq\f(1,56)＋eq\f(1,72)＋eq\f(1,90)＋eq\f(1,110)＋eq\f(1,132)＋eq\f(1,156)＋eq\f(1,182)＝eq\f(1,2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,3)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－\f(1,4)))＋eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)－\f(1,6)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)－\f(1,7)))＋…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,13)－\f(1,14)))，易知eq\f(1,m)＝eq\f(1,14)，eq\f(1,n)＝eq\f(1,4)－eq\f(1,5)＝eq\f(1,20)，解得m＝14，n＝20，所以m－n＝－6.故選C.12．若定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足對(duì)任意的x1，x2∈R，且x1≠x2，都有eq\f(fx1－fx2,x1－x2)>0，則稱該函數(shù)為滿足約束條件K的一個(gè)“K函數(shù)”．下列為“K函數(shù)”的是()A．f(x)＝x＋1B．f(x)＝－x3C．f(x)＝eq\f(1,x)D．f(x)＝x|x|答案：D解析：選項(xiàng)A中，函數(shù)f(x)＝x＋1不是奇函數(shù)，故選項(xiàng)A中的函數(shù)不是“K函數(shù)”．選項(xiàng)C中，函數(shù)f(x)＝eq\f(1,x)的定義域不是R，故選項(xiàng)C中的函數(shù)不是“K函數(shù)”．已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足對(duì)任意的x1，x2∈R，且x1≠x2，都有eq\f(fx1－fx2,x1－x2)>0，等價(jià)于奇函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增．選項(xiàng)B中，函數(shù)f(x)＝－x3在R上單調(diào)遞減，故選項(xiàng)B中的函數(shù)不是“K函數(shù)”．選項(xiàng)D中，函數(shù)f(x)＝x|x|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2，x≥0，,－x2，x<0))在R上單調(diào)遞增且為奇函數(shù)，故選項(xiàng)D中的函數(shù)是“K函數(shù)”．故選D.13．集合A＝{a1，a2，a3，…，an，n≥2}，如果A中的元素滿足a1a2…an＝a1＋a2＋…＋an，就稱A為“復(fù)活集”①集合eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(－1＋\r(5),2)，\f(－1－\r(5),2)))是“復(fù)活集”；②若a1，a2∈R，且{a1，a2}是“復(fù)活集”，則a1a2③若a1，a2∈N*，則{a1，a2}不可能是“復(fù)活集”．其中正確的結(jié)論是________．(填序號(hào))答案：①③解析：①eq\f(－1＋\r(5),2)×eq\f(－1－\r(5),2)＝eq\f(－1＋\r(5),2)＋eq\f(－1－\r(5),2)＝－1，故①正確；②不妨設(shè)a1＋a2＝a1a2＝t，則由根與系數(shù)的關(guān)系知a1，a2是一元二次方程x2－tx＋t＝0的兩個(gè)根，由Δ＝(－t)2－4t>0，可得t<0或t>4，故②③不妨設(shè)a1<a2<a3<…<an，由a1a2…an＝a1＋a2＋…an<nan，得a1a2…an－1<n，當(dāng)n＝2時(shí)，有a1<2，又a1∈N*，∴a1＝1，于是由a1＋a2＝a1a2得1＋a2＝a2，無(wú)正整數(shù)解，即當(dāng)a1，a2∈N*時(shí)，{a1，a2}不可能是“復(fù)活集”14．在一個(gè)數(shù)列中，如果?n∈N*，都有anan＋1an＋2＝k(k為常數(shù))，那么這個(gè)數(shù)列叫做等積數(shù)列，k叫做這個(gè)數(shù)列的公積．已知數(shù)列{an}是等積數(shù)列，且a1＝1，a2＝2，公積為8，則a1＋a2＋a3＋…＋a12＝________.答案：28解析：依題意得數(shù)列{an}是周期為3的數(shù)列，且a1＝1，a2＝2，a3＝4，因此a1＋a2＋a3＋…＋a12＝4(a1＋a2＋a3)＝4×(1＋2＋4)＝28.15．[2019·陜西西安交大附中?？糫在平面斜坐標(biāo)系xOy中，∠xOy＝60°，若eq\o(OP,\s\up6(→))＝xe1＋ye2，其中e1，e2分別為x軸、y軸正方向的單位向量，則有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)叫作向量eq\o(OP,\s\up6(→))在平面斜坐標(biāo)系xOy中的坐標(biāo)，即點(diǎn)P的斜坐標(biāo)為(x，y)．在平面斜坐標(biāo)系xOy中，若點(diǎn)P(x，y)在以O(shè)為圓心，1為半徑的圓上，則x＋y的取值范圍是________．答案：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(3),3)，\f(2\r(3),3)))解析：由題設(shè)得|eq\o(OP,\s\up6(→))|＝1，所以|xe1＋ye2|＝1，又向量e1，e2的模均為1，且?jiàn)A角為60°，所以兩邊平方化簡(jiǎn)得x2＋y2＋xy＝1.方法一變形得(x＋y)2－1＝xy≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋y,2)))2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)取等號(hào)，所以eq\f(3,4)(x＋y)2≤1，解得－eq\f(2\r(3),3)≤x＋y≤eq\f(2\r(3),3).故所求x＋y的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(3),3)，\f(2\r(3),3))).方法二變形得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(y,2)))2＋eq