第2版工程力學機械工業出版社引言

一、工程力學的任務圖

0-1如圖0-1所示為支撐重物的三角托架。為設計這個結構,從力學計算的角度來說,包括兩方面的內容。

首先,必須確定作用在各個構件(AB桿及BC桿)上力的大小和方向,概括地說就是對處于平衡狀態的物體進行受力分析,這正是靜力學所要研究的問題。其次,在確定了作用在構件上的外力以后,還必須為構件選用合適的材料、選用合理的截面形狀和尺寸,以保證構件既能安全可靠地工作(即要求構件有足夠的強度、剛度、穩定性),又滿足經濟要求;這些則是材料力學所要討論的問題。工程力學的任務就在于為各類工程結構的力學計算提供基本的理論和方法。二、工程力學的研究方法由觀察和試驗可知,在外力作用下,任何物體均會變形。在工程中通常把各構件的變形限制在很小的范圍內,它與構件的原始尺寸相比是微小的。所以,在研究物體的受力分析、平衡問題時,可把物體看成是不變形的剛性物體。但在研究構件的強度、剛度、穩定性問題時,變形成為不可忽略的因素,此時必須將物體看成連續、均勻、各向同性的變形固體。研究不同的問題,必須采用不同的力學模型,這是研究工程力學問題的重要方法。第1章靜力學基礎1.1靜力學的基本概念平衡

平衡是物體機械運動的特殊形式,是指物體相對地球處于靜止或作勻速直線運動的狀態。一般工程技術問題,是取固結于地球的坐標系作為參考系來進行研究,實踐證明,所得到的結果具有足夠的精確度。剛體

任何物體受力總要產生一些變形。但是,工程實際中的機械零件和構件在正常情況下的變形,一般是很微小的。微小的變形對物體的機械運動影響極小,可以略去不計,即把物體看做是不變形的,從而使問題的研究得以簡化。這種在受力情況下保持形狀和大小不變的物體通常稱為剛體。剛體是依據所研究問題的性質抽象出來的理想化的力學模型。當變形這一因素在所研究的問題中不可忽略時,就必須采用變形體作為力學模型。力人們在長期的生活和生產實踐中,逐步形成了力的概念。力是物體間相互的機械作用,這種作用使物體的機械運動狀態發生變化,并使物體產生變形。力使物體運動狀態發生改變的效應,稱為力的外效應。力使物體變形的效應,稱為力的內效應。本書第一篇靜力學研究力的外效應,第二篇材料力學研究力的內效應。1.2靜力學公理公理一(二力平衡公理)

作用在剛體上的兩個力,使剛體處于平衡的必要與充分條件是:兩個力大小相等,方向相反,且作用在同一直線上。二力平衡公理表明了作用于剛體上的最簡單的力系平衡時所應滿足的條件。它是推導力系平衡條件的基礎。工程中常有一些只受兩個力作用而平衡的構件,稱為二力構件。根據公理一,該兩力的方向,必定沿兩力作用點的連線(圖1-2)。圖

1-2公理二(加減平衡力系公理)

在作用于剛體的力系上,加上或減去任意個平衡力系,并不改變原力系對剛體的作用效應。推論1(力的可傳性原理)

作用于剛體的力可沿其作用線滑移至剛體內任一點,而不改變該力對于剛體的作用效應。證明:參看圖1-3。設力F作用于剛體上點A。在剛體內力F作用線上任選一點B,在點B加一對平衡力F1和F2,并使F1=-F2=F。因為(F1,F2)是平衡力系,由公理二,力系(F,F1,F2)與力F等效。F與F2二力等值、反向、共線,構成一平衡力系;減去該平衡力系,由公理二知,力F1與力系(F,F1,F2)等效。從而有力F與力F1等效。因為力F1的大小、方向均與力F相同,且此二力等效,這相當于將力F沿其作用線從點A滑移至點B,而不改變原力對剛體的作用效應。圖

1-3力的可傳性原理指出,作用于剛體的力矢可沿其作用線任意滑動,因而對于剛體而言,力是滑動矢量。力的三要素成為力的大小、方向、作用線。公理三(力的平行四邊形公理)

作用在物體上同一點的兩個力可以合成為一個合力,合力也作用于該點,其大小和方向可由以這兩個力為鄰邊所構成的平行四邊形的共點對角線確定。在圖1-4a中,設力F1和F2作用于物體的點A,以FR表示其合力,則有即合力矢FR等于兩個分力矢F1和F2的矢量和。為求合力的大小和方向,在圖1-4b中,作矢量表示力矢F1,再從力矢F1的終點b作矢量表示力矢F2,則矢量即表示合力FR的大小和方向。此種求合力矢的方法稱為力三角形法則,其實質就是平行四邊形公理。圖

1-4推論2(三力平衡匯交原理)

當剛體受三力作用而平衡時,若其中任何兩力的作用線相交于一點,則此三力必然共面,且第三個力的作用線通過匯交點。證明:見圖1-5。設剛體的A、B、C三點分別作用有互不平行的力F1、F2、F3,力F1、F2的作用線相交于點O;剛體在此三力作用下處于平衡狀態。將力F1、F2滑移至點O,并合成為一力FR。于是力系(F1,F2,F3)與力系(FR,F3)等效。因為力系(F1,F2,F3)是平衡力系,故力系(FR,F3)必為平衡力系。根據公理一,FR與F3在同一直線上,即力F3的作用線也通過匯交點O;由力的平行四邊形公理,可知力F3與力F1、F2共面。圖

1-5公理四(作用與反作用定律)

兩個物體間的相互作用力,總是大小相等,作用線相同,指向相反,且分別作用在這兩個物體上。公理五(剛化公理)

如果變形體在某力系作用下平衡,若將此物體剛化為剛體,其平衡不受影響。1.3約束和約束力

位移不受任何限制的物體稱為自由體,例如在空中飛行的飛機。在某些方向的位移受到限制的物體稱為非自由體。在軌道上行駛的火車是非自由體,因為它受到軌道的限制,只能沿軌道運行。對非自由體的某些位移起限制作用的周圍物體稱為約束。約束對被約束物體的作用力,稱為約束力。約束力作用在被約束物體與約束的接觸處,其方向總是與約束所能限制的被約束物體的位移方向相反。1.柔性約束

工程實際中的柔軟纜繩、皮帶、鋼絲繩、鏈條等類物體統稱為柔索。由它們構成的約束稱為柔性約束。柔索只能承受拉力,因而只能阻止物體沿柔索伸長方向的運動。于是,柔性約束的約束力作用于柔索與被約束物體的連接點,其方向沿著柔索而背離被約束的物體(圖1-6)。圖

1-62.理想光滑接觸構成的約束

當兩物體接觸面之間的摩擦力小到可以忽略不計時,就可把接觸面(線)看做是理想光滑的。光滑接觸約束只能阻止物體沿接觸處公法線指向約束方向的運動。于是,光滑接觸的約束力通過接觸點,沿著接觸點處的公法線,指向被約束的物體,如圖1-7所示。圖

1-73.光滑圓柱鉸鏈約束

兩個構件在連接處的相同圓孔中插入圓柱形銷釘連接起來所形成的結構稱為圓柱形鉸鏈結構。在圖1-8a中,曲柄OA和連桿AB的連接,連桿AB和滑塊B的連接,都是圓柱形鉸鏈連接。圖1-8b說明了A處圓柱形鉸鏈的構造。在鉸鏈連接中,圓柱形銷釘限制了構件的運動;如果忽略摩擦,銷釘和圓孔成為光滑接觸,于是構成了光滑圓柱鉸鏈約束。按照光滑接觸約束的特點,銷釘作用于構件的約束力通過兩者的接觸點,沿接觸處公法線,指向構件。顯然,約束力在垂直于構件銷孔軸線的橫截面內,且通過銷孔中心。圖1-8c中,FA表示銷釘作用于構件的約束力,A為孔心,K為構件與銷釘的接觸點。一般而言,由于接觸點的位置無法預先確定,所以,鉸鏈約束力的方向不能預先確定。在受力分析中,一般將鉸鏈約束力用通過構件銷孔中心的兩個大小未知的正交分力來表示,如圖1-8d中所示的FAx、FAy。圖

1-8使用光滑圓柱銷釘將構件或結構與固定支座連接,則構成固定鉸支座,如圖1-9a所示。圖1-9b、c是固定鉸支座的兩種簡化表示。固定鉸支座約束的性質與鉸鏈連接中的鉸鏈約束一樣。通常將固定鉸支座的約束力表示為相互正交的兩個分力,如圖1-9d所示。圖

1-9如果在鉸鏈支座底部和支承面之間安裝一排滾輪,就構成輥軸支座,也稱為活動鉸支座,如圖1-10a所示。輥軸支座的幾種簡化表示分別示于圖1-10b、c、d。如果接觸面是光滑的,則輥軸支座不限制物體沿支承面方向的運動,只限制物體垂直于支承面方向的運動。因此,輥軸支座的約束力通過銷孔中心,且垂直于支承面,如圖1-10e所示。圖

1-10兩端用光滑鉸鏈與其他物體相連,并且中間不受任何外力作用的剛桿稱為鏈桿。它常被用來作為撐桿或拉桿而形成鏈桿約束,如圖1-11a中的BC撐桿。顯然,鏈桿是二力桿;所以,鏈桿約束的約束力沿著兩端鉸鏈中心的連線,是拉力或者是壓力,例如圖1-11b中的BC桿的受力。在圖1-11c中,鏈桿BC對所連接物體AB的約束力的方向,也必定沿連線BC。圖

1-114.光滑球形鉸鏈約束

光滑球形鉸鏈約束是一種空間類型的約束,其結構簡圖及簡化表示分別見圖1-12a、b。一個物體的球形窩內放入另一物體的球形部分,球窩和球的直徑相差甚小,忽略摩擦,就構成了光滑球形鉸鏈約束。根據光滑接觸約束力的特點,球窩作用于球的約束力通過球心。由于球與球窩的接觸點未定,故約束力的空間方位不定,因而,通常用通過球心的三個正交分力來表示,如圖1-12c所示。圖

1-12在受力分析時,需將受約束的物體(研究對象)從它周圍的物體中分離出來,此過程稱為解除約束。在解除約束的同時,應代之以相應的約束力。約束力是未知的。研究對象上除作用有約束力外,通常還承受某些種類的載荷,例如承受重力、油壓力、風力等。這些載荷使物體產生運動或使物體產生運動趨勢,稱其為主動力。1.4受力分析與受力圖主動力一般是已知的。所謂受力分析就是分析被研究物體上所受的全部主動力和約束力,并把分析結果用受力圖清晰地表示出來。根據問題的已知條件和要求的內容,恰當地選擇一個物體或幾個物體組成的系統作為研究對象,并將研究對象從周圍物體中分離出來,畫出其外形簡圖,這個過程稱為取研究對象或取分離體。研究對象與周圍物體的連接關系確定了約束類型,也就確定了約束力的特征。畫有研究對象及其所受的全部力(包括主動力和約束力)的簡圖,稱為受力圖。在靜力平衡問題中,將依據受力圖和平衡條件,利用作用于研究對象上的主動力確定作用于其上的未知約束力的大小和指向。第2章匯交力系各力作用線相交于一點的力系稱為匯交力系,也稱共點力系。根據力系中各力作用線是否在同一平面內,匯交力系又可分為平面匯交力系和空間匯交力系。匯交力系是基本力系之一,它是研究復雜力系的基礎。2.1匯交力系合成的幾何法設有匯交力系(F1、F2、F3、F4)作用在剛體上,各力作用線匯交于點A,如圖2-1a所示。根據力的可傳性原理,將力系各力的作用點分別沿其作用線滑移至匯交點A;于是,力系成為共點力系(圖2-1b)。圖2-1根據力的平行四邊形公理,共點兩力可以合成為一個合力。連續應用力的平行四邊形公理,將共點力系各力逐次合成,則最終可得其合成結果。各分力矢和合力矢構成的多邊形,例如圖2-1e中的多邊形abcde,稱為力多邊形,表示合力矢的邊稱為力多邊形的封閉邊。這種用力多邊形求合力矢FR的幾何作圖規則,稱為力多邊形法則。若匯交力系由n個力組成,顯然可以按上述方法同樣處理。于是可得結論:匯交力系一般可合成為一合力;合力作用線通過該力系中各分力作用線的匯交點;合力的大小及方向可由力多邊形的封閉邊表示,即合力矢等于力系中各分力的矢量和或簡寫為力系各力矢的矢量和稱為力系的主矢,所以合力矢FR等于原匯交力系的主矢。應該指出,在作力多邊形時,任意變換力的次序,可得形狀不同的力多邊形,但合力的大小和方向不變。另外,對空間力系而言,一般力多邊形是一空間多邊形。2.2匯交力系合成的解析法匯交力系合成的解析法,是指用解析方法計算力系合力的大小,確定合力的方向。這種方法是以力在坐標軸上的投影為基礎的。為了求得力F在x軸上的投影(圖2-2),可通過力F的兩端點A和B分別作垂直于x軸的平面C和D。兩平面與x軸分別相交于a點和b點,則線段ab的長冠以適當的正負號,稱為力F在x軸上的投影。圖

2-2力在坐標軸上的投影是標量。它的符號依下述規則確定:當a到b的指向與x軸的正向一致時取正號;反之取負號。如用Fx表示力F在x軸上的投影,則過點A作平行于x軸的x1軸,力F與x1軸正向之間的夾角α即為力F與x軸正向之間的夾角。由圖可知根據力在坐標軸上投影的定義,容易計算力在直角坐標系三軸上的投影。設力F與直角坐標系Oxyz三軸正向間的夾角分別為α、β、γ(圖2-3),則力F在x、y、z軸上的投影分別為Fx=Fcosα,

Fy=Fcosβ,

Fz=Fcosγ(2-2)圖

2-3若已知γ角和φ角(通過力F且平行于z軸的平面與Oxz平面之間的夾角),求力F在x軸和y軸上的投影,可先將力F投影到Oxy平面,得到力F在這個平面上的投影矢量然后,再將投影矢量F'分別投影到x軸和y軸上。由圖2-3可知這種方法在實際計算時應用很多,稱為二次投影法。若以Fx、Fy、Fz分別表示力F沿直角坐標軸x、y、z的正交分量,則如圖2-3所示。引入沿坐標軸正向的單位矢i、j、k,則力F沿坐標軸的正交分量和力F在坐標軸上的投影之間有如下關系:由式(2-4)和式(2-5),可得力F在直角坐標系下的解析表達式:如果已知力F在直角坐標系三軸上的投影Fx、Fy、Fz,則可求得該力的大小和方向余弦:現在研究匯交力系合成的解析法。我們已經知道,匯交力系一般可合成為一合力,合力矢等于原力系的主矢,即。式(2-7)表明,如果已知一個力在直角坐標系各軸上的投影,則該力的大小和方向均可確定。因此,若能計算出匯交力系合力在直角坐標系三軸上的投影,就可求得合力的大小和方向。設剛體上作用一匯交力系(F1、F2、…、Fn)。現任取一直角坐標系Oxyz,以FRx、FRy、FRz表示合力FR在各坐標軸上的投影,Fix、Fiy、Fiz表示力Fi在各坐標軸上的投影(i=1、2、…、n)。考慮到,以及可得式(2-8)表明:合力在任一坐標軸上的投影,等于各分力在同一軸上投影的代數和。此結論稱為合力投影定理(為便于書寫,下標i可略去)。由式(2-7)可得合力FR的大小和方向:在式(2-9b)中,(FR,i)、(FR,j)、(FR,k)分別表示合力FR與單位矢i、j、k正向之間的夾角。2.3匯交力系的平衡條件匯交力系平衡的必要與充分條件是該力系的合力等于零,其矢量表示為匯交力系的平衡條件也相應有幾何平衡條件和解析平衡條件。2.3.1匯交力系平衡的幾何條件在求匯交力系合力的幾何法中,合力的大小和方向由力多邊形的封閉邊表示。因此,當力系的合力為零時,第一個分力矢的始端和最后一個分力矢的末端重合。這種情形稱為力多邊形自行封閉。五力匯交且平衡的力系,其力多邊形如圖2-4所示。因此,匯交力系平衡的必要和充分的幾何條件是力多邊形自行封閉。圖2-42.3.2匯交力系平衡的解析條件匯交力系平衡的必要與充分條件是力系的合力FR等于零。由式(2-9a)可知,如果要使匯交力系合力FR等于零,必須且只需因此,匯交力系平衡的必要和充分的解析條件是:力系中各力在坐標系中每一軸上的投影的代數和均等于零。式(2-11)稱為空間匯交力系的平衡方程。如果所考察的力系是平面匯交力系,可取力系作用面為坐標平面Oxy,則因而平面匯交力系的平衡方程為

對于匯交力系的平衡問題,因為空間匯交力系有三個獨立平衡方程,所以通過平衡方程可求解三個未知量;而平面匯交力系只有兩個獨立平衡方程,故可以求解兩個未知量。第3章力偶理論力偶是一種特殊的力系。它對剛體的作用是僅使剛體轉動。力偶對剛體的轉動效應完全取決于力偶矩。作用于剛體上的一群力偶稱為力偶系。力偶系是一種基本力系,它是研究復雜力系的基礎。本章研究力偶系的合成和平衡問題。3.1力對點之矩匯交力系的合力矩定理3.1.1力對點之矩用扳手轉動螺母時,作用于扳手的力使扳手繞著螺母中心處的固定點轉動。當加在扳手上的力越大,或者力作用線離固定點越遠時,扳手的轉動效應就越強,即越容易轉動螺母。許多類似的實踐經驗和理論分析表明,一力F使剛體繞某固定點O轉動效應的強弱,不但與力F的大小成正比,而且也與點O到力作用線的垂直距離d成正比,如圖3-1所示。圖3-1因此,在力學中以乘積Fd作為力F使剛體繞點O轉動效應強弱的度量,即以Fd表示力F對點O的矩的大小。力對點之矩簡稱力矩;點O稱為力矩中心或矩心;d稱為力臂。力矩的單位是N·m(牛·米)。在平面力系問題里,力對點之矩被視為代數量,用符號MO(F)表示力F對點O的矩,即通常規定,一個力使剛體繞矩心有逆時針轉動趨勢時,力矩取正值(圖3-1a所示力矩為正值);反之則取為負值。在空間力系問題里,各力分別和對應的矩心構成不同的力矩作用平面。各力使剛體繞對應的矩心轉動的效應,不僅與各力矩的大小及其在各自平面內的轉向有關,而且與各力和矩心所構成的力矩作用平面的方位有關。這三個要素不可能用一個代數量表出,必須用一個矢量來表示。在圖3-1b中,從矩心O作矢量MO(F)表示力F對點O的矩,力矩矢量MO(F)垂直于力F與點O所決定的平面,MO(F)的大小為Fd,MO(F)的指向按右手螺旋規則確定,即以右手四指的指向表示力矩的轉向,握拳時大拇指伸出的方向就是力矩矢量的指向。由于力矩MO(F)與矩心位置有關,因而它只能畫在矩心處,也就是說,力矩矢量是定位矢量。圖3-1如果將力F沿其作用線移動,由于力F的大小、指向以及由矩心O到力作用線的距離都不變,矩心O和力F所構成的力矩作用面方位也沒有改變,因而力F對點O之矩不變。也就是說,力對點之矩不因力沿其作用線的移動而改變。設力F的作用點A相對矩心O的矢徑為r(圖3-2),則力F對點O之矩MO(F)與矢積r×F兩者大小相等,方向相同。因此,力對點之矩可用該力作用點相對矩心的矢徑與該力的矢積來表示,即圖3-23.1.2匯交力系的合力矩定理設匯交力系(F1、F2、…、F

n)作用于剛體。由于力對點之矩不因力沿其作用線移動而改變,可將力系各力沿其作用線移至匯交點A(圖3-3)。任取一點O為矩心,令r表示A點相對于矩心O的矢徑,設匯交力系的合力FR=F1+F2+…+Fn。根據式(3-2),則FR對點O之矩為或簡寫為此結果表明,匯交力系的合力對任一點之矩,等于力系中各分力對同一點之矩的矢量和。這就是匯交力系的合力矩定理。對于平面匯交力系,將矩心取在力系所在的平面內,則式(3-3)中的所有力矩矢量成為共線矢量,于是有即平面匯交力系的合力對某一點之矩,等于力系中各分力對同一點之矩的代數和。如果求一個力對力系所在平面內一點的矩,而力臂又不易求出時,常將此力分解為兩個易定力臂的分力,然后用合力矩定理求出該力矩。3.2力偶及其性質用絲螺紋攻螺紋時,加在絲螺紋鉸桿上的兩個力大小相等,方向相反,作用線相互平行(圖3-5a)。駕駛員用雙手轉動方向盤的力也是一對彼此等值、反向、作用線平行的力(圖3-5b)。圖3-5這種由大小相等、方向相反、作用線平行的一對力組成的力系稱為力偶,組成力偶的兩個力的作用線之間的距離稱為力偶臂。性質一

力偶沒有合力,不能和一個力等效,也不能和一個力平衡,它是一個基本力學量。為證明力偶的這一性質,先研究兩個反向平行力的合成。設剛體上點A和點B分別作用有反向平行力F1和F2,且F1>F2(圖3-6),它們可以合成為一合力。由于F1和F2兩力平行,所以不能直接應用力的平行四邊形法則合成。為此在點A和點B加一對等值、反向、共線的平衡力FT1和FT2;將力F1和FT1合成為力FR1;力F2和FT2合成為力FR2。再將力FR1、FR2沿各自作用線移動到匯交點D。于是,兩個平行力F1和F2與匯交于D點的力FR1和FR2等效。最后合成力FR1和FR2,得合力FR。將上述過程用矢量運算式表出,即這表明兩個反向平行力F1和F2的合力矢FR等于兩力的矢量和。由于F1和F2是反向平行力,則合力FR的作用線必與這兩力的作用線平行,并且矢量和變為代數和。已設F1>F2,則合力FR的大小是合力FR的指向與力F1相同。合力作用線的位置,可根據合力矩定理確定。取合力FR

的作用線與連線AB的交點C為矩心,則由于力FR通過點C,故MC(FR)=0,于是有所以由以上分析可得出如下結論:兩個大小不等的反向平行力可以合成為一合力;合力的大小等于兩力大小之差;合力的指向與較大的一力相同;合力作用線位于較大一力的外側,按兩力的大小成反比例外分兩力作用線之間的距離。根據式(3-5c)可以得出于是如果圖3-6中的兩個反向平行力F1和F2大小相等,那么力F1和F2構成一力偶。此時,F1-F2=0,則BC→∞。這表明組成力偶的兩力不可能合成為一合力。力偶既然不能用一個力來代替,也就不能和一個力相平衡。力偶的兩個力大小相等,方向相反但不共線,因此力偶本身不平衡,且對剛體產生轉動效應,因而力偶成為一個基本力學量。性質二

組成力偶的兩力對于任一點的矩之和等于其力偶矩,即力偶矩與矩心位置無關。力使剛體繞某點的轉動效應是用力矩表示的。力偶使剛體繞某點的轉動效應則用組成力偶的兩力對該點的力矩之和來表示。設位于平面C的力偶(F,F')作用于剛體,平面C稱為力偶(F,F')的作用面,如圖3-7所示。圖3-7任取一點O,rA和rB分別是點O到兩力作用點A和B的矢徑,點A相對點B的矢徑為rAB。由圖3-7可知,rA=rB+rAB。力偶的兩力對點O的力矩之和為矢積rAB×F稱為力偶矩,記作M,即顯然,力偶矩與矩心O的位置無關。因此,力偶對剛體的轉動效應完全取決于力偶矩。由圖3-7a和式(3-7)可知,力偶矩M的大小等于Fd,即力偶矩的大小等于力偶的力與力偶臂的乘積;M垂直于力偶的作用面;M的指向與力偶在其作用面內的轉向符合右手螺旋法則。力偶矩M的表示見圖3-7b。力偶矩的單位是牛·米(N·m)。圖3-7性質三

只要保持力偶矩不變,可將組成力偶的力和力偶臂的大小同時改變,不會改變力偶對剛體的作用效應。性質四

只要保持力偶矩的大小和轉向不變,力偶可在其作用面內以及與其作用面平行的平面內任意移轉,不會改變它對剛體的作用效應。由于力偶矩可以在同一平面內轉移,又可以從某一平面轉移到另一平行平面內,因此一般而言,力偶矩是自由矢量。力偶對剛體的轉動效應完全取決于力偶矩,力偶矩又是自由矢量,于是,當作用于剛體上的兩個力偶的力偶矩相等時,該兩力偶等效。此即力偶的等效條件。因為力偶矩決定了力偶對剛體的轉動效應,所以在平面情況下,常采用在力偶作用面內畫M或M來表示力偶。其中M表示力偶矩的大小,箭頭表示力偶在其作用面內的轉向。在空間情況下,用矢量箭頭及“”或“”配合表示力偶,矢量箭頭與“”或“”的相對關系滿足右手螺旋法則。3.3力偶系的合成與平衡如果力偶系中各分力偶的作用面并不彼此平行或重合,則該力偶系為空間力偶系。設有兩個力偶分別作用于剛體的二相交的平面Ⅰ和Ⅱ內(圖3-8a)。根據力偶的性質三和四,可將兩力偶在各自作用面內移轉,并改變力和力偶臂的大小。最終,取兩平面交線上的AB線段作為該兩力偶的力偶臂,設兩力偶的力分別為F1、F'1和F2、F'2,且力F1、F2作用在點A,力F'1、F'2作用在點B。圖3-8應用力的平行四邊形法則,將作用在點A的力F1和F2合成為力FR,作用在點B的力F'1和F'2合成為力F'R,則因為所以又FR與F'R作用線平行,因而組成一新力偶(FR,F'R),力偶(FR,F'R)就是所求之合力偶。下面導出合力偶矩M與分力偶矩M1和M2的關系。設點A相對點B的矢徑為rAB(圖3-8a),根據式(3-7),則力偶(F1,F'1)和(F2,F'2)的力偶矩分別為M1=rAB×F1和M2=rAB×F2。故合力偶(FR,F'R)的力偶矩上述分析說明,作用在剛體上二相交平面內的兩力偶可以合成為一合力偶,合力偶矩等于兩個分力偶矩的矢量和(圖3-8b)。也就是說力偶矩符合矢量合成法則。設作用于剛體上的n個力偶組成空間力偶系,則其合成結果為一合力偶,合力偶的力偶矩等于所有分力偶矩的矢量和,即在實際計算時,常采用解析法計算合力偶矩的大小和方向。取直角坐標系Oxyz,設M和Mi(i=1,2,…,n)在x、y、z軸上的投影分別為Mx、My、Mz和Mix、Miy、Miz,則將以上兩式代入式(3-8)可得合力偶矩的大小和方向余弦是根據空間力偶系的簡化結果可推得:空間力偶系平衡的必要和充分條件是合力偶矩等于零,即力偶系中各力偶矩的矢量和等于零,由上式可得空間力偶系的平衡方程(為便于書寫下標i可略去):即空間力偶系中各分力偶的力偶矩在x、y、z三軸上投影的代數和分別等于零。若力偶系的各力偶位于同一平面內,則該力偶系為平面力偶系,此時各力偶矩M1、M2、…、Mn的矢量和變成為代數和。因此,在平面力偶系中,矢量式(3-8)轉化成為代數式,即上式表明:平面力偶系可合成為同平面內的一個合力偶,合力偶矩等于各分力偶矩的代數和。其次,由式(3-11)得式(3-14)稱為平面力偶系的平衡方程。平面力偶系平衡的必要和充分條件是各力偶矩的代數和等于零。平面力偶矩符號的規定是:若力偶在其作用平面內的轉向是逆時針轉向,取正號;反之則取負號。第4章平面一般力系平面一般力系是各力作用線在同一個平面內且任意分布的力系,也稱為平面任意力系。前面討論過的平面匯交力系、平面力偶系,以及本章要討論的平面平行力系都是平面一般力系的特殊情況。

4.1力的平移定理力的平移定理

作用在剛體上的力,可以平行地移動到剛體上任一指定點,為使該力對剛體的作用效果不變,要附加一個力偶,其力偶矩等于原力對該指定點的力矩。證明

設剛體上點A作用一力F(圖4-1a)。在剛體上任取一點B,點B到力F作用線的距離為d,在點B加上大小相等,方向相反且與力F平行的兩個力F'和F″,并使F'=F″=F(圖4-1b)。顯然,力系(F、F'、F″)與力F等效,而F與F″組成一力偶,于是原來作用在點A的力F,現在被一個作用在點B的力F'和一個力偶(F、F″)所代替(圖4-1c)。也就是說,可以把作用于點A的力F平行地移到點B,但必須同時附加一個力偶,此附加力偶的力偶矩為圖4-1即力向一點平移時所附加力偶的力偶矩等于原力對平移點之矩。力的平移定理是力系向一點簡化的理論依據,它不僅給出了平移作用于剛體上的一個力的等效條件,而且可直接用來分析和解決工程實際中的力學問題。例如,用絲螺紋攻螺紋時,必須兩手同時用力,且等值反向。若僅在扳手的一端作用力F(圖4-2a),則這個力與作用在中心處的一個力F'和一個矩為M的力偶等效(圖4-2b),這個力偶使絲螺紋轉動,而這個力F'卻往往容易使絲螺紋折斷。又如圖4-3所示轉軸上的齒輪受有周向力F作用,將力F平移至軸心點O,則力F'使軸彎曲,而矩為M的力偶將使軸產生扭轉效應。圖4-2圖4-3

4.2平面一般力系向作用面內一點簡化設剛體受一個平面力系(F1、F2、…、Fn)作用,現將該力系進行簡化。為簡單起見,以三個力F1、F2、F3作用在剛體上(圖4-4a)為例說明。在力系作用平面內任選一點O,將該力系向點O簡化,點O稱為簡化中心。應用力的平移定理,將各力平移至點O,同時加上相應的附加力偶。這樣,原力系變為作用在點O的平面匯交力系(F'

1、F'

2、F'

3),以及力偶矩為M1=MO(F1)、M2=MO(F2)、M3=MO(F3)的附加力偶系(圖4-4b)。圖4-4平面匯交力系(F'

1、F'

2、F'

3)可合成為一個力F'

R,作用于點O,注意到F'

1=F1,F'

2=F2,F'

3=F3,則有力偶矩為M1、M2、M3的平面力偶系可合成為一合力偶,這個力偶的矩MO等于各力偶矩的代數和,由于各附加力偶矩等于各力對簡化中心的矩,故對于力系中有n個力的平面一般力系,不難推廣得到式中,為平面力系各力的矢量和,稱為該平面力系的主矢,記做為平面力系各力對簡化中心之矩的代數和,稱為該平面力系對簡化中心O的主矩,記做

由此可得結論:平面一般力系向其作用面內任一點簡化,可以得到一個力和一個力偶,這個力的大小和方向等于該力系的主矢,作用線過簡化中心;這個力偶的力偶矩等于該力系對簡化中心的主矩。力系的主矢是一個具有大小和方向的矢量,它只代表力系中各力矢的矢量和,并不涉及作用點。平面力系無論向作用面內哪一點簡化,主矢F'

R均由式(4-1b)給出。所以,主矢F'

R與簡化中心的位置選擇無關。主矢的計算可采用解析法,任意選取坐標系Oxy,于是,主矢F'

R的大小和方向分別由下式確定α和β分別為主矢與x和y軸正向的夾角。主矩是力系中各力對簡化中心力矩的代數和,其大小和轉向由式(4-2b)確定。在一般情況下,力系的主矩隨簡化中心的不同而改變。因此,表明主矩時,應指明是對哪個簡化中心的。固定端或稱插入端是一種常見的約束形式,它由剛體的一部分嵌入并固定在另一剛體內而形成。例如,輸電線的電桿(圖4-5a)、固定在刀架上的車刀(圖4-5b)、車床上卡盤對工件的固定(圖4-5c)等都是固定端約束的實例,其簡圖如圖4-5d所示。圖4-5固定端約束的特點是連接處不允許構件與約束之間發生任何相對運動(移動或轉動)。可以想象,固定端約束必然提供了阻止移動的約束力和阻止轉動的約束力偶。下面用力系簡化理論進行分析。固定端約束對物體的作用是在接觸面上作用了一群約束力。在平面問題中,這些力為一平面一般力系,如圖4-6a所示。將這群力向作用面內點A簡化,得到一個力和一個力偶(圖4-6b)。一般情況下,這個力的大小和方向都是未知量,可用兩個分力來表示(圖4-6c)。所以,在平面問題中,固定端A處的約束力可用兩個約束力FAx、FAy和一個約束力偶MA表示。固定端約束與固定鉸支座的區別是固定端約束多了一個限制轉動的約束力偶。圖4-6

4.3簡化結果分析平面一般力系向簡化中心簡化,其主矢F'R和對簡化中心的主矩MO可能有四種情況1)F'R=0,MO=0

主矢和主矩都等于零。說明簡化后的平面匯交力系和平面力偶系都處于平衡狀態,因而原平面一般力系是一個平衡力系。2)F'R=0,MO≠0

主矢等于零,主矩不等于零。說明原力系簡化為一個合力偶,其力偶矩等于原力系對簡化中心的主矩。若將力系再向其他簡化中心簡化,其主矩應等于此合力偶對新簡化中心之矩,由力偶理論知,兩者是相同的。說明原力系與一個同平面內的力偶等效。此時,力系的主矩與簡化中心的選擇無關。3)F'R≠0,MO=0

主矢不等于零,主矩等于零。說明原力系等效于一個作用線通過簡化中心的合力FR,合力FR的大小和方向與該力系的主矢F'R相同。若將該力系再向合力FR作用線以外的任何一點簡化,都必得一個力和一個力偶。4)F'R≠0,MO≠0

主矢和主矩都不等于零(圖4-7a)。這并非是原力系的最簡結果,還可以進一步簡化:將矩為MO的力偶用兩個力FR和F″R表示,且使FR=-F″R=F'R,如圖4-7b所示。顯然,F'

R與F″

R是一對平衡力。去掉該平衡力系并不改變原力系對剛體的作用效果,所以,原力系與作用在點O'的合力FR等效,如圖4-7c所示。圖4-7合力FR等于平面力系的主矢F'R,合力的作用線到點O的垂直距離d為至于合力作用線在原簡化中心點O的哪一側,應由主矩的轉向和主矢的方向來判定,合力FR在主矢F'R沿MO的反方向轉動的一邊。綜上所述,平面任意力系簡化的最后結果有三種可能:(1)一個力偶;(2)一個合力;(3)平衡。由圖4-7c及式(4-4)可知,合力FR對點O之矩為而MO是原平面力系對點O的主矩,它等于原力系中各力對點O之矩的代數和,所以有這就是平面一般力系的合力矩定理,即平面一般力系的合力對作用面內任一點的矩,等于力系中各分力對同一點之矩的代數和。沿直線分布的同向平行力的合成

在工程中經常遇到如圖4-9所示的沿直線分布的同向平行力,又稱分布載荷,用載荷集度q表示,其單位為N/m。若分布力的載荷集度處處相同,稱為均勻分布力或均布載荷,如圖4-10所示,否則稱為非均布載荷。特殊的非均布載荷為線性分布力即三角形分布力(圖4-11)和梯形分布力。圖4-9圖4-10圖4-11

沿同向分布的平行力必然可以合成為一個合力。對圖4-9所示的分布載荷,設距點O為x處的載荷集度為q(x),該處微小長度dx上力的大小為dF=q(x)dx,于是線段AB上所受的分布力的合力F的大小為它是分布載荷集度曲線與x軸所圍成的曲邊梯形的面積,F的方向仍沿原分布力的方向。由合力矩定理,可以得到合力的作用線位置

所以,沿直線分布的同向平行力合力的大小等于分布載荷集度曲線下的面積,合力的作用線通過該曲邊梯形的形心,方向不變。

對均布力,F=ql,xC=l/2(圖4-10);對線性分布力,F=ql/2,xC=2l/3(圖4-11),對梯形分布力可分為均布力和線性分布力迭加計算。

4.4平面一般力系的平衡條件及平衡方程若平面一般力系向作用面內點O簡化的主矢和主矩都等于零,說明作用于簡化中心O的力F'1、F'2、…、F'n相互平衡,并且附加力偶M1、M2、…、Mn也相互平衡。所以,F'R=0,MO=0時,剛體處于平衡狀態,它是剛體平衡的充分條件;若剛體處于平衡狀態,則作用于剛體的力系必須要滿足向任意點簡化的主矢和主矩都為零的條件。事實上,假如F'R和MO有一個不等于零,平面力系就可以簡化為合力或合力偶,于是剛體就不能保持平衡。由此得到結論:平面一般力系平衡的必要與充分條件是:力系的主矢和對作用面內任一點的主矩都等于零。即由式(4-2b)和式(4-3),上式等價于以下解析條件:式(4-7)稱為平面一般力系的一矩式(基本式)平衡方程。平面一般力系平衡的解析條件是:力系中各分力在作用面內任意兩個相交坐標軸上投影的代數和分別等于零,以及各分力對作用面內任一點的矩的代數和也等于零。二矩式平衡方程

三個平衡方程中有兩個力矩方程和一個投影方程,即式中,A、B是平面內的任意兩點,但其連線AB不能與投影軸x垂直。這是因為力系若滿足方程,則這個力系不可能簡化為一個力偶,只可能是作用線通過點A的合力或平衡。同理,力系再滿足方程,該力系的簡化結果只可能是通過A、B兩點的一個合力或平衡。但當力系又滿足方程時,AB連線又不垂直于x軸,則顯然力系不可能有合力。這表明,只要滿足以上三個方程以及AB連線不垂直于投影軸的附加條件,力系必平衡。三矩式平衡方程

三個平衡方程全為力矩形式的方程,即式中,A、B、C是平面內不在同一直線上的任意三點。從二矩式方程可以很方便地分析得到,若力系滿足式(4-9),則所討論的力系必為平衡力系。平面平行力系的平衡方程

平面平行力系是平面一般力系的特殊情況。它是各力作用線在同一平面內且相互平行的力系,如圖4-15所示。圖4-15如選x軸與各力垂直,則不論力系是否平衡,每個力在x軸上的投影恒等于零,即的條件自動滿足,于是平面平行力系獨立的平衡方程的數目只有兩個,即或用二矩式的形式表示式中,A、B兩點的連線不能與各力平行。

4.5物體系統的平衡由幾個物體通過約束彼此連接起來所組成的系統稱為物體系統。在研究物體系統的平衡問題時,不僅要研究物體系統以外的物體對這個系統的作用,同時還要分析系統內各物體之間的相互作用。系統以外的物體對系統的作用力稱為該系統的外力;系統內各物體之間相互作用的力稱為該系統的內力。就整個物體系統而言,內力總是成對出現的,所以在研究整體平衡時,不考慮內力的作用;當研究物體系統中某一個物體或某幾個物體所組成的子系統的平衡問題時,物體系統中其他物體對它們的作用力就成為外力,必須予以考慮。當物體系統平衡時,組成該系統的每一個物體也必然處于平衡狀態。因此在研究物體系統的平衡問題時,既可以取系統中的某個物體研究,也可以取幾個物體的組合,或以整個系統研究,這要根據所研究問題的具體情況,以便于求解為原則作出恰當的選取。每一種力系獨立的平衡方程的數目都是一定的。因此,對每一種力系來說,能求解的未知量的數目也是一定的。如果所研究問題的未知量的數目等于獨立平衡方程的數目,則所有未知量都能由平衡方程求出,這樣的問題稱為靜定問題。如圖4-17a所示的三鉸拱問題中有6個未知數,共有6個獨立的平衡方程,是靜定問題。圖4-17如果所研究問題的未知量數目多于獨立的平衡方程的數目,則未知量不能全部由剛體靜力學平衡方程求出,這樣的問題稱為超靜定問題。例如圖4-17b、c、d所示的重物、拱架和橫梁AB都是超靜定的,因為它們的未知量數目都多于獨立的平衡方程的數目。圖4-17在求解物體系統的平衡問題時,要根據問題的特點,靈活而恰當地選取研究對象。列平衡方程的原則是:使每一個平衡方程中的未知量盡可能地少,最好是一個方程只含有一個未知量,以避免求解聯立方程。所以,選擇合適的研究對象是求解物體系統平衡問題的關鍵所在。求解物體系統的平衡問題與求解單個剛體的平衡問題并無本質的差別。一般都遵循如下步驟:1)恰當地選取研究對象;2)作受力圖;3)列平衡方程并求解。為得到比較簡便的解題方案,應注意:(1)首先考慮是否可選擇整體為研究對象。(2)若以整體研究不能求得任何未知量或者題目還要求解內力時,則應考慮取系統中的某單個剛體或若干剛體組成的子系統來研究。(3)解題方案確定后,應正確地畫出受力圖,應注意:1)必須單獨取出研究對象畫受力圖。不能幾個受力圖都畫在一起,以免混淆;2)應特別注意各力之間的統一和協調。(4)對于平衡方程的選擇,要注意勿需建立與求解無關的方程,并盡量做到一個方程解一個未知數。

4.6平面簡單桁架的內力計算桁架是指一種由若干細直桿在其端部用鉸鏈聯接而成的幾何形狀不變的結構。桿件端部鉸鏈聯接處稱為節點。所有的桿件都在同一平面的桁架稱為平面桁架。在滿足精度要求的前提下,工程實際中對桁架采用了以下幾個假設:(1)桁架的桿件都是直桿。(2)桁架各桿件的兩端都用光滑鉸鏈聯接。(3)桁架受到的所有外力(載荷及支座約束力)都作用在節點上。(4)桁架桿件的重力略去不計。如果要計,應將桿件的重力平均分配到桿件兩端的節點上。4.6.1節點法平面桁架的每個節點都受一個平面匯交力系的作用,若求每根桿件的內力,可以依次以桁架的各節點為研究對象,通過其平衡條件,求出該節點所連桿件的內力。零桿的判斷在桁架桿件內力的計算中,常會遇到內力為零的桿件。通常稱內力為零的桿件為零桿。對于平面桁架,在下面幾種情況下,可以直接判斷出零桿,不必計算。(1)無載荷作用的不共線的二桿節點,如圖4-22a所示,此二桿都是零桿。(2)無載荷作用的三桿節點,若其中兩桿共線,如圖4-22b所示,另一不共線的桿必為零桿。(3)有外力作用的二桿節點,若其中一桿與外力作用線共線,如圖4-22c所示,另一與外力不共線的桿必為零桿。圖4-224.6.2截面法用適宜的截面,將桁架的某些桿件截斷,使桁架一分為二,取其中任一部分作為研究對象,根據其平衡條件列平衡方程,求解被截斷桿件的內力。這種求內力的方法,稱為截面法。應用截面法時,一般應先求出桁架的支座約束力。

4.7考慮摩擦時的平衡問題摩擦是一種普遍存在于機械運動中的自然現象,人行走、車行駛、機器運轉等無一不存在摩擦。但是在前面的討論中都假設物體之間的接觸是完全光滑的,這當然是對問題的一種理想化的處理方式。事實上,所有物體都具有不同程度的粗糙面,當物體沿接觸面運動或有相對運動趨勢時,由于接觸面間的不平整,便產生了對運動的阻力,這種阻力稱為摩擦力。當物體的接觸面間足夠光滑或有良好的潤滑時,摩擦力對所研究的問題不起主要作用,這時忽略摩擦力是允許的。但在某些情況下,摩擦力對物體的平衡有著重要的作用,忽略摩擦將對計算結果造成較大誤差,此時必須考慮摩擦。4.7.1滑動摩擦當兩個相互接觸的物體有相對滑動或相對滑動趨勢時,彼此間存在著阻礙滑動的機械作用,這種現象稱為滑動摩擦,這種機械作用稱為滑動摩擦力。滑動摩擦力作用在接觸面的切平面內,方向總是與物體的相對滑動方向或相對滑動趨勢方向相反。滑動摩擦又分為兩種:靜滑動摩擦和動滑動摩擦。1.靜滑動摩擦

當兩接觸物體間僅有相對滑動趨勢,但仍保持相對靜止時,彼此間存在的阻礙作用稱為靜滑動摩擦。阻礙運動的阻力稱為靜滑動摩擦力,簡稱靜摩擦力。靜摩擦力的特性可用圖4-24來說明。在固定的水平面上放置一重為W的物體,今在其上作用一水平向右的推力F1,當力F1的大小在一定范圍內變化時,物體僅有滑動趨勢而仍處于平衡狀態。此時,固定面除對物體作用有法向反力FN外,還作用有阻礙其運動的靜摩擦力F,F隨力F1的改變而改變,其大小由平衡方程決定。當力F1達到其臨界值F1u時,F也達到它的最大值Fmax。力F1一旦超過臨界值F1u,平衡即被破壞,物體將沿支承面滑動。圖4-24由此可見,靜摩擦力F是一個范圍值Fmax是物體達到臨界狀態時的摩擦力,稱為極限摩擦力,其大小Fmax即兩接觸物體間靜摩擦力的最大值。實驗表明,極限摩擦力與接觸面間的正壓力FN成正比,即這就是靜摩擦定律。式中,f稱為靜摩擦因數,是一個量綱為一的量。它與兩接觸物體的材料、接觸面的粗糙程度、溫度、濕度和表面的潤滑情況等因素有關,而與接觸面積的大小無關。

2.動滑動摩擦

當兩接觸物體間有相對滑動時,彼此間的阻礙作用稱為動滑動摩擦,其阻力稱為動滑動摩擦力,簡稱動摩擦力,用F'表示。由實驗可知,動滑動摩擦力是一個確定的值,其大小與接觸面間的正壓力FN成正比:上式即是動摩擦定律式中,f'稱為動摩擦因數,它與兩接觸物體的材料、表面狀況以及相對速度有關,其值一般略小于靜摩擦因數,即f'<f。有時當計算精度要求不高時,可近似認為f'=f。式(4-13)和式(4-14)統稱為庫侖摩擦定律。3.摩擦角與自鎖現象

對靜摩擦,支承面提供的約束力包括法向約束力FN和靜摩擦力F,它們的合力FR稱為支承面的全約束力。全約束力的作用線相對接觸面的法線有一偏角φ(圖4-25a)。在平衡的臨界狀態,FR=FN+Fmax,上述偏角達到最大值φm,φm角稱為摩擦角,如圖4-25b所示。圖4-25則即摩擦角的正切tanφm等于靜摩擦因數f。根據上述關系,可以很方便地用實驗的方法測定兩物體間的靜摩擦因數。把要測定摩擦因數的兩種材料做成物塊和斜面板。將物塊放在斜面板上,逐漸增大斜面板的傾角α,如圖4-26所示。當物塊剛開始下滑時的α角就是要測定的摩擦角φm。再由式(4-15)即可得到該兩物體間的靜摩擦因數f。圖4-26物體平衡時,由于靜摩擦力不可能超出其最大值Fmax,因而全約束力的作用線不可能超出摩擦角以外,即全約束力必在摩擦角以內。所以,如果作用于物體上的全部主動力的合力Fe的作用線在摩擦角以內,則無論這個力有多大,總會有一個全約束力FR與之等值反向,使物體保持靜止。這種現象稱為自鎖現象。力Fe作用線與接觸面法線間的夾角α滿足的條件α≤φm稱為自鎖條件。自鎖條件僅與主動力系合力的方位有關,而與其大小無關。如果全部主動力的合力Fe的作用線在摩擦角以外,則無論這個力怎樣小,物體一定不能平衡。因為在這種情況下,支承面的全約束力FR與Fe不可能滿足二力平衡條件。4.7.2滾動摩阻的概念滾動摩阻是指一個物體沿另一個物體的表面作相對滾動或具有相對滾動趨勢時的阻礙作用。由實際經驗知道,滾動比滑動容易,這表明滾動比滑動受到的阻礙小。所以在實踐中,為了提高效率,減輕勞動強度,經常用滾動代替滑動。例如,搬運重物時在下面墊上滾桿,就是此類應用的實例。設在水平面上有一滾子,重量為W,半徑為r,在其中心作用一水平力F1(圖4-30)。當力F1不大時,滾子仍保持靜止。由滾子的受力情況可知,滾子在與平面接觸點處所受的法向約束力FN與滾子重力W平衡;而阻礙滾子滑動的靜摩擦力F與力F1等值反向,作用線平行。如果支承面的約束力僅有FN和F,滾子將不能保持平衡,因為F1和F組成的力偶將使滾子發生滾動。實際上,當力F1不大時滾子是平衡的,這是因為滾子和支承面接觸處都會發生局部變形所致。滾子在接觸處一定的面積內受到分布的約束力作用(圖4-30a),將該分布力系向滾子最低點A簡化,得一合力F'R,其可分解為FN和F,還有一個力偶Mf。圖4-30由此可見,支承面除了有FN和F之外,還有阻礙滾子產生滾動的約束力偶,這個約束力偶稱為滾動摩阻力偶,其力偶矩為Mf,它與主動力偶(F1,F)相平衡,并隨力F1的增加而增加,但有一個極限值。當Mf達到極限值Mf,max時,如力F1繼續增加,滾子則開始滾動。由此可知,滾動摩阻力偶矩是一個范圍值,介于零與最大值之間,即式中,Mf,max稱為最大滾動摩阻力偶矩。實驗表明:最大滾動摩阻力偶矩與滾子半徑無關,而與法向約束力成正比,即這就是滾動摩擦定律。式中,δ為比例常數,稱為滾動摩阻系數,它的值與接觸面的材料及其硬度有關,與滾子半徑無關。應當注意,δ具有長度的量綱,單位一般用mm或cm,其物理意義為:在滾子即將開始滾動時,法向反力FN偏離中心線的最遠距離(如圖4-31)。由于滾動摩阻系數較小,在大多數情況下滾動摩阻可以忽略不計。圖4-31第5章空間一般力系和重心空間一般力系是各力作用線在空間任意分布的力系,也稱為空間任意力系。顯然,這是力系中最一般的情況,其他各種力系都是它的特殊情況。本章將研究空間一般力系的簡化與平衡問題。與平面力系的研究方法相似,空間一般力系的簡化也是應用力向一點平移的方法將空間一般力系分解為兩個基本力系:空間匯交力系和空間力偶系,再應用這兩個力系的簡化結果簡化原力系,建立空間一般力系的平衡條件并導出平衡方程。

5.1力對軸之矩設有一平面L,其上力F對平面內O點之矩將使剛體繞O點轉動,如圖5-1a所示。從空間的觀點看,這一轉動效應實際上就是空間物體繞通過O點且與該平面垂直的空間軸z軸的轉動。所以,平面內力對點之矩實際上就是空間問題中的力對軸之矩。此時,力F的作用線須與z軸在空間相互垂直。力F對z軸之矩度量了力F使剛體繞z軸轉動的效應。圖5-1若力F不在垂直于z軸的平面內,如圖5-1b所示,要考察力F使剛體繞z軸轉動的效應,需將力F分解為兩個分力Fz和Fxy(圖5-1b)。分力Fz平行于z軸,它對剛體繞z軸的轉動不起作用;分力Fxy在垂直于z軸的平面內,Fxy對z軸的矩表示了力F使剛體繞z軸轉動的效應。由此可得如下定義:空間力對軸之矩是使剛體繞此軸轉動效應的度量,它等于此力在垂直于軸的任一平面上的投影對軸與平面交點之矩。若以Mz(F)表示力F對z軸之矩,上述定義可表示為式中,正負號按右手螺旋規則確定,即從z軸的正向朝負向看,若Fxy使剛體繞該軸作逆時針轉動,取正號;反之則取負號。顯然,力對軸之矩是代數量。由上述定義可知:(1)當力沿其作用線滑移時,力對軸之矩不變;(2)當力的作用線與軸相交(d=0)或平行(Fxy=0)時,力對該軸之矩等于零。與平面問題中力對點之矩一樣,力對軸之矩也有合力矩定理,即合力對任一軸之矩等于各分力對同一軸之矩的代數和。力對軸之矩也可用解析式表示。設力F在三個坐標軸上的投影分別為Fx、Fy、Fz,力F的作用點A的坐標為(x、y、z),如圖5-2所示。由力對軸之矩的定義和合力矩定理,可得圖5-25.2力對軸之矩與力對點之矩的關系空間力對點之矩是一個矢量,可用力的作用點到矩心的矢徑r與力F的矢積表示將此式用解析形式表示,可以得到因此,力對點之矩矢MO(F)在三個坐標軸上的投影分別為比較式(5-2)和式(5-3)不難看到:力對點之矩矢在通過該點的任一軸上的投影,等于力對該軸之矩。上述結論也可用幾何法證明。用MO(F)表示力F對點O的矩矢,用Mz(F)表示力F對通過點O的z軸之矩,如圖5-4所示。MO(F)的大小為|MO(F)|=2△OAB面積力F對z軸之矩也可用相應的三角形面積表示為Mz(F)=2△OA'B'面積圖5-4△OA'B'是△OAB在坐標面Oxy上的投影。該兩三角形平面間的夾角即是這兩個平面法線間的夾角γ,也就是矢量MO(F)與z軸之間的夾角,如圖5-4所示。由幾何學關系有△OA'B'=△OABcosγ即[MO(F)]z=Mz(F)(5-4a)同理可得對x軸和y軸的相應關系[MO(F)]x=Mx(F)(5-4b)

[MO(F)]y=My(F)(5-4c)5.3空間一般力系向任意點簡化及其結果的討論5.3.1空間一般力系向任意點簡化與平面一般力系的簡化方法一樣,用力的平移定理,可以把空間一般力系向任意一點簡化。要注意的是,由于空間一般力系中各力的作用線不在同一平面內,故將力系中各分力向一點平移時,附加力偶的力偶矩應當用矢量表示。設一空間一般力系(F1、F2、…、Fn)作用在剛體上,如圖5-5a所示。將力系中各力分別向任選的簡化中心O平移,可以得到一空間匯交力系(F'1、F'2、…、F'n)和一空間力偶系,該力偶系的各分力偶矩矢分別為M1、M2、…、Mn,如圖5-5b所示。其中圖5-5這兩個力系可以分別按空間匯交力系和空間力偶系的合成方法合成為通過簡化中心的一個力和一個力偶。力矢量為力偶的力偶矩矢為F'R稱為空間一般力系的主矢,MO稱為空間一般力系對簡化中心的主矩。同樣地,力系的主矢與簡化中心的位置選擇無關;而主矩與簡化中心的位置選擇有關。與平面力系不同的是,空間力系的主矩是矢量而不是代數量。于是得到結論:空間一般力系向任意點簡化,可以得到一個力和一個力偶。這個力通過簡化中心,大小和方向等于此空間一般力系的主矢;這個力偶的力偶矩矢等于此空間一般力系對簡化中心的主矩。在實際計算中,常采用解析式。過簡化中心建立直角坐標系Oxyz。用F'Rx、F'Ry、F'Rz和Fix、Fiy、Fiz分別表示主矢F'R和空間一般力系中各分力Fi在坐標軸上的投影,由合力投影定理有空間一般力系的主矢F'R的大小和方向為(為便于書寫,下標i可略去)若用MOx、MOy、MOz分別表示空間一般力系對簡化中心O的主矩MO在x、y、z軸上的投影,由式(5-4)及合矢量投影定理知:主矩MO的大小和方向為與平面問題中固定端約束的反力的簡化方法類似,空間問題的固定端約束的反力可用6個量來表示,如圖5-6所示。它所限制的位移是:既不能沿任何方向移動,也不能繞任意軸轉動。圖5-65.3.2簡化結果分析空間一般力系向任意一點簡化,可能出現下列4種情況:(1)F'R=0,MO=0,此時,原空間一般力系為一平衡力系。(2)F'R=0,MO≠0,原空間一般力系合成為一合力偶,其矩等于空間一般力系對簡化中心的主矩MO。在這種情況下,該空間一般力系的主矩與簡化中心的位置無關。(3)F'R≠0,MO=0,原空間力系合成為作用線過簡化中心的合力。合力矢FR等于力系的主矢F'R。當簡化中心恰好選在合力的作用線上時,就是這種情況。(4)F'R≠0,MO≠0,根據它們之間位置的關系,又分為3種情形。1)F'R⊥MO,這時主矢F'R的作用線所在的平面與主矩MO所表示的力偶的作用面是同一平面,它們還可進一步合成為一個合力。合力的作用線到簡化中心的距離為2)F'R∥MO,此時主矢F'R和主矩MO所表示的力偶的作用面相垂直,如圖5-7所示,這是一種最簡結果,不能再進一步合成。從而形成力學中又一個基本量,稱為力螺旋。圖5-73)主矢F'R和主矩MO兩者既不平行也不垂直。這是最一般的情況。這時可將MO分解為兩個分力偶M″O與M'O,它們分別與F'R垂直和平行。與F'R垂直的力偶M″O與F'

R可進一步合成為一個合力FR,由于力偶矩矢是自由矢量,則可將M'

O表示在FR處,從而得到一個力螺旋。可見,一般情形下空間一般力系可簡化為力螺旋,如圖5-8所示。圖

5-8當空間一般力系能合成為合力時,可以證明合力矩定理仍然成立,即:空間一般力系的合力對位意一點(或軸)的矩等于力系中各分力對同一點(或同一軸)的矩的矢量和(或代數和)。即或5.4空間一般力系的平衡條件及其應用若空間一般力系的主矢和對任意點的主矩都等于零,則該力系向任意點簡化所得的空間匯交力系和附加的空間力偶系分別自成平衡,這表明原空間一般力系是平衡力系。反之,若空間一般力系是平衡的,則該力系的主矢和對任意點的主矩必定都等于零。因為,當力系的主矢和對任意點的主矩有一個不為零時,原空間一般力系將等效于一個力或一個力偶或力螺旋,它們都不是平衡力系。由此得出空間一般力系平衡的必要與充分條件是:空間一般力系的主矢和對任一點的主矩都等于零。即(5-15)根據式(5-8)和式(5-11),可將上述條件寫成解析形式的平衡條件(5-16)所以,空間一般力系平衡的必要與充分條件是:力系中各力在三個坐標軸上投影的代數和分別等于零;以及這些力對于三個坐標軸之矩的代數和分別等于零。上式也稱為空間一般力系基本式(三矩式)的平衡方程。前面所遇到的各種力系都是空間一般力系的特殊情況,例如,匯交力系、力偶系和平面一般力系等等。我們可以由空間一般力系的平衡方程(5-16)導出各種特殊力系的平衡方程。例如,對空間平行力系,如圖5-9所示,令z軸與各力線平行,則各力對z軸之矩為零;又由于所有力均與x和y軸垂直