角的平分線的性質能力提升篇一、單選題：1．如圖，△ABC的三邊AB、BC、CA長分別是20、30、40，其三條角平分線將△ABC分為三個三角形，則S△ABO︰S△BCO︰S△CAO等于（）A．1︰1︰1 B．1︰2︰3 C．2︰3︰4 D．3︰4︰5【答案】C【知識點】角平分線的性質【解析】【解答】解：過點O作OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，垂足分別是D，E，F，

∵OA平分∠BAC，OD⊥AB，OF⊥AC

∴OD=OF，同理OD=OE

∴OD=OE=OF

∵S△ABO=，S△AOC=，S△BOC=

∴S△ABO︰S△BCO︰S△CAO=∶∶=AB：BC：AC=2：3：4

故答案為：C。

【分析】根據角平分線上的點到角兩邊的距離相等可得OD=OE=OF，根據三角形的面積計算方法分別表示出三個三角形的面積，則三個三角形的面積之比就等于底之比，即AB：BC：AC=2：3：4。2．如圖是的角平分線，于E，點F，G分別是，上的點，且，與的面積分別是10和3，則的面積是（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】A【知識點】三角形的面積；直角三角形全等的判定（HL）；角平分線的性質【解析】【解答】解：如圖，過點D作DH⊥AC于H，∵AD是△ABC的角平分線，DF⊥AB，DH⊥AC∴DF=DH，在Rt△DEF和Rt△DGH中，，∴Rt△DEF≌Rt△DGH（HL），∴S△EDF=S△GDH=3，同理Rt△ADF≌Rt△ADH，∴S△ADF=S△ADH=∴S△AED=，故答案為：A.【分析】過點D作DH⊥AC于H，根據角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得DF=DH，然后利用“HL”證明Rt△DEF和Rt△DGH全等，根據全等三角形的面積相等可得S△EDF=S△GDH，然后根據S△ADF=S△ADH列出方程求解即可.3．如圖所示，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于點D，DE⊥AB于點E，則下列結論:①AD平分∠CDE；②∠BAC=∠BDE；③DE平分∠ADB；④若AC=4BE，則S△ABC=8S△BDE.其中正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【知識點】余角、補角及其性質；三角形的面積；角平分線的性質；三角形全等的判定（AAS）；角平分線的定義【解析】【解答】解：∵AD平分∠BAC，

∴∠DAC=∠DAE.

∵∠C=90°，DE⊥AB，

∴∠C=∠E=90°.

∵AD=AD，∠DAC=∠DAE，∠C=∠E=90°，

∴△DAC≌△DAE，

∴∠CDA=∠EDA，

∴①AD平分∠CDE，正確.

無法證明∠BDE=60°，

∴③DE平分∠ADB錯誤.

∵BE+AE=AB，AE=AC，AC=4BE，

∴AB=5BE，AE=4BE，

∴S△ADB=5S△BDE，S△ADC=4S△BDE，

∴S△ABC=9S△BDE，④錯誤.

∵∠BDE=90°-∠B，∠BAC=90°-∠B，

∴∠BDE=∠BAC，

∴②∠BAC=∠BDE正確.

故答案為：B.

【分析】根據角平分線的概念以及性質可得∠DAC=∠DAE，∠C=∠E=90°，然后可證△DAC≌△DAE，根據全等三角形的性質可判斷①的正誤；無法推出∠BDE=60°，進而可判斷③的正誤；由線段的和差關系可推出AB=5BE，AE=4BE，利用三角形的面積公式不難判斷④的正誤；根據同角的余角相等可判斷②的正誤.二、填空題：4．如圖所示，△ABC的外角∠ACD的平分線CP與內角∠ABC平分線BP交于點P，若∠BPC＝40°，則∠CAP＝．【答案】【知識點】三角形的外角性質；直角三角形全等的判定（HL）；角平分線的性質【解析】【解答】延長BA，作PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，

設∠PCD=x°，

∵CP平分∠ACD，

∴∠ACP=∠PCD=x°，PM=PN，

∵BP平分∠ABC，

∴∠ABP=∠PBC，PF=PN，

∴PF=PM，

∵∠BPC=40°，

∴∠ABP=∠PBC=∠PCD?∠BPC=(x?40)°，

∴∠BAC=∠ACD?∠ABC=2x°?(x°?40°)?(x°?40°)=80°，

∴∠CAF=100°，

在Rt△PFA和Rt△PMA中，

PA=PA

PM=PF，

∴Rt△PFA≌Rt△PMA(HL)，

∴∠FAP=∠PAC=50°.

【分析】根據外角與內角性質得出∠BAC的度數，再利用角平分線的性質以及直角三角形全等的判定，得出∠CAP=∠FAP，即可得出答案.5．如圖，在∠AOB的邊OA、OB上取點M、N，連接MN，P是△MON外角平分線的交點，若MN=2，S△PMN=2，S△OMN=7．則△MON的周長是；【答案】11【知識點】全等三角形的判定與性質；角平分線的性質【解析】【解答】解：如圖：作PE⊥OB，PG⊥OA，PF⊥MN，連結OP，

∵PM、PN分別平分∠AMN，∠BNM，

∴PF=PG=PE，

∵S△PMN=·MN·PF=2，MN=2，

∴PF=PG=PE=2，

由題易得：

△GMP≌△GFP，△FPN≌△EPN，△OPG≌△OEP，

∴GM=GF，FN=NE，OG=OE，

∴S△OPG=S△OPE=×（2+2+7）=，

即S△OPG=·OG·PG=，

∴OG=，

∴C△MON=OM+ON+MN，

=OM+ON+MF+FN，

=OM+ON+MG+NE，

=OG+OE，

=2OG，

=2×，

=11.

故答案為：11.【分析】作PE⊥OB，PG⊥OA，PF⊥MN，連結OP，根據角平分線的性質定理得PF=PG=PE，再由三角形面積公式得PF=PG=PE=2，據條件易得：△GMP≌△GFP，△FPN≌△EPN，△OPG≌△OEP，由全等三角形性質得GM=GF，FN=NE，OG=OE，S△OPG=·OG·PG=得OG=，由三角形周長和等量代換可得答案.6．如圖，ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分線BP、AP交于點P，延長BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF，則下列結論中正確的是.①CP平分∠ACF；②∠ABC＋2∠APC＝180°；③∠ACB＝2∠APB；④S△PAC＝S△MAP＋S△NCP.【答案】①②③④【知識點】三角形的外角性質；直角三角形全等的判定（HL）；角平分線的性質；角平分線的判定【解析】【解答】解：①過點作于，平分，，，，∵平分，，，∴，，又∵，，CP平分∠ACF，故①正確；②∵，，∴，在和中，，，，同理：，，，，，，，，②正確；③∵，，∴，，平分，平分，，，，即，③正確；④由②可知，，，，，故④正確.故答案為：①②③④.【分析】過點P作PD⊥AC于D，由角平分線上的點到角兩邊的距離相等得PM=PN，PM=PD，推出PN=PD，進而根據到角兩邊距離相等的點在這個角的角平分線上判斷出CP平分∠ACF，據此判斷①；證△PAM≌△PAD，△PCD≌△PCN，得到∠APM=∠APD，∠CPD=∠CPN，推出∠MPN=2∠APC，利用四邊形內角和為360°求出∠ABC+∠MPN的度數，據此判斷②；由三角形的任意一個外角等于與之不相鄰的兩個內角的和得∠CAE=∠ABC+∠ACB，∠MAP=∠ABP+∠APB，由角平分線的概念可得∠CAE=2∠PAM，∠ABC=2∠ABP，據此判斷③；由全等三角形的面積相等得S△APD=S△APM，S△CPD=S△CPN，據此判斷④.三、解答題：7．在△ABC中，AD是∠BAC的平分線，E、F分別為AB、AC上的點，且∠EDF+∠EAF=180°，求證DE=DF．【答案】證明：過D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，即∠EMD=∠FND=90°，∵AD平分∠BAC，DM⊥AB，DN⊥AC，∴DM=DN（角平分線性質），∵∠EAF+∠EDF=180°，∴∠MED+∠AFD=360°-180°=180°，∵∠AFD+∠NFD=180°，∴∠MED=∠NFD，在△EMD和△FND中，∴△EMD≌△FND（AAS），∴DE=DF．【知識點】三角形全等的判定；角平分線的性質【解析】【分析】本題要證明DE=DF，由圖得我們并不能證明△AED≌△AFD，所以我們要再根據題意找技巧。題意中AD是角平分線，我們知道角平分線到角的兩邊的距離相等，所以我們做輔助線DM⊥AB，DN⊥AC（DM=DN），這樣我們找到了一組邊相等；我們再來看題意中∠EAF+∠EDF=180°，我們還沒用到，所以根據這個題意，再結合四邊形內角和是360度，我們得出∠MED+∠AFD=360°-180°=180°；又因為∠AFD+∠NFD=180°，所以∠MED=∠NFD。所以，利用AAS我們得證三角形全等。8．已知：如圖，D為外角平分線上一點，且，于點M.（1）若，，求的面積；（2）求證：.【答案】（1）解：如圖所示，過點D作DE⊥AC于E，∵CD是∠ACM的角平分線，DE⊥AC，DM⊥BC，∴DE=DM=1，∴；（2）證明：∵DE⊥AC，DM⊥BC，∴∠DEA=∠DEC=∠DMB=90°，∵AD=BD，DE=DM，∴Rt△DEA≌Rt△DMB（HL），∴AE=BM，∵∠DEC=∠DMC=90°，DE=DM，DC=DC∴Rt△DEC≌Rt△