命題、定理與證明夯實基礎一、單選題：1．下列語句是命題的是（）A．畫出兩個相等的角 B．所有的直角都相等嗎C．延長線段到C，使得 D．兩直線平行，內錯角相等【答案】D【分析】根據命題的概念判斷即可．【詳解】解：A、畫出兩個相等的角，沒有做錯判斷，不是命題；B、所有的直角都相等嗎，沒有做錯判斷，不是命題；C、延長線段到C，使得，沒有做錯判斷，不是命題；D、兩直線平行，內錯角相等，是命題；故選：D．【點睛】本題考查的是命題的概念，掌握判斷一件事情的語句，叫做命題，是解題的關鍵．2．命題“垂直于同一條直線的兩條直線互相平行”的條件是（

）A．垂直 B．兩條直線互相平行C．同一條直線 D．兩條直線垂直于同一條直線【答案】D【分析】命題有條件和結論兩部分組成，條件是已知的部分，結論是由條件得出的推論．【詳解】“垂直于同一條直線的兩條直線互相平行”的條件是“兩條直線垂直于同一條直線”，結論是“兩條直線互相平行”．故選：D．【點睛】本題考查了對命題的題設和結論的理解，解題的關鍵在于利用直線垂直的定義進行判斷．3．下列關于命題“互為補角的兩個角相等”判斷正確的有（

）①該命題可以寫成“如果兩個角互為補角，那么這兩個角相等”的形式；②該命題的條件是兩個角互為補角；③該命題是真命題A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】C【分析】利用命題的定義，將原有命題進行拆解即可判定①、②是否正確，根據命題的真假的判定方法可以判定③是否正確，由此即可得出答案．【詳解】解：由題意可知，命題“互為補角的兩個角相等”可以寫成“如果兩個角互為補角，那么這兩個角相等”的形式，故①正確；該命題的條件為“兩個角互為補角”，故②正確；互補的角不一定相等，故該命題為假命題，故③錯誤，綜上所述判斷正確的為：①②，共2個，故選：C．【點睛】本題主要考查的是命題與定理的知識，準確掌握命題定理與補角的概念是解題的關鍵．4．命題“同角的余角相等”改寫成“如果……，那么……”的形式是（

）A．如果是同角的余角，那么相等 B．如果兩個角是同一個角的余角，那么這兩個角相等C．如果兩個角是同角，那么這兩個角是余角 D．如果兩個角互余，那么這兩個角相等【答案】B【分析】根據命題由題設和結論組成，把條件“兩個角是同角的余角”寫在如果的后面，把結論“這兩個角相等”寫在那么的后面即可．【詳解】命題“同角的余角相等”改寫成“如果…，那么…”的形式是“如果兩個角是同角的余角，那么這兩個角相等”．故選B．【點睛】本題考查了命題：判斷事物的語句叫命題；正確的命題稱為真命題；錯誤的命題稱為假命題．5．下列命題中，真命題的個數是（）①相等的角是對頂角；②同位角相等；③等角的余角相等；④如果，那么．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】根據對頂角、平行線的性質、余角的概念、平方根的概念逐一判斷，即可得到答案．【詳解】解：①相等的角不一定是對頂角，原說法錯誤，是假命題；②兩直線平行，同位角相等，原說法錯誤，是假命題；③等角的余角相等，原說法正確，是真命題；④如果，那么，原說法錯誤，是假命題，即真命題的個數為1，故選：A．【點睛】本題考查的是命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題．判斷命題的真假關鍵是要熟悉課本中的性質定理．6．下列選項中，可以用來證明命題“若a>b，則|a|>|b|”是假命題的反例是（）A．a=1，b=0 B．a=-1，b=2 C．a=-2，b=1 D．a=1，b=-3【答案】D【分析】根據絕對值的意義逐項代入驗證，即可得出答案．【詳解】解：A、當a＝1，b＝0時，有a>b，且|a|>|b|，不能證明題中命題是假命題；B、當a＝－1，b＝2時，有a＜b，且|a|＜|b|，不能證明題中命題是假命題；C、當a＝－2，b＝1時，有a＜b，且|a|>|b|，不能證明題中命題是假命題；D、當a＝1，b＝－3時，有a>b，且|a|＜|b|，能證明題中命題是假命題；故選：D．【點睛】本題考查了命題與定理：命題的“真”“假”是就命題的內容而言．任何一個命題非真即假．要說明一個命題的正確性，一般需要推理、論證，而判斷一個命題是假命題，只需舉出一個反例即可．7．下列各數中，可以用來說明命題“任何偶數都是4的倍數”是假命題的反例是（

）A．5 B．12 C．14

D．16【答案】C【詳解】解：∵5不是偶數，且也不是4的倍數，∴不能作為假命題的反例，故A錯誤；∵12是偶數，且是4的倍數，∴不能作為假命題的反例，故B錯誤；∵14是偶數但不是4的倍數，∴可以用來說明命題“任何偶數都是4的倍數”是假命題的反例，故C正確；∵16是偶數，且也是4的倍數，∴不能作為假命題的反例，故D錯誤.故選：C.二、填空題：8．下列語句哪些是命題，哪些不是命題？（1）作．（）

（2）兩個銳角互余．（

）（3）直線a與b有可能垂直．（）

（4）作射線．（

）（5）作直線．（）

（6）整數一定是有理數．（

）【答案】（1）不是，（2）是，（3）不是，（4）不是，（5）不是，（6）是【分析】判斷一件事情的語句叫命題，根據定義解答．【詳解】解：（1）作，不是命題；故答案為：不是．（2）兩個銳角互余，是命題；故答案為：是．（3）直線a與b有可能垂直，不是命題；故答案為：不是．（4）作射線，不是命題；故答案為：不是．（5）作直線，不是命題；故答案為：不是．（6）整數一定是有理數，是命題；故答案為：是．【點睛】此題考查命題的定義，熟記定義是解題的關鍵．9．一個角的補角大于這個角，這個命題的條件是______，結論是______．【答案】

一個角是已知角的補角；

則大于已知角【分析】任何一個命題都可以寫成，如果…那么…”的形式．如果是條件，那么是結論．【詳解】一個角的補角大于這個角，這個命題的條件是一個角是已知角的補角，結論是則大于已知角．【點睛】本題考查的是命題的組成，比較簡單，需同學們熟練掌握．10．指出命題“對頂角相等”的題設和結論，題設_____，結論_____．【答案】

兩個角是對頂角，

這兩個角相等．【分析】根據命題的定義即可解答.【詳解】對頂角相等．題設：兩個角是對頂角；結論：這兩個角相等；故答案為兩個角是對頂角，這兩個角相等．【點睛】本題考查命題，熟悉命題的設定過程是解題關鍵.11．將命題“等角的補角相等”改寫成“如果……那么……”的形式，可寫成________________，該命題是_________（填“真命題”或“假命題”）．【答案】

如果兩個角相等，那么這兩個角的補角也相等

真命題【分析】命題由題設和結論兩部分組成．題設是已知事項，結論是由已知事項推出的事項．命題常常可以寫為“如果…那么…”的形式，如果后面接題設，那么后面接結論．題設成立，結論也成立的叫真命題；而題設成立，不保證結論成立的為假命題．【詳解】解：把“等角的補角相等”改寫成“如果…那么…”的形式是：如果兩個角是等角的補角，那么這兩個角相等；這個命題正確，是真命題，故答案為：如果兩個角是等角的補角，那么這兩個角相等，真命題．【點睛】本題考查了命題與定理，命題的“真”“假”是就命題的內容而言，任何一個命題非真即假，要說明一個命題的正確性，一般需要推理、論證，而判斷一個命題是假命題，只需舉出一個反例即可．12．寫出一個能說明命題“若，則”是假命題的反例________.【答案】（答案不唯一）【分析】作為反例，要滿足條件但不能得到結論，然后根據這個要求寫出一個滿足條件卻不滿足結論的a，b的值即可.【詳解】當時，滿足，∵-5<1，不滿足，∴可作為說明命題“若，則”是假命題的反例.故答案為：a=-5，b=1（答案不唯一）【點睛】本題考查了命題與定理：判斷事物的語句叫命題；正確的命題稱為真命題，錯誤的命題稱為假命題；經過推理論證的真命題稱為定理．13．下列命題：①經過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行；②在同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直；③直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離；④如果直線，，那么．其中是真命題的有______．（填序號）【答案】①②③【分析】根據平行公理及其推論、垂線的性質、點到直線的距離定義等分析判斷即可．【詳解】解：①經過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行，正確，為真命題；②在同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直，正確，為真命題；③直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離，正確，為真命題；④如果直線，，那么，原命題為假命題．綜上所述，真命題有①②③．故答案為：①②③．【點睛】本題主要考查了命題與定理的知識，解題關鍵是理解平行公理及其推論、垂線的性質、點到直線的距離定義等知識．三、解答題：14．把下列命題改寫成“如果…，那么…”的形式．(1)等角的補角相等；(2)直角都相等；(3)不相等的角不是對頂角；(4)一個銳角的補角大于這個銳角的余角；(5)等角對等邊；(6)異號兩數相加和為零．【答案】(1)見解析；(2)見解析；(3)見解析；(4)見解析；(5)見解析；(6)見解析.【分析】分清每個命題的題設與結論，然后把題設寫在如果后面，把結論寫在那么后面即可．【詳解】(1)如果兩個角為相等角的補角，那么這兩個角相等；(2)如果一些角都是直角，那么這些角都相等；(3)如果兩個角不相等，那么這兩個角不是對頂角；(4)如果兩個角分別為一個銳角的補角和余角，那么補角大于余角；(5)在三角形中，如果兩條邊所對的角相等，那么這兩條邊相等；(6)如果兩個數的符號相反，那么這兩個數的和為0.【點睛】本題考查了命題與定理：判斷一件事情的語句，叫做命題．許多命題都是由題設和結論兩部分組成，題設是已知事項，結論是由已知事項推出的事項，一個命題可以寫成“如果…那么…”形式．有些命題的正確性是用推理證實的，這樣的真命題叫做定理．15．判斷下列命題的真假，是假命題的舉出反例．①兩個銳角的和是鈍角；②一個角的補角大于這個角；③不相等的角不是對頂角．【答案】見解析【詳解】試題分析：利用反例可判斷①②為假命題；根據對頂角的定義可判斷③為真命題．試題解析：①假命題.反例為：與的和為②假命題.反例為：的補角為③真命題.16．已知命題“如果兩條平行線被第三條直線所截，那么一對內錯角的平分線互相平行．”(1)寫出命題的題設和結論；(2)畫出符合命題的幾何圖形；(3)用幾何語言敘述這個命題；(4)說明這個命題是真命題的理由．【答案】(1)答案見解析(2)答案見解析(3)答案見解析(4)答案見解析【分析】（1）根據命題寫成“如果…，那么…”的形式，如果后面是題設，那么后面是結論，即可得答案；（2）先畫ABCD，再畫GH、MN分別平分∠BGF和∠EMC即可；（3）根據圖形用字母表示敘述即可；（4）根據平行線的性質得∠BGM=∠CMG，再由GH、MN分別平分∠BGF和∠EMC，可得∠HGM=∠NMG，即可得答案．（1）解：題設：兩條平行線被第三條直線所截，結論：一對內錯角的平分線互相平行；（2）如下圖所示：；（3）如上圖，已知ABCD，GH、MN分別平分∠BGF和∠EMC，求證：GHMN；（4）真命題，理由：∵ABCD，∴∠BGM=∠CMG，又∵GH、MN分別平分∠BGF和∠EMC，∴∠HGM=∠BGM，∠NMG=∠CMG，∴∠HGM=∠NMG，∴GHMN．【點睛】本題考查了命題、作圖、平行線的判定與性質，解題的關鍵是掌握平行線的判定與性質并靈活運用．17．推理填空：如圖，已知∠B＝∠CGF，∠BGC＝∠F．求證：∠B＋∠F＝180°，∠F＋∠BGD＝180°．證明：∵∠B＝∠CGF（已知），∴ABCD（）．∵∠BGC＝∠F（已知），∴CDEF（）．∴ABEF（）．∴∠B＋∠F＝180°（）．又∵∠BGC＋∠BGD＝180°（），∠BGC＝∠F（已知），∴∠F＋∠BGD＝180°（）．【答案】同位角相等，兩直線平行；同位角相等，兩直線平行；平行公理的推論；兩直線平行，同旁內角互補；平角的定義；等量代換【分析】根據平行線的判定與性質進行解答即可．【詳解】解：∵∠B＝∠CGF（已知）；∴ABCD（同位角相等，兩直線平行），∵∠BGC＝∠F（已知）；∴CDEF（同位角相等，兩直線平行），∴ABEF（平行公理的推論）∴∠B＋∠F＝180°（兩直線平行，同旁內角互補）．又∵∠BGC＋∠BGD＝180°（平角的定義），∠BGC＝∠F（已知），∴∠F＋∠BGD＝180°（等量代換）．【點睛】本題考查平行線的判定與性質及推理論證，解題關鍵是熟練掌握平行線的判定與性質定理．18．如圖，從①∠1＝∠2；②∠C＝∠D；③∠A＝∠F三個條件中選出兩個作為已知條件，另一個作為結論所組成的命題中．(1)真命題的個數為______；(2)選擇一個真命題寫出理由．【答案】(1)3(2)證明見解析（答案不唯一）【分析】（1）直接利用平行線的判定與性質分別判斷得出命題的正確性；（2）由∠1=∠2可得∠D=∠4，再由∠C＝∠D得到∠4=∠C，即可證明∠A＝∠F．（1）解：條件：①②，結論：③，為真命題；條件：①③，結論：②，為真命題；條件：②③，結論：①，為真命題，所以，真命