等邊三角形的性質(zhì)與判定夯實(shí)基礎(chǔ)篇一、單選題：1．下列說法錯誤的是（）A．有兩邊相等的三角形是等腰三角形B．直角三角形不可能是等腰三角形C．有兩個角為60°的三角形是等邊三角形D．有一個角為60°的等腰三角形是等邊三角形【答案】B【知識點(diǎn)】等腰三角形的判定；等邊三角形的判定【解析】【解答】解：A、有兩邊相等的三角形是等腰三角形，所以A選項(xiàng)正確；B、等腰直角三角形就是等腰三角形，故B選項(xiàng)錯誤；C、有兩個角為60°的三角形是等邊三角形，所以C選項(xiàng)正確；D、有一個角為60°的等腰三角形是等邊三角形，所以D選項(xiàng)正確.故答案為：B.【分析】根據(jù)等腰三角形的判定定理對A作判斷；等腰三角形包含等腰直角三角形；根據(jù)等邊三角形的判定定理對CD作判斷.2．如圖，AD是等邊三角形ABC的中線，AE=AD，則∠EDC=（）度．A．30 B．20 C．25 D．15【答案】D【知識點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理；等腰三角形的性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)【解析】【解答】∵△ABC是等邊三角形，∴AB=AC，∠BAC=∠C=60°，∵AD是△ABC的中線，∴∠DAC=∠BAC=30°，AD⊥BC，∴∠ADC=90°，∵AE=AD，∴∠ADE=∠AED===75°，∴∠EDC=∠ADC?∠ADE=90°?75°=15°.故答案為：D.【分析】由等邊三角形的各個內(nèi)角都是60°，再根據(jù)三線合一得到∠DAC的度數(shù)，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠EDC的度數(shù).3．一艘輪船由海平面上A地出發(fā)向南偏西40°的方向行駛40海里到達(dá)B地，再由B地向北偏西20°的方向行駛40海里到達(dá)C地，則A、C兩地相距()A．30海里 B．40海里 C．50海里 D．60海里【答案】B【知識點(diǎn)】鐘面角、方位角；等邊三角形的判定與性質(zhì)【解析】【解答】依題可得：∠ABC=60°，AB=BC=40，

∴△ABC是等邊三角形，

∴AC=AB=BC=40（海里），

故答案為：B.【分析】根據(jù)有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形，得出△ABC是等邊三角形，再由等邊三角形的性質(zhì)得出AC的長度即可.4．如圖，是等邊三角形，是中線，延長至E，使，則下列結(jié)論錯誤的是（）A． B． C． D．【答案】D【知識點(diǎn)】三角形的外角性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)【解析】【解答】解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC=∠ACB＝60°，∵BD是AC上的中線，∴∠ADB＝∠CDB＝90°，∠ABD＝∠CBD＝30°，∵∠ACB＝∠CDE＋∠DEC＝60°，

又CD＝CE，∴∠CDE＝∠CED＝30°，∴∠CBD＝∠DEC，∴DE=BD，∠BDE＝∠CDB＋∠CDE＝120°，故A、B、C均正確．故答案為：D．【分析】利用等邊三角形性質(zhì)得∠ABC=∠ACB＝60°，∠ADB＝∠CDB＝90°；∠ABD＝∠CBD＝30°，再利用三角形的外角的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)可得到∠CDE＝∠CED＝30°，可對A作出判斷；由此可推出∠CBD=∠DEC，同時可求出∠BDE的度數(shù)，可對B作出判斷；利用等角對等邊可證得DE=DB，可對C作出判斷；不能證明DE=AB，可對D作出判斷.5．如圖，，，，若，則（）A． B． C． D．【答案】D【知識點(diǎn)】等邊三角形的判定與性質(zhì)【解析】【解答】∵，，∴△ABC是等邊三角形，又∵，∴∠AEB=90°，∠ABE=∠DBE=30°，∵∠ACB=60°，，∴∠CED=∠CDE=30°，∴∠AEF=30°，∴∠FEB=60°，∴∠BFE=90°，∵，∴BE=4，∵∠DBE=∠CDE=30°∴ED=BE=4，∴ED+EF=6，故答案為：D.【分析】由，得到△ABC是等邊三角形，由等邊三角形的性質(zhì)和，推出BE=4，再由∠DBE=∠CDE=30°，推出ED=BE=4，從而求出DF的長度.6．如圖：等邊三角形ABC中，BD=CE，AD與BE相交于點(diǎn)P，則∠APE的度數(shù)是（）A．45° B．55° C．60° D．75°【答案】C【知識點(diǎn)】等邊三角形的性質(zhì)【解析】【解答】解：∵等邊△ABC，∴∠ABD=∠C，AB=BC，在△ABD與△BCE中，，∴△ABD≌△BCE（SAS），∴∠BAD=∠CBE，∵∠ABE+∠EBC=60°，∴∠ABE+∠BAD=60°，∴∠APE=∠ABE+∠BAD=60°，∴∠APE=60°．故選C【分析】根據(jù)題目已知條件可證△ABD≌△BCE，再利用全等三角形的性質(zhì)及三角形外角和定理求解．二、填空題：7．如圖，已知△ABC是等邊三角形，點(diǎn)B、C、D、E在同一直線上，且CG＝CD，DF＝DE，則∠E＝度．【答案】15【知識點(diǎn)】等邊三角形的性質(zhì)【解析】【解答】解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ACB＝60°，∠ACD＝120°，∵CG＝CD，∴∠CDG＝30°，∠FDE＝150°，∵DF＝DE，∴∠E＝15°．故答案為：15．【分析】根據(jù)題意可知，∠ACB為三角形GCD的一個外角，根據(jù)三角形GCD為等腰三角形，即可求得∠FDC為30°，同理可得即可得到∠E=15°。8．如圖，△ABC與△DEF為等邊三角形，其邊長分別為a，b，則△AEF的周長為.【答案】a+b【知識點(diǎn)】等邊三角形的性質(zhì)；三角形全等的判定（AAS）【解析】【解答】解：∵△ABC與△DEF為等邊三角形∴∠A＝∠B，EF＝DF∵∠BFD+∠BDF＝120°，∠BFD+∠AFE＝120°∴∠BDF＝∠AFE∴△AEF≌△BFD（AAS）∴AF＝BD，AE＝BF∵△AEF的周長＝AF+AE+EF＝AF+BF+EF＝a+b.

故答案為：a+b.【分析】由等邊三角形的性質(zhì)可得∠A＝∠B，EF＝DF，推出∠BDF＝∠AFE，證明△AEF≌△BFD，得到AF＝BD，AE＝BF，據(jù)此解答.9．如圖，將邊長為的等邊向右平移，得到，此時陰影部分的周長為．【答案】12【知識點(diǎn)】等邊三角形的性質(zhì)；平移的性質(zhì)【解析】【解答】為等邊三角形，，，等邊向右平移得到，，，，，陰影部分為等邊三角形，陰影部分的周長為．故答案為：12．【分析】由等邊三角形的性質(zhì)可得，由平移的性質(zhì)可得，從而得出，=4cm，即得陰影部分為等邊三角形，從而求出結(jié)論即可.10．如圖，點(diǎn)E是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且EA＝EB，△ABC外一點(diǎn)D滿足BD＝AC，且BE平分∠DBC，則∠D＝.【答案】30°【知識點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)【解析】【解答】連接CE，∵△ABC是等邊三角形，∴AC=BC，在△BCE與△ACE中，∴△BCE≌△ACE（SSS）∴∠BCE=∠ACE=30°∵BE平分∠DBC，∴∠DBE=∠CBE，在△BDE與△BCE中，∴△BDE≌△BCE（SAS），∴∠BDE=∠BCE=30°.【分析】連接CE，先利用SSS證明△BCE≌△ACE，得到∠BCE=∠ACE=30°，再利用SAS證明△BDE≌△BCE，得出∠D=∠BCE，即可求出∠D的度數(shù)。11．已知：如圖，點(diǎn)E、F分別在等邊三角形ABC的邊CB、AC的延長線上，BE＝CF，F(xiàn)B的延長線交AE于點(diǎn)G則∠AGB＝．【答案】60°【知識點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)【解析】【解答】解：∵△ABC為等邊三角形，

∴AB=BC，

∵BE=CF，

∵∠ABE=∠BCF=180°-60°=120°，

∴△ABE≌△BCE（SAS），

∴∠GEB=∠F，

∴∠AGB=∠GEB+∠GBE=∠F+∠CBF=∠ACB=60°.

故答案為：60°.

【分析】由等邊三角形的性質(zhì)得邊和角相等，利用邊角邊定理可證△ABE≌△BCF，則對應(yīng)角∠GEB=∠F，利用三角形外角的性質(zhì)把∠AGB轉(zhuǎn)化成∠F和∠BFC之和，則可知其值為60°.三、解答題：12．如圖，△ABC是等邊三角形，DF⊥AB，DE⊥CB，EF⊥AC，求證：△DEF是等邊三角形．【答案】解：∵△ABC是等邊三角形，∴AB=AC=BC，∠ABC=∠ACB=∠CAB=60°，∵DF⊥AB，DE⊥CB，EF⊥AC，∴∠DAB=∠ACF=∠CBE=90°，∴∠FAC=∠BCE=∠DBA=30°，∴∠D=∠E=∠F=90°﹣30°=60°，∴DF=DE=EF，∴△DEF是等邊三角形.【知識點(diǎn)】等邊三角形的判定與性質(zhì)【解析】【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，邊相等及三個角等于60°，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°得到DF=DE=EF，再判斷△DEF是等邊三角形，進(jìn)行作答即可。13．如圖：已知等邊△ABC中，D是AC的中點(diǎn)，E是BC延長線上的一點(diǎn)，且CE=CD，DM⊥BC，垂足為M，求證：M是BE的中點(diǎn)．【答案】證明：連接BD，∵在等邊△ABC，且D是AC的中點(diǎn)，∴∠DBC=∠ABC=×60°=30°，∠ACB=60°，∵CE=CD，∴∠CDE=∠E，∵∠ACB=∠CDE+∠E，∴∠E=30°，∴∠DBC=∠E=30°，∴BD=ED，△BDE為等腰三角形，又∵DM⊥BC，∴M是BE的中點(diǎn)．【知識點(diǎn)】等腰三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)【解析】【分析】要證M是BE的中點(diǎn)，根據(jù)題意可知，證明△BDE△為等腰三角形，利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)即可得證。14．如圖，已知等邊分別在上，且，連接交點(diǎn)．求證：【答案】∵是等邊三角形∴，在△ABD和△BCE中∴∴∴．【知識點(diǎn)】等邊三角形的性質(zhì)；三角形全等的判定（SAS）【解析】【分析】根據(jù)是等邊三角形得出，，利用SAS證明，得出，即可得出結(jié)論。15．如圖所示：是等邊三角形，、分別是及延長線上的一點(diǎn)，且，連接交于點(diǎn).

求證：【答案】過點(diǎn)D作DE∥AC，交BC于點(diǎn)E，∵是等邊三角形，∴∠B=∠ACB=60°，∵