廣西壯族自治區南寧市2024-2025學年高二下學期6月期末數學試題一、單選題1．已知集合，集合，則（

）A． B． C． D．2．若，則|z|=（

）A．2 B． C． D．3．已知向量若則的值為（

）A． B．0 C． D．4．已知遞增等比數列的前項和為，，則（

）A．8 B．6 C．4 D．25．“”是“為冪函數”的（

）條件A．充分不必要 B．必要不充分C．充要 D．既不充分也不必要6．若直線是圓的一條對稱軸，則的最小值是（

）A． B． C． D．17．設，且，則（

）A． B． C． D．8．設函數，對任意，.若對任意，都有，則的極小值為（

）A． B． C． D．0二、多選題9．下列命題正確的是（

）A．若隨機變量，則B．若甲、乙兩組成對樣本數據的樣本相關系數分別為0.66和－0.85，則乙組成對樣本數據的線性相關性更強C．在回歸直線方程中，當解釋變量每增加1個單位時，預報變量平均增加0.2個單位D．已知一組數據的平均數為2，方差為，則另一組數據的平均數、標準差分別為10．已知數列的前項和，則下列說法正確的是（

）A． B．數列是等差數列C．取最小值時 D．11．若曲線既關于x軸對稱，又關于y軸對稱，還關于原點對稱，則稱為全對稱曲線.已知曲線，直線與曲線C恰有兩個不同的交點A，B，則（

）A．曲線C為全對稱曲線B．k的取值范圍是C．曲線C上存在無數個點P，使得點P到點的距離等于點P到一條定直線的距離D．使得為正整數的k共有94個三、填空題12．已知函數是奇函數，則實數的值為.13．四個人排成一排，當相鄰時，必須在的右邊，那么不同的排法共有種．14．如圖，是邊長為2的正方形，都垂直于底面，且，點在線段上，平面交線段于點，給出下列四個結論：

①②該幾何體的體積為6③過四點的外接球表面積為④截面四邊形的周長的最小值為8其中所有正確結論的序號是．四、解答題15．在中，所對的邊分別為，已知．(1)若，求及的面積；(2)若，求邊上的高．16．已知雙曲線的離心率為，點在雙曲線上．(1)求雙曲線的標準方程；(2)直線與雙曲線交于點，其中點在第二象限．①求；②已知雙曲線的左、右頂點分別為，設直線的斜率分別為，求的值．17．如圖所示，五邊形是正六邊形的一部分，將沿著對角線翻折到的位置，使平面平面，已知點分別為，的中點．(1)求證：平面；(2)求平面與平面所成二面角的正弦值．18．為更好地發揮高考的育才作用，部分新高考試題采用了多選題這一新題型．多選題的評分規則如下：對于多選題，每個小題給出的四個選項中有兩項或三項是正確的，滿分6分．全部選對得6分，有錯選或全不選的得0分．正確答案為兩項時，選對1個得3分；正確答案為三項時，選對1個得2分，選對2個得4分．某數學小組研究發現，多選題正確答案是兩個選項的概率為，正確答案是三個選項的概率為．現有一道多選題，學生李華完全不會，此時他有三種答題方案：I．隨機選一個選項；II．隨機選兩個選項；III．隨機選三個選項．(1)若，且學生李華選擇方案I，求本題得分的數學期望；(2)以本題得分的數學期望為決策依據，的取值在什么范圍內唯獨選擇方案I最好？19．已知函數．(1)當時，求曲線在處的切線方程；(2)當時，若不等式恒成立，求a的取值范圍；(3)若有兩個零點，且，證明：．

題號12345678910答案DCAAACBABDABD題號11答案ACD1．D先化簡集合，再利用集合的交集運算即可.【詳解】由，，可得.故選：D2．C先根據已知條件求出復數，再根據復數的模的計算公式求出.【詳解】已知，可得.因為，所以..故選：C.3．A先利用平面向量的線性運算求出，再利用向量平行的條件列方程求解即可.【詳解】因為向量所以，又因為所以，解得，故選：A.4．A根據等比數列遞增確定的定義，利用首項和公比表示和，求出首項公比，代入求出即可.【詳解】由已知，數列為等比數列，可求出，（與數列為遞增數列矛盾，舍去），故.故選：A5．A求得為冪函數時的值，利用充分條件和必要條件的定義判斷即可.【詳解】當時，為冪函數，故充分性滿足；當為冪函數時，，即，解得或，故必要性不滿足，所以“”是“為冪函數”的充分不必要條件.故選：A6．C由題設易知直線過圓心得，再應用基本不等式求目標式的最小值.【詳解】由題設，直線過圓心，則，由，當且僅當時取等號，所以的最小值為.故選：C7．B根據同角的商數關系以及兩角差的正弦公式，利用誘導公式即可得出結果.【詳解】由題設，所以，因為，則，又因為，則，又，所以，解得．故選：B8．A先將代入，化簡可得，由三次函數的圖象性質及零點存在性定理得，，從而得到，最后利用導數計算極小值即可.【詳解】由可得，，由于等式對任意都成立，則項系數必須為0，即，所以，令，可得或，由三次函數圖象性質易得為函數的唯一變號零點，由任意，都有，可得，時，總有，所以為函數的變號零點，所以，則，此時，求導得，令，得或2，當或時，；當時，.故為極小值點，極小值.故選：A.9．BD根據正態分布的性質求概率判斷A，應用相關系數的概念判斷B，應用回歸直線判斷C，應用平均數交集方程性質判斷D.【詳解】對于A，由隨機變量，則隨機變量滿足的正態分布曲線關于直線對稱，故，，故A錯誤；對于B，若甲、乙兩組數據的相關系數分別為0.66和－0.85，，則乙組數據的線性相關性更強，故B正確；對于C，當解釋變量每增加1個單位時，預報變量平均增加0.1個單位，C錯誤；對于D，另一組數據的平均數為，方差為，即平均數、標準差分別為，故D正確．故選：BD.10．ABD利用，求出的通項公式判斷A；寫出的通項公式，判斷是否為常數可判斷B；判斷數列中項的正負可推出取最小值時n的值判斷C；根據數列中項的正負可去絕對值符號，再利用等差數列求和公式進行求解判斷D.【詳解】對于A，當時，，而滿足上式，因此，故A正確；對于B，，數列是等差數列，故B正確；對于C，由選項A知，數列單調遞增，由，得，即數列前5項均為負數，第6項為0，從第7項起為正數，取最小值時或，故C錯誤；對于D，，故D正確．故選：ABD.11．ACD對于A驗證曲線是否關于關于x軸對稱，又關于y軸對稱，還關于原點對稱即可判斷，對于C由，得，即曲線C由兩個拋物線，組成，利用拋物線的定義即可判斷，對于B利用直線方程和拋物線的方程聯立，利用判別式即可判斷，對于D先求，由即可求得的范圍即可判斷.【詳解】對于A：對于，以代x，得，則曲線C關于y軸對稱，以代y，得，則曲線C關于x軸對稱，同時以代x，以代y，得，則曲線C關于原點對稱，故A正確.對于C：由，得所以曲線C由兩個拋物線，組成，是拋物線的焦點，所以曲線C上存在無數個點P，使得點P到點的距離等于點P到定直線的距離，故C正確.對于B：因為直線過定點，所以該直線與拋物線沒有公共點，將代入，得，則，得，即或，故B錯誤.對于D：將代入，得，設，，則，因為是拋物線的焦點，所以，，因為，所以，所以，所以，則可取的正整數為17，18，…，63，所以使得為正整數的k共有個，故D正確.故選：ACD.12．1根據函數為奇函數，利用求解.【詳解】因為函數是奇函數所以恒成立，所以，故答案為：113．采用插空法和捆綁法直接求解即可.【詳解】當A，B不相鄰時，采用插空法，先排其余兩人再讓A，B插空，共有種排法；當A，B相鄰時，將看作一個整體，并且在的右邊，相當于個人排隊，則不同的排法有種；所以共有種.故答案為：.14．①③根據線面垂直判斷①，應用正方體體積公式計算判斷②，根據外接球的表面積計算判斷③，結合截圖面積周長計算判斷④.【詳解】對于①，因為平面，平面，所以，又因為為正方形，所以，又因為，平面，所以平面平面，所以，故①正確；

對于②，由對稱性知，此幾何體體積是底面邊長為2的正方形，高為4的長方體體積的一半，所以，故②錯誤；對于③，過四點構造正方體，所以外接球直徑為正方體的體對角線所以，則，所以此四點的外接球表面積為，故③正確；對于④，由題意，平面平面，平面平面，平面平面，所以，同理可得，所以四邊形為平行四邊形，則周長，沿將相鄰兩四邊形推平，當三點共線時，最小，最小值為5，所以周長的最小值為10，故④錯誤．

故答案為：①③15．(1)，3(2)．（1）根據同角三角函數關系計算，再應用余弦定理得出，最后應用面積公式計算求解；（2）應用正弦定理得出，再應用面積公式求解.【詳解】（1）因為，所以，由余弦定理可得，所以，所以，所以的面積為；（2）由，可得，又因為，所以，所以，所以的面積為；設邊上的高為，所以的面積為，解得，則邊上的高為．16．(1)(2)①；②（1）根據點在雙曲線上結合離心率計算得出，即可得出雙曲線方程；（2）①聯立直線和雙曲線方程得出韋達定理即可得出弦長；②應用斜率公式結合韋達定理計算求出定值.【詳解】（1）因為點在雙曲線上，所以．離心率為，解得．故雙曲線的標準方程為．（2）①設．聯立得，則．故．②．由題意得點都在雙曲線的左支上，且點在第二象限，所以，則．故．17．(1)證明見解析(2)（1）只需證明，再結合線面平行的判定定理即可得證；（2）說明兩兩垂直，建立適當的空間直角坐標系，求出平面與平面的法向量，由向量夾角的余弦公式以及平方關系即可得解.【詳解】（1）連接交于點，連接，如圖，由平面圖易得為平行四邊形，則為的中點，連接，則，又平面平面，故平面．（2）取的中點，連接，，由平面圖形可知，，則．又平面平面，且平面平面，面，故平面．以分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，設，則，則，設平面的法向量為，，即，取，又平面的法向量為，設平面與平面所成二面角為，，即所求平面與平面所成二面角的正弦值為．18．(1)(2)（1）由題意可以取0，2，3，求出對應的概率，進一步得分布列，結合期望公式計算即可求解；（2）記為“從四個選項中隨機選擇一個選項的得分”，為“從四個選項中隨機選擇兩個選項的得分”，為“從四個選項中隨機選擇三個選項的得分”，計算得，，，由此可列不等式求解.【詳解】（1）記為“從四個選項中隨機選擇一個選項的得分”，則可以取0，2，3，所以的分布列為023則數學期望．（2）記為“從四個選項中隨機選擇一個選項的得分”，則的所有可能取值為0，2，3，則，所以；記為“從四個選項中隨機選擇兩個選項的得分”，則的所有可能取值為：0，4，6，則，所以；記為“從四個選項中隨機選擇三個選項的得分”，的所有可能取值為：0，6，則，所以．要使唯獨選擇方案最好，則，解得，故的取值范圍為.19．(1)；(2)；(3)證明見解析.（1）應用導數的幾何意義求切線方程即可；（2）問題化為且，利用導數研究的性質，并結合