【經典例題一棱柱及其有關計算】123-24高三上·山東威海·階段練習）如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=BC=2，AA1=5，上，M,N分別為棱BB1，AC上的動點，當MC1+MN最小時，BM=()222-23高一下·遼寧大連·階段練習）如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為6，P為BC的中點，Q為CC1的中點，過點A1,P,Q的平面截正方體所得的截面周長為．322-23高二上·上海徐匯·階段練習）已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a，M、N分別是C1D1，AD的中點，P在CC1上且滿足CP=2PC1，過M、N、P三點作正方體的截面，并計算該截面的周長.【經典例題二棱錐的展開圖】42024·全國·模擬預測）已知三棱錐P-ABC，底面ABC是邊長為2的正三角形，且PC丄平面ABC,PC=2,M為PB的中點，N為平面PAC內一動點，則MN+NB的最小值為()52024高三·全國·專題練習1）在棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1中，動點P在線段A1B上運動，則AP＋D1P的最小值為．（2）在棱長均為1的正四面體ABCD中，M為AC的中點，P為DM上的動點，則PA＋PB的最小值為622-23高一·全國·課后作業）在正方形ABCD中，E,F分別為AB,BC的中點，現在沿DE,DF及EF把ΔADE,ΔCDF和ΔBEF折起，使A,B,C三點重合，重合后的點記為P．（1）依據題意制作這個幾何體．（2）這個幾何體有幾個面，每個面的三角形為什么形狀的三角形？（3）若正方形的邊長為2a，則每個面的三角形的面積為多少？【經典例題三圓柱的展開圖及最短距離問題】722-23高一下·全國·課后作業）如圖，已知圓柱體底面圓的半徑為，高為2cm，AB，CD分別是兩底面的直徑，AD，BC是母線.若一只小蟲從點A出發，沿側面爬行到點C處，則小蟲爬行的最短距離是()821-22高二上·湖北·期中）某圓柱的側面展開圖是面積為4π2的正方形，則該圓柱一個底面的面積922-23高一·全國·課后作業）用一張兩邊長分別為4cm和8cm的矩形硬紙卷成圓柱側面，求圓柱軸截面的面積.（接頭忽略不計）【經典例題四圓錐中截面的有關計算】1023-24高二上·內蒙古呼和浩特·階段練習）若圓錐的軸截面是一個頂角為，腰長為3的等腰三角形，則過此圓錐頂點的所有截面中，截面面積的最大值為()11（24-25高二上·上海·期中）已知圓錐底面半徑為·,高為1，則過圓錐的母線的截面面積的最大值、1223-24高一下·陜西寶雞·階段練習）用一個過圓錐的軸的平面去截圓錐，所得的截面三角形稱為圓錐的軸截面，也稱為圓錐的子午三角形.如圖，圓錐SO底面圓的半徑是4，軸截面SAB的面積是4.(1)求圓錐SO的母線長；(2)過圓錐SO的兩條母線SB，SC作一個截面，求截面SBC面積的最大值.【經典例題五圓臺的結構特征辨析】1322-23高一下·全國·課后作業）圓臺的兩底面面積分別為1和49，平行于底面的截面面積的2倍等于兩底面面積之和，則圓臺的高被截面分成的兩線段的比為()1422-23高二下·浙江杭州·期中）已知圓臺上底面半徑為，下底面半徑為，母線長為2，AB為圓臺母線，一只螞蟻從點A出發繞圓臺側面一圈到點B，則螞蟻經過的最短路徑長度為.1522-23高一·全國·課后作業）一個圓臺的母線長為12cm，兩底面面積分別為4πcm2和25πcm2．（1）求圓臺的高；（2）求截得此圓臺的圓錐的母線長．【經典例題六球的截面的性質及計算】的內切球，所得截面的面積為()172024高三·全國·專題練習）如圖，八面體Ω的每一個面都是邊長為4的正三角形，且頂點B,C,D,E在同一個平面內．若點M在四邊形BCDE內（包含邊界）運動，當MA丄ME時，點M到BC的最小值為.1821-22高一·全國·課后作業）如圖，已知△ABC各頂點均在球O的球面上，若球半徑為10，分別求球心到平面ABC的距離．（以上結果均保留2位小數）【經典例題七斜二測畫法中有關量的計算】1924-25高二上·江西景德鎮·階段練習）用斜二測畫法畫水平放置的△ABC的直觀圖，得到如圖所示的等2024-25高二上·上海·期中）已知△ABC用斜二測畫法畫出的直觀圖是邊長為1的正三角形△A￠B￠C￠（如2122-23高二·全國·課后作業）如圖，已知點A(-1,1)，B(1,3)，C(3,1).求該水平放置的四邊形ABCO用斜二測畫法作出的直觀圖的面積.【經典例題八棱錐表面積的有關計算】2224-25高一下·全國·課后作業）如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1的八個頂點中，有四個頂點A，B1，C，D1恰好是正四面體的頂點，則此正四面體的表面積與正方體的表面積之比為()2323-24高二下·江蘇連云港·期末）用油漆涂一個正四棱錐形鐵皮做的冷水塔塔頂（鐵皮的正反面都要涂漆其高是1m，底面的邊長是1.5m，已知每平方米需用油漆150g，共需用油漆kg.（精確到2421-22高一下·河北滄州·階段練習）如圖，在三棱錐P-ABC中，PC丄平面ABC,AC丄CB，已知AC=2,PB=2、后,則當PA+AB最大時，求三棱錐P-ABC的表面積.【經典例題九臺體體積的有關計算】2524-25高三上·江蘇·階段練習）如圖1的方斗杯古時候常作為盛酒的一種容器，有如圖2的方斗杯，其形狀是一個上大下小的正四棱臺，AB=6，A1B1=2，現往該方斗杯里加某種酒，當酒的高度是方斗杯高度的一半時，用酒28ml，則該方斗杯可盛該種酒的總容積為()A．74mlB．76mlC．104ml2624-25高二上·四川內江·期末）已知四棱臺ABCD-A1B1C1D1的上下底面分別是邊長為2和4的正方形，且每條側棱長均相等，若BB1丄DD1，則該四棱臺的體積為.【經典例題十圓柱表面積的有關計算】2824-25高三上·河南·期末）“牟合方蓋”是指由兩個相同的圓柱成直角相交而得到的公共部分對應的幾何體，如圖(1)，若圓柱的底面半徑為r，則組成的牟合方蓋的表面積為16r2.現有底面半徑為1，高為3的兩個圓柱成直角相交形成一個“十字”幾何體，如圖(2)，則該幾何體的表面積為()292024·江蘇南通·一模）已知圓柱的高為1，它的兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球的球面上，則該3024-25高二上·上海·課堂例題）下面兩圖為同一個健身啞鈴，它是由兩個全等的大圓柱和中間一個連桿圓柱構成，中間的連桿圓柱為實心，已知大圓柱的底面半徑為6cm，高為2cm，連桿圓柱的底面半徑為2cm，高為12cm．求該健身啞鈴的表面積．【經典例題十一球的體積的有關計算】312025·河南洛陽·模擬預測）已知裝滿水的無蓋圓柱容器的底面圓周的半徑為r，高為4r，圓柱的側面積為8π,在圓柱里面放入兩個半徑為r的鐵球，則圓柱中剩余水的體積為()3224-25高三上·河北·期末）三棱錐P-ABC中，PA丄平面ABC，上ABC=90°,PA=AB=BC=6，一球球心在平面ABC內，并且與三個側面都相切，則球的半徑為.3324-25高二上·廣西柳州·開學考試）如圖，圓臺的上底面直徑AD=4，下底面直徑BC=8，母線(1)求圓臺的表面積與體積；(2)若圓臺內放入一個圓錐AO1和一個球O，其中O1在圓臺下底面內，當圓錐AO1的體積最大時，求球O體積的最大值.【經典例題十二平面的基本性質的有關計算】342024·內蒙古烏蘭察布·一模）四棱錐P-ABCD中，AB//CD，M為PC中點，平面ADM交352023高二下·浙江·學業考試）在如圖所示的試驗裝置中，兩個正方形框架ABCD，ABEF的邊長都是2，且所在的平面互相垂直.可以滾動的彈珠M，N分別從A，F出發沿對角線AC，FB勻速移動，已知彈珠N的3622-23高二·全國·課后作業）如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，若點P，Q，R分別在AB，BC，CC1上，且AP=5，PB=15，BQ=15，CR=10，那么平面PQR與正方體的交線組成的多邊形的面【經典例題十三證明線面平行】3724-25高二上·福建莆田·階段練習）定義：兩條異面直線之間的距離是指其中一條直線上任意一點到另一條直線距離的最小值.如圖，長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=2AD=2AA1=2，E為棱CD的中點，則異面直線A1D與D1E之間的距離為()382024高三·全國·專題練習）如圖，在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點E,F分別為棱DD1，C1D1的中點，三棱錐B-AEF的體積為392024高二上·河南安陽·學業考試）如圖所示，已知圓錐SO，AB是圓O的直徑，△ASB是等腰直角三角形，C是圓周上不同于的A、B的一點，D為BC中點，且BC=2AC=4.(1)求證：OD//平面SAC；(2)求四棱錐S-ACDO的體積.【經典例題十四證明面面平行】4023-24高一下·河南洛陽·期中）長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，BB1=1，M為A1B1的中點，P為下底面ABCD上一點，若直線PD1Ⅱ平面BMC1，則△D1DP的面積的最小值為()4124-25高二上·上海·期中）如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，BC=CC1=2，M，N分別為BC，CC1的中點，點P在矩形BCC1B1內運動（包括邊界），若A1P//平面AMN，則A1P取最小值時，三棱錐P-MA1B的體積為.42浙江省七彩陽光新高考研究聯盟2024-2025學年高三下學期返校聯考數學試題）如圖，四邊形ABCD是正方形，四邊形AEPD是直角梯形且PD//EA，PD丄CD，PD丄AD，AD=PD=2EA=2，BP，BE，PC(1)證明：平面FGH//平面ADPE，并求直線CE與平面FGH所成角的正弦值；(2)設截面FGH與平面ABCD的交線為l，確定l的位置并說明理由.【經典例題十五面面垂直證線面垂直】4324-25高二上·江西景德鎮·期末）在空間中，設l,m,n為三條不同的直線，a,β,Y為三個不同的平面，下列命題錯誤的是()A．若m//n,n//a,m丈a，則m//aC．若m,n在平面a內，且l丄m,l丄n，則l丄a