淺析坐標系在解決立體幾何問題中的應用目錄TOC\o"1-2"\h\z\u1空間直角坐標系的概念 12空間直角坐標系在空間解析幾何解題中的應用 22.1利用空間直角坐標系解決立體圖形平行與垂直問題 22.2利用空間直角坐標系解決立體幾何中的角與距離問題 42.3利用空間直角坐標系解決立體幾何動態問題 73小結 15參考文獻 16摘要：空間直角坐標系與向量是解決立體幾何問題的重要工具，本文首先介紹了空間直角坐標系的相關概念，其次重點討論了如何通過建立空間直角坐標系利用向量法求解立體幾何中平行與垂直，角與距離，由動點產生的動直線，動面等問題，通過具體不同類型的幾何問題比較分析凸顯出“向量法”與“幾何法”在解決有關證明問題和計算問題的優越性.關鍵詞：空間直角坐標系；向量法；幾何法中圖分類號：空間直角坐標系的概念在中學的數學教育中，我們已經掌握了平面直角坐標系（數軸）和平面直角坐標系，空間直角坐標系是它們的一種推廣和發展.那么空間直角坐標系是由哪些條件，怎樣建立的呢？現在我們就來討論這個問題.我們首先取交于一點而且互相垂直的三個軸，用表示它們的交點，用表示第一個軸，表示第二個軸，表示第三個軸，如右圖所示再取一個線段作為測量長度的單位，也稱測度單位，以點為共同原點，在軸，，上建立數軸或者說導入坐標系.設是空間的任意一點，過點作平行于平面，，和的平面，用,和分別表示這些平面與直線，和的交點，設，和分別是點，和在直線，和上的坐標系里的坐標，根據直線上點的坐標定義，則,,,而,和分別是直線,和上的有向線段,和的代數值，因此，對于空間的一個確定點,則數,和完全確定.反之，如果已知一組實數，和，則在直線，和上分別以，和為坐標的點，和完全確定，過點，和分別平行于平面，，和的平面，則這三個平面交于唯一一點，因此，一組實數,和在空間確定唯一一點.綜上所述，可以確定，空間的所有點與全體有序三組數,，之間有一一對應關系，建立點和數組間的這種相互對應，就說在一個空間導入一個坐標系，我們把這種坐標系叫做空間直角坐標系，空間點所對應的數組,和叫做點的直角坐標，數叫做點的橫坐標，數叫做縱坐標，數叫做豎坐標，平面，和叫做坐標面，軸，和叫做坐標軸，叫做橫軸，叫做縱軸，叫做豎軸，點叫做坐標原點，由此可見，空間直角坐標系，就由有序的相互垂直的三個坐標軸和一個測度單位完全確定[[]郭衛中編著空間解析幾何[M]-沈陽:東北師范大學,1982]，且空間任意點的坐標，常用,，表示，并記作（,，）.[]郭衛中編著空間解析幾何[M]-沈陽:東北師范大學,19822空間直角坐標系在空間解析幾何解題中的應用在立體幾何證明題中遇到有關幾何的證明題時，根據做題的經驗腦海里第一反應一定是該題要么采用幾何法要么采用向量法，兩種方法各有各的難點，幾何法要求學生能夠熟練運用相關的定理公理及推論，這種方法不僅要求學生背得相關知識點的內容更重要的是需要極強的空間想象能力，通過想象把題目給定條件中點線面的關系構造出來，所以對于空間想象力不好的同學來說幾何法就顯得非常地無力，但是如果通過建立空間直角坐標系，引入空間向量這個數學工具，利用空間向量來解決相應的問題就可以大大簡化學生解題的步驟，降低題目問題的思維難度，同時學生也可以多掌握一種解題思維方法.因為空間向量具有的獨特性質，使其不僅為解決數學問題提供了一種更為簡便的方法，從中體會到數學工具強大的功能堅定學生對學好數學的信心與信念，同時也為學生樹立數形結合的思想提供了方便之路[[][]趙麗.空間直角坐標系在空間解析幾何解題中的應用[J]-景德鎮學院學報，2015（12）:108-1102.1利用空間直角坐標系解決立體圖形平行與垂直問題分析線面平行、面面平行、線面垂直、面面垂直等相關的證明是立體幾何證明題中常見且較為常規的證明問題，而這幾類問題的關鍵點都是從給定的已知直線出發找出與問題對應的面或線進行作答，通常我們的解題思路都會從幾何法與向量法中二選一進行求解，但是大多數情況都需要證明異面直線的關系，所以用幾何法難度較大.不過要是改用向量法來解決的話我們只要通過已知條件建立空間直角坐標系，求出所需要點的坐標，再根據坐標與向量的關系，比如證明線線垂直，我們只需要求出相應線段對應的方向向量，在根據向量與向量垂直數量積為零的關系，最后便可以得出答案，同理面面垂直是通過在一個平面內作兩條相交直線，而另一個平面內有一條直線分別垂直于這兩條相交直線，則這兩個平面相互垂直，而這類問題通常會給出一對相互垂直的直線，我們只有求出另一組垂線即可[[][]崔秋珍基于空間解析幾何方法的立體幾何問題解析[J]-洛陽:2012:12例1如圖，在四棱錐中，平面,底面是菱形，,,,為與的交點，為棱上的一點.（1）求證：直線平面;證明方法一（幾何法）平面,平面,.四邊形是棱形，.又，平面證畢方法二（向量法）平面，過點作的平行線，建立如圖所示的空間直角坐標系，即得到，，，，，，，，設平面的法向量為，則有即取，得，，即∥，平面證畢結論因為本題的證明目標是線面垂直，所以用幾何法求證的思路就是找垂直于平面內兩條相交直線，不過這個題由已知便可以找出三條兩兩垂直的相交直線且告訴了它們對應的長度，所以也可以用向量法解決，做題思路簡單明了，直接建立坐標系，求出點的坐標，通過一系列的運算便可得出答案，但過程繁瑣，運算量較大容易出錯[[]洪生榮解析思想在立體幾何中的運用[]洪生榮解析思想在立體幾何中的運用[J]-江西學院學報，2006:522.2利用空間直角坐標系解決立體幾何中的角與距離問題分析有關立體幾何問題的計算一直都是立體幾何學習的一個重難點知識，也是近些年我國高考的一個熱點問題，借助向量夾的公式，通過分析向量夾角的計算我們可以方便的得出各類空間角的大小，從而有效的避免了找角這個繁雜的過程，并且有關空間直角坐標系在處理立體幾何中有關計算問題非常實用，因為它很大程度的避開了做題時思維的高度轉換，也避免了各種輔助線所添加的難處，使得艱難澀雜的幾何問題變得思路順暢，運算簡單.例如求解二面角的有關計算問題，首先是要先找到與問題所需要的角，所謂二面角是由一條直線出發，兩個平面組成的圖形而在實際的考題中很少會直接給出角讓我們來進行計算，通常是要根據給定的面，作出其二面角，而作圖找角的過程需要作答者對相關概念和作圖能力都有著很高的要求，稍不注意就會出錯，甚至讓問題變得更加復雜，這時向量法便有著獨特的優勢，所以很多時候要善于利用已知條件巧妙地構建空間直角坐標系用向量法求解[[][]趙星宇.淺談高中數學立體幾何中集合體的夾角求法[J]-長沙市雅禮中學70例2如圖，在四棱錐中，側面底面，底面為直角梯形，∥，，，，，為的中點，為的中點，求二面角的余弦值.方法一（幾何法）解由為的中點及,得⊥,側面⊥底面，側面底面,⊥,⊥平面.又,.連接交于點，則為中點，連接,.又為的中點，∥,⊥平面,⊥.又∥,⊥,又=,⊥平面,⊥為二面角的平面角的補角.在中，,,,二面角的余弦值為.方法二（向量法）由為的中點及,得⊥,則.側面⊥底面,側面底面,⊥,⊥平面.以為原點，分別以所在直線為軸、軸、軸建立如右圖所示的空間直角坐標則有,,,,.為的中點，,,.設平面的一個法向量為，則即取，平面的一個法向量可取，設二面角為，顯然為鈍角.二面角的余弦值為.總結本題是求二面角的余弦值問題，如果采用幾何法的話，通過添加輔助線找角以后會使圖形變得更加復雜化，從而增加解題的難度，但是結合題目條件就可以得出三條兩兩垂直的直線，所以用向量法便可以快速求出答案.例3如圖，在正方體中，為的中點，求直線與平面所成角的正弦值.解以為原點，所在的直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸建立空間直角坐標系，設正方體的棱長為，則，,,,，.設平面的法向量為，由得令，得，，.設直線與平面所成角為，則，直線與平面所成角的正弦值為.總結在立體幾何中有關角的考法也是有很多種形式，其中線面角也是考察的重點之一，這類型的題目解題的主要思路就是作證解的常規套路進行，而我們主要是采用向量法，因為只要建立適當的空間直角坐標系并求出相應點的坐標，然后算出給定平面的一個法向量，最后利用公式即可得出所求值[[][]張景中,錢展望編著走進教育數學數學解題策略[M]北京:科學出版社,2009.本題屬于立體幾何里一個相對簡單的問題，因為它的主體圖形是一個正方體，但是本題如果用幾何法的話，通過找出問題的線面角這一系列作圖之后會使圖形變得復雜，也會增加解題的難度，所以我們可以利用正方體，直接了當的建立空間直角坐標系，用向量法可以快速作答出來.2.3利用空間直角坐標系解決立體幾何動態問題這類問題在近些年的高考中并不是很常見，但在求二面角的時候偶爾也會遇到這種問題，即題目所涉及到的點不是一個定點，而是一條線段或者是一個面上的移動點，且這個點還滿足一些特定的值或平面幾何關系，此時我們就需要根據條件確定出動點所在的位置或軌跡，其實有關軌跡類的題目歸根到底還是對點線面關系的認識，其中更多涉及了平行和垂直的一些證明方法，在這類問題中要么很容易看出動點符合什么樣的軌跡[[][]徐永東.用向量法解釋立體幾何中動與靜的變化[J]-銅仁學院學報，2008（5）:109-111例4如圖，在直三棱柱中，，，點為棱的中點，點為線段上一動點，設，試證：是否存在實數，使得平面與平面所成銳二面角的余弦值為.證明：以為原點，分別以所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，連接，，則有.設.，.點在線段上運動，平面的法向量即為平面的法向量.設平面的一個法向量為，，，，.由得令，得.同理，設平面的一個法向量為，，.由得令，得.由題意得，解得或當或時，平面與平面所成銳二面角的余弦值為證畢.總結本題給出的是二面角的余弦值反推面的存在性問題，問題抽象復雜，用幾何法難度較大，但結合題目得出有一個這個面是不動的，所以根據已知條件來建立空間直角坐標系用向量法進行求解較為簡單[[]付文生.用向量方法解決立體幾何中關于點的探究性問題[]付文生.用向量方法解決立體幾何中關于點的探究性問題[J]-重慶市豐都中學校，2016（27）:127例5在邊長為2的正方體中，點是底面的中心，是線段上的一動點，是否存在點，使得平面平面?若存在，請指出點的位置關系，并加以證明，若不存在，請說明理由.證明：假設存在點，使得平面平面.設，并以點為坐標原點建立空間直角坐標系，所以有,,,,,顯然，設是平面的一個法向量，則有即取，則，，所以平面的一個法向量為.因為，所以點的坐標為，所以.設是平面的一個法向量且，則有即取，則所以平面的一個法向量為，因為平面⊥平面，所以，即，所以，解得所以的值為2.所以當即點運動到點的三等分點時.平面平面.證畢結論由題意可知本題是因為點的不確定進而引發不定面抽象的面面垂直性問題，且圖形較為復雜，所以用幾何法幾乎無從下手，但是主體圖形是正方體，所以可以通過建立空間直角坐標系利用向量的工具進行解題.所以這類存在性的問題，如果單純的結合題目條件與圖形來看，很難得出相應結論，而通過建立空間直角坐標系，求出點的坐標，結合向量與已知條件的關系就可得出一個方程，通過求解方程即可得出結論，若有滿足圖的解則存在，反之則不存在[[]錢佩玲,馬波,郭玉峰,張丹編著高中數學新課程教學法[M]-北京:高等教育出版社,2007.3][]錢佩玲,馬波,郭玉峰,張丹編著高中數學新課程教學法[M]-北京:高等教育出版社,2007.3例6如圖，為多面體，平面與平面垂直，點在線段上，,,,,,都是等邊三角形，點是線段上的一動點,當運動到什么位置時使得二角的余弦值為.解由已知得和為等邊三角形，且面⊥面，取的中點為，則,,為兩兩垂直的直線，所以點為原點,，,所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，則由題意可得出,,,,,.設,,可得,.設平面的一個法向量為，由得令，則，又平面的一個法向量取為，，，或又，.在點運動到的中點時，此時二面角的余弦值為總結不定面，不定點等動態問題是近年來考試的熱點問題，一般考法是給定線面角或者面面角的三角函數值，讓解答者求出求出是否存在滿足題目要求的不定點或者不定面，這種類型的題目，一般用幾何法難度較大，通常我們采用向量法，常規的做法就是假設滿足，通過向量的運算便可驗證假設能否滿足[[][]林蘇藝.例談空間向量在立體幾何解題中的應用[J]-閩江學院學報，2008（11）:8本題就是給出相應二面角的余弦值，讓我們反推得出是否存在一個面滿足該二面角的余弦值，這類題如果采用幾何法，由已知的二面角余弦值反推該角的存在性，則必然要用解三角形的相關知識，其中就會有邊長和角度兩個不定因素在里面這樣就會讓解題更加的繁瑣，反過來如果采用向量法，只要根據已知條件，通過建立空間直角坐標系找出對應的點和對應的關系即可得出答案.例7如圖，四棱錐中，⊥菱形所在的平面，,是中點，是上的點，若是的中點，當時，是否存在點,使直線與平面所成角的正弦值為？若存在，請求出的值；若不存在，請說出理由.解以為原點，分別以，,所在直線為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標系.設,,則,,,,,，，設，則有.設的一個法向量為，則取，得.設直線與平面所成角為，由得，，化簡得，解得或.存在點滿足題意，此時，或.總結求線段比值是今年來有關立體幾何的一個創新型考法，這種題型的關鍵是解出相應線段的長度，常規考法會和線面角聯立出題，其關鍵還是要充分利用所給的條件，只要求出所需要的線段長度問題便會迎刃而解.本題是由一個未知的點，問作答者是否存在這樣的一個點使得一條已知直線與不定面所成角的正弦值為，然后進行求線段的比值，解題的關鍵還是在于充分利用給定的線面角的正弦值這一已知條件，解出未知點的位置，所以我們可以建立空間直角坐標系，通過公式的計算，便可以解出這個點，但是這種做法需要解答者對這種類型的題目要有一個清晰的解題思路，并且對公式的熟練運用和計算能力也有較高的要求[[]徐利治,歐陽絳編著數學方法溯源[]