第8章

多邊形

8.1.2.1三角形的內角和

七年級下

HS學習目標難點重點1.知道三角形的內角和定理，知道直角三角形的兩個銳角互余.2.應用三角形的內角和進行相關計算.新課引入

某天，“三角形家族”就三角形內角和的大小展開了一場激烈的爭論，請同學們為它們評判一下吧.我是直角三角形，我的內角和最大我有一個鈍角，比你的三個角都大，所以我的內角和才是最大的我雖然是銳角三角形，但是我的個頭最大，所以我的內角和才是最大的新知學習探究1在紙上任意畫一個三角形，將它的內角剪下拼合在一起.三角形的三個內角拼到一起恰好構成一個平角.從上面的操作過程，你能發現證明思路嗎？你能用演繹推理的方式說明上述結論的正確性嗎？求證：三角形三個內角的和等于180°已知:△ABC，∠1、∠2、∠3分別表示△ABC

的三個內角.證明：∠1+∠2+∠3=180°.BAC123解：方法一：延長BC

至點E，以點C為頂點，在BE

的上側作∠DCE=∠2，則CD∥BA(同位角相等，兩直線平行).∵CD∥BA，∴∠1=∠ACD(兩直線平行，內錯角相等).∵∠3+∠ACD+∠DCE=180°，∴∠1+∠2+∠3=180°(等量代換).EDBAC123在這里，為了證明的需要，在原來的圖形上添畫的線叫做輔助線.在平面幾何里，輔助線通常畫成虛線.解：方法二：過點A

作直線l，使得l∥BC，∴∠2=∠4(兩直線平行，內錯角相等).同理∠3=∠5.又∠1+∠4+∠5=180°(平角定義)，∴∠1+∠2+∠3=180°(等量代換).lACB12345三角形的內角和等于180°.lACB12345EDBAC123借助平行線的“移角”功能，將三角形的內角和轉化為一個平角.為了證明三角形三個內角的和為180°,常將三個角轉化為一個平角或同旁內角互補等，這種轉化思想是數學中的常用方法.思考1多種方法證明三角形內角和等于180°的核心是什么？探究2如圖，在直角△ABC

中，∠C

=90°，兩銳角的和等于多少呢？在直角△ABC

中，∠C

=

90°，由三角形內角和等于180°

，得∠A+∠B+∠C

=180°，故∠A+∠B

=

90°.思考2由此，你可以得到直角三角形有什么性質呢？ABC應用格式：在

Rt△ABC

中，∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°．直角三角形的表示：直角三角形可以用符號“Rt△”表示，直角三角形

ABC

可以寫成Rt△ABC．直角三角形的兩個銳角互余．例1在

△ABC

中，∠A

的度數是

∠B

的度數的3倍，∠C

比

∠B

大15°，求

∠A，∠B，∠C的度數.解:設

∠B為

x°，則

∠A為(3x)°，∠C為(x＋

15)°，從而有3x＋

x＋(x＋

15)＝

180.解得x＝

33.所以3x＝

99

，x＋

15

＝

48.故∠A，∠B，∠C的度數分別為99°，33°，48°.幾何問題借助方程來解.這是一個重要的數學思想.例2如圖，AD

是△ABC的邊BC上的高，∠1=45°，∠C

=65°，求

∠BAC的度數.解:在Rt△ABD中，∵∠1+∠B=90°(直角三角形的兩個銳角互余)，∴∠B=90°-∠1(等式性質).又∵∠1=45°(已知)，∴∠B=90°-45°=45°(等量代換).在△ABC中，∠B+∠C+∠BAC=180°(三角形的內角和等于180°)，∴∠BAC=180°-∠B-∠C(等式性質).又∵∠B=45°(已求)，∠C=65°(已知)，∴∠BAC=180°-45°-65°=70°(等量代換).ACBD65°1思考3我們已經知道，直角三角形的兩個銳角互余.反過來，有兩個角互余的三角形是直角三角形嗎？如圖，在△ABC中，∠A+∠B=90°，那么△ABC是直角三角形嗎？在△ABC

中，∠A+∠B+∠C=180°，∠A+∠B=90°，由三角形內角和等于180°

，得∠C

=90°，故△ABC是直角三角形.有兩個角互余的三角形是直角三角形.例3如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，D、E分別是邊CB、AB延長線上的點，∠A=∠D，是說明△BDE是直角三角形.解:在△RtABC中，∠A+∠ABC+∠C=180°(三角形的內角和等于180°)，∴∠C=180°-∠A-∠ABC(等式性質).在△BDE中，∠D+∠DBE+∠E=180°(三角形的內角和等于180°)，∴∠E=180°-∠D-∠DBE(等式性質).又∵∠ABC=∠DBE(對頂角相等)，∠A=∠D，∠C=90°(已知)，∴∠E=180°-∠A-∠ABC=∠C=90°(等量代換).∴△BDE是直角三角形.AEDBC隨堂練習1.如圖，△ABC

中，∠A=60°，∠B=40°，則∠C

等于(

)A.100°B.80°C.60°D.40°B2.如圖，在△ABC

中，點D

在AB

上，點E

在AC

上，DE∥BC.若∠A=62°，∠AED=54°，則∠B

的大小為(

)A.54° B.62°C.64° D.74°C3.如圖，AB∥CD，EF⊥BD

于E，∠1=50°，則∠2的度數為(

)A.60° B.50°C.40° D.30°C5.如圖是一副三角板疊放的示意圖，則∠α=

.75°4.在一個直角三角形中，有一個銳角等于40°，則另一個銳角的度數是（）A．40°B．50°C．60°D．70°B6.如圖，在△ABC

中，∠B+∠C=100°，AD

平分∠BAC，交BC

于D，DE∥AB，交AC

于E，則∠ADE

的大小是_____.

40°7.已知，如圖，D是△ABC中BC邊延長線上一點，F為AB上一點，直線FD交AC于E，∠DFB＝90°，∠A＝46°，∠D＝50°.求∠ACB的度數．解：在△DFB中，∵∠DFB＝90°，∠D＝50°，∠DFB＋∠D＋∠B＝180°，∴∠B＝40°.在△ABC中，∵∠A＝46°，∠B＝40°，∴∠ACB＝180°－∠A－∠B＝94°.8.在△ABC

中，D

是BC

邊上一點，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=63°，求∠DAC

的度數.解：因為∠4=∠1+∠2，∠1=∠2，所以∠4=2∠2，又因為∠3=∠4，所以∠3=2∠2，即∠2=∠3，在△ABC

中，∠2+∠3+∠BAC=180°，因為∠BAC=63°，